一道高考試題的另證\\推廣及思考
2010-12-31 00:00:00許銀伙
福建中學(xué)數(shù)學(xué) 2010年9期
1.試題
(2008年高考江西卷·理21)如圖，設(shè)點(diǎn)在直線xm=()0ymm≠±<<，上，過點(diǎn)作雙曲線P221xy#8722;=的兩條切線，PB，切點(diǎn)為PAA，，定點(diǎn)B1(0Mm
(Ⅰ)過點(diǎn)A作直線的垂線，垂足為，試求0xy#8722;=NAMNΔ的重心所在曲線的方程;(Ⅱ)求證:三點(diǎn)A，M，共線. B
解 (Ⅰ)略.
(Ⅱ)法一 (命題者提供的參考解答)
設(shè)11()Axy，，，由已知得到22(Bxy，120yy≠，且，， 22111xy#8722;=22221xy#8722;=
設(shè)切線的方程為:PA11()yykxx#8722;=#8722;，
由，得 1122(1yykxxxy#8722;=#8722;#9127;#9128;#8722;=#9129;
2221111(1)2()()1kxkykxxykx#8722;#8722;#8722;#8722;#8722;#8722;=，從而， 2222211114()4(1)()4(1)0kykxkykxkΔ=#8722;+#8722;#8722;+#8722;=
解得11xky=，因此的方程為:， PA111yyxx=#8722;
同理的方程為:PB221yyxx=#8722;，
又在、上， 0()Pmy，PAPB
所以，， 1011yymx=#8722;2021yymx=#8722;
即點(diǎn)11()Axy，，都在直線22(Bxy，01yymx=#8722;上，又1(0Mm，也在直線上，所以三點(diǎn)01yymx=#8722;A，M，共線.
