生活中的數(shù)學(xué)

■ 曹亮吉

一般人學(xué)數(shù)學(xué)到底要學(xué)什么呢？從實(shí)用的觀點(diǎn)來看，答案是學(xué)會算術(shù)計(jì)算，及一點(diǎn)點(diǎn)的幾何與代數(shù)。在考試至上的氣氛熏陶下，答案是背誦及套用公式，做各種（復(fù)雜）的計(jì)算。近年來，想法漸有改變，認(rèn)為學(xué)會尋求數(shù)與形的規(guī)律及過程，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的。

從尋求數(shù)與形的規(guī)律，可往二個方向延伸。規(guī)律是規(guī)則與定律，是嚴(yán)格的，無例外的。然而通性、風(fēng)格、式樣、花樣、大要、樣式、形態(tài)、圖樣、結(jié)構(gòu)、特色、模式等等，多多少少有規(guī)律可循，可視為廣義的規(guī)律，其實(shí)也可以是學(xué)數(shù)學(xué)所要學(xué)的。廣義的規(guī)律，我們稱之為胚騰。

另一方面，天地之間的萬事萬物，莫不隱藏有數(shù)與形，及數(shù)與形的胚騰。把學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的眼界從純粹的數(shù)與形，以及狹義的規(guī)則與定律，提升到隱藏于萬事萬物中的數(shù)與形，以及廣義的規(guī)則與定律──胚騰，數(shù)學(xué)不再是枯燥抽象的，不再是似乎很有用，但不知用在哪里的東西。

經(jīng)過察覺、轉(zhuǎn)化、解題、溝通及評析等步驟，把數(shù)學(xué)和生活以及其他學(xué)習(xí)領(lǐng)域連結(jié)在一起，數(shù)學(xué)才能變成具體而有用。新實(shí)施的中小學(xué)數(shù)學(xué)課程強(qiáng)調(diào)的一個重點(diǎn)，就是數(shù)學(xué)的連結(jié)。

人是尋求規(guī)律的動物

人是尋求規(guī)律的動物，從語文及數(shù)數(shù)目發(fā)展的過程就可看出端倪。

語文要是沒有規(guī)律，彼此無法溝通，就不成為語文。語文的規(guī)律大致有二個層次。一個是大體的結(jié)構(gòu)，譬如字序，中文的“狗咬我”和“我咬狗”，意義完全不同，而日文要把“狗咬我”說成“我（被） 狗咬（了）”。又譬如，必要時，時間、空間要講清楚，否則不知道你講的是何時何地的事。另一個層次是較細(xì)致的變化，譬如英文動詞過去式的語尾變化，中文因類不同的各種數(shù)量值用法（個、只、顆、?！?/p>

小孩子學(xué)語文，結(jié)構(gòu)層次的規(guī)律

很快就掌握得差不多，細(xì)致變化的那一層次則會引起一些學(xué)習(xí)的困擾，因?yàn)橐?guī)律大致是有的，但不清楚或例外的地方也不少。人類在發(fā)展語文的過程中，認(rèn)識到現(xiàn)在與過去需要有所區(qū)別，于是英文就用不同的字代表現(xiàn)在與過去，所以一些常用動詞都是不規(guī)則的。不規(guī)則動詞一多，使用就不方便，于是發(fā)展了以ed代表過去的規(guī)律。不過，已經(jīng)有的不規(guī)則動詞早已成了文化的一部分，只好任其不規(guī)則。然而，人到底是尋求規(guī)律的動物，于是許多現(xiàn)在已不常用的不規(guī)則動詞，如dwell（住；通常用live表之） 的過去式dwelt就很少人會用，而dwelled也逐漸取得合法的地位。相信這樣發(fā)展下去，英文的不規(guī)則動詞會愈來愈少。

中文數(shù)量值的用法，常常和歸類有關(guān)。有腳動物歸成一類（人除外），以“只”數(shù)之；長條形的東西以“條”數(shù)之等等。歸類自然得尋找共同的表征，也就是尋求規(guī)律。當(dāng)然，老祖宗在發(fā)展數(shù)量值的過程中，歸類的工作沒做到非?？茖W(xué)?！邦w”與“?！痹趺磪^(qū)別？大體來說，粒指顆粒狀中較小者，顆則大小通用。?？纱蟮皆鯓拥某潭?？我們說一粒蘋果或一顆蘋果都可以，顯然粒至少可用到大如蘋果者。不過比蘋果稍小的心臟不能以粒來數(shù)。另一極端，在閩南語中，我們常說一粒西瓜，不說一顆西瓜，而用普通話，則說一個西瓜，少說一顆西瓜。我相信應(yīng)規(guī)律化之趨勢，數(shù)量值會愈來愈簡化。

數(shù)數(shù)目的規(guī)律

英文的11（eleven）是 10余 1的意思，12（twelve）是 10余 2的意思，13（thirteen）是3加10的意思，一直到19都是加法的想法。過了20規(guī)律建立了，先說整的部分，再說零頭的部分，從此往下數(shù)就很順暢。很多語文都有類似的發(fā)展過程，開始慢慢數(shù)，后來數(shù)出心得，數(shù)出規(guī)律來。像中文很早就建立了十進(jìn)制的數(shù)數(shù)法規(guī)律，是很難得的。

人是尋求規(guī)律的動物。觀察了天象，知道天體運(yùn)行的規(guī)律，還進(jìn)一步建立歷法來規(guī)范作息。歷史學(xué)家尋求朝代改變的規(guī)律，想以此作為借鑒。地理學(xué)家注意到，在地球上，無論南半球還是北半球，只要在緯度30°與40°之間靠海的陸地，夏天氣候一定是炎熱干燥，冬天都是溫和潮濕，因此都有類似的植物生態(tài)。

數(shù)學(xué)里有許許多多不很復(fù)雜的規(guī)律可讓學(xué)生去尋求。尋求規(guī)律很有趣，而且可以累積許多經(jīng)驗(yàn)，以便用于其他領(lǐng)域中規(guī)律的尋求。

尋找規(guī)律

語文的發(fā)展從凌亂開始，漸漸約定俗成，有了規(guī)律，再來簡化規(guī)律。這樣的發(fā)展過程本身也呈現(xiàn)一種通性——許多語文都是這樣發(fā)展的。

數(shù)數(shù)目數(shù)到某個階段，豁然開通，懂得十進(jìn)制的原理，從此以后數(shù)得順暢，這也是小孩子數(shù)數(shù)目的通性。但是中文的數(shù)數(shù)目，卻沒留下最前階段數(shù)得不順暢的痕跡。

規(guī)律給人的印象是一成不變，通性則是模糊之中大致有個規(guī)律；通性是廣義的規(guī)律。

成名的畫家，他的畫有一定的風(fēng)格，有欣賞能力的，一眼就看得出。風(fēng)格不是嚴(yán)格的規(guī)律，它有變化的空間，頂多是廣義的規(guī)律。

流行的服飾有一定的式樣，大家爭相模仿，不過剪裁要合身，花樣也可以投己所好。式樣也不是狹義的規(guī)律。

一本介紹考古的書籍說，限于篇幅，只能舉出一些實(shí)例，讓讀者感受到考古學(xué)的大要。

通性、風(fēng)格、式樣、花樣、大要等等，都表示有某種規(guī)律，但比較傾向定性型的，而非定量型的。有沒有一個詞，可以統(tǒng)攝這些似乎有某些共同性質(zhì)的多種面貌，就像規(guī)律泛指規(guī)則、定律那樣。中文似乎沒有，我們暫以x表之。x可解為廣義的規(guī)律，不過它是個衍生詞，有點(diǎn)啰唆，不是好的解。我們要為x找個適當(dāng)?shù)拿帧?/p>

學(xué)數(shù)學(xué)是尋求事物背景中有關(guān)數(shù)與形的規(guī)律?，F(xiàn)在，人不但尋求規(guī)律，更試圖了解x，那么數(shù)與形中是否一樣有x，值得數(shù)學(xué)的關(guān)注。

斑 馬

提起斑馬，眼前馬上浮現(xiàn)黑白相間的條紋。黑白相間有形的順序感，條紋的多寡有數(shù)的量感。再留意一下，有些斑馬的條紋比較寬，看起來比較疏，有些比較窄，看起來比較密。分開看不覺得，擺在一起就很顯眼。

這里有沒有數(shù)學(xué)？有的，寬窄的相對比較。數(shù)學(xué)就條紋這個表征，認(rèn)定斑馬至少有二種，寬紋斑馬和窄紋斑馬。數(shù)學(xué)方式的分類有沒有道理？有的，生物學(xué)家說，寬紋的叫做草原斑馬，產(chǎn)于非洲東部及南部的草原區(qū)；窄紋的叫做格利威斑馬，產(chǎn)于非洲北部的灌木區(qū)，而且腹部白色無條紋。另外還有一種產(chǎn)于西南非高地的山斑馬，其臀部有格子式的斑紋。

我們不好說條紋的幾何規(guī)律不一樣，我們說條紋的幾何樣式不一樣。x有了新的例子：樣式。就條紋的表征，依幾何的樣式分類是數(shù)學(xué)的工作。

從數(shù)學(xué)看出斑馬可分若干種，那么要不要追出分種的源頭？有的數(shù)學(xué)家比較保守，認(rèn)為那是生物學(xué)家的專屬。觸及生物領(lǐng)域已經(jīng)有多管閑事的顧忌，何況還要深入其境。有的數(shù)學(xué)家比較積極，不但要研究生物背景中數(shù)與形的x，還要透視造成x的來源與機(jī)制。他們預(yù)創(chuàng)了形態(tài)數(shù)學(xué)，作為日益擴(kuò)張中之生物數(shù)學(xué)的一個分支。

其實(shí)就學(xué)習(xí)的觀點(diǎn)，管它專屬數(shù)學(xué)還是生物，有趣的就該快樂的學(xué)。

通性、風(fēng)格、式樣、花樣、大要等等，都是x的不同面貌，還有，在數(shù)學(xué)中，除了規(guī)律之外，又可找到許多x的變身，像樣式、形態(tài)、圖樣、結(jié)構(gòu)、特色、模式等等。大抵說來，這些用詞或代表狀況之特征，或變化之特色。那么該給x什么樣的名字呢？

英文有個字可以代表這樣的x，稱為pattern，pattern譯成中文是什么呢？隨著上下文各有不同的譯法，上面所提到的各種名詞都有可能，而且還有其他的可能。在數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中，有人譯成模式，有人主張樣式。樣式的身段比較柔軟，似乎更能呈現(xiàn)x的定性特質(zhì)。

（曉東摘自《阿草的數(shù)學(xué)圣杯》，有刪節(jié)）