相干信源條件下的稀疏貝葉斯DOA估計*

何文超，梁龍凱，弓 馨

(長春人文學院 理工學院，長春130117)

0 引 言

波達方向(Direction of Arrival,DOA)估計是陣列信號處理領(lǐng)域的重要研究方向之一。山峰、海平面等障礙物對信源進行反射所造成的多徑干擾，均會使得傳感器陣列接收到的回波信號是相干的。因此，研究相干信源的DOA估計尤為重要。現(xiàn)階段主要的方法是采用子空間平滑(Subspace Smoothing，SS)技術(shù)對協(xié)方差矩陣進行處理，并對處理后的矩陣采用子空間類算法，如MUSIC等[1-2]。但是，基于子空間類的算法在小快拍、低信噪比下信號估計性能顯著退化[3-4]。壓縮感知理論的提出[5-6]，使得在小快拍、低信噪比情況下能夠獲得較好的DOA估計性能。因此，可結(jié)合子空間平滑理論和稀疏恢復理論進行DOA估計。

早期的稀疏恢復算法采用的是全局匹配濾波器(Generalized Matched Filter,GMF)[5]，其中，性能較好的算法是l1-SVD[6]。文獻[7-8]指出，l1-SVD問題可以看成是子空間加權(quán)擬合(Weighted Subspace Fitting,WSF)的過程。文獻[9]給出了一種加權(quán)子空間擬合問題的稀疏表示，并指出此類問題的約束條件應(yīng)是l0-norm，而實際上往往采用l1-norm代替。針對文獻[9]給出的稀疏信號模型，可以通過基于凸優(yōu)化的lp范數(shù)法[10]以及基于貪婪思想進行迭代重構(gòu)的MP算法[11-15]。此類方法的解可能收斂于局部極值點，無法保證全局最優(yōu)解，當信源間具有較強相關(guān)性時性能下降[16]。稀疏貝葉斯類算法被認為是唯一一種與l0范數(shù)優(yōu)化具有相同全局收斂性的稀疏重構(gòu)方法。文獻[17]提出了一種離格貝葉斯算法(Off-grid Sparse Bayesian Interference，OGSBI)，在降低計算量的同時能夠提高DOA估計精度。

本文針對現(xiàn)有的稀疏貝葉斯算法無法解決相干信源的DOA估計問題，將子空間平滑技術(shù)與稀疏恢復理論相結(jié)合，提出了SS-OGSBI算法?？紤]到在小快拍下、有限長采樣條件下的信號子空間與實際的信號子空間無法完全重合，結(jié)合子空間擬合技術(shù)，在最小二乘意義使得有限長采樣條件下的信號子空間與實際的信號子空間重合，提出了一種基于子空間擬合與子空間平滑技術(shù)的信號模型，并與離格稀疏貝葉斯算法相結(jié)合，進一步提出了SS-WSF-OGSBI算法。與經(jīng)典的基于貝葉斯恢復的DOA估計算法進行對比試驗，證明了所提本算法的有效性。

1 信號模型

本文所研究的是在高斯噪聲背景下均勻線性陣列模型DOA參數(shù)估計，對于所有的回波信號均為遠場窄帶相干信號。接收信號可以表示為

Y(t)=AX(t)+N(t)，t=1,2,…,T。

(1)

式中：Y為信號接收陣列，M×T維矩陣，M是陣元數(shù)；T是快拍數(shù)；A是陣列流形，

A=[a(θ1)a(θ2) …a(θk)]，

接收陣列的協(xié)方差矩陣可以表示為

(2)

對式(2)做子空間平滑處理，得到

(3)

式中：ES和EN分別式信號子空間和噪聲子空間所對應(yīng)的特征向量;Λ和Γ是信號子空間和噪聲子空間對應(yīng)的特征值；L是子空間陣列數(shù)；Rl是子空間協(xié)方差矩陣，

Rl=R(l:l+M-1,l:l+M-1) 。

(4)

式中：M是子空間協(xié)方差矩陣的維數(shù)。

在有限采樣數(shù)據(jù)情況下，陣列流形張成的子空間與實際的信號子空間不能完全重合，而WSF算法在最小二乘意義下可以使得擬合的效果最好。

由文獻[9]可知，式(3)可以轉(zhuǎn)化成WSF問題，如下：

(5)

(6)

(7)

式中：N是估計誤差。由文獻[9]知，模型(5)的估計誤差是卡方分布，即近似高斯分布，因此，模型(7)的誤差也為近似高斯分布，所以其噪聲概率密度函數(shù)可以由高斯函數(shù)近似表示。這與稀疏貝葉斯模型相一致，因此可以通過文獻[17]提出的OGSBI算法進行參數(shù)估計。

2 OGSBI算法

式(7)的信號模型與稀疏貝葉斯模型一致，此時可用OGSBI算法恢復目標DOA。OGSBI算法可看成是傳統(tǒng)的SBL(Sparse Bayesian Learning)算法與離格算法的組合。

2.1 SBL算法

對于式(7)的信號模型，可以看成如下形式：

Y(∶,i)=φ(θ)X(∶,i)+N(∶,i),i=1,2,…,T。

(8)

假設(shè)X的每一列向量均是相互獨立且符合高斯分布的隨機變量，那么其似然函數(shù)可以表示為

(9)

對于參數(shù)δi，通常假設(shè)其符合Gamma分布，如下：

(10)

式中：參數(shù)ρ通常取為很小的正數(shù)，此處取ρ=0.01。

信號Y的似然函數(shù)為

(11)

根據(jù)貝葉斯原理，由公式(9)、(11)可知，

(12)

式中：

(13)

(14)

根據(jù)SBL算法原理，需要更新超參數(shù)α0和δ(注Δt=diag(δ))。此處按照文獻[17]的方法，直接給出：

(15)

(16)

式中：Ξt?μt(μt)H+Σt。

2.2 離格(OG)算法

稀疏貝葉斯算法是假設(shè)目標DOA在搜索字典中，當目標位置在相鄰兩個網(wǎng)格之間時，會產(chǎn)生較大誤差。離格貝葉斯算法是在此基礎(chǔ)上提出的，其思想是在相鄰兩個網(wǎng)格點之間做一階泰勒展開式得到的。

(17)

根據(jù)文獻[17]，直接給出β更新方法為

(18)

式中：

(19)

(20)

3 本文提出的算法

3.1 SS-OGSBI算法

針對OGSBI算法無法解決相干信源DOA估計問題，本文將子空間平滑技術(shù)(SS)與OGSBI算法相結(jié)合，提出了SS-OGSBI算法。下面介紹算法原理。

根據(jù)信號模型(1)，獲得接收信號的協(xié)方差矩陣(2)，結(jié)合子空間平滑技術(shù)可獲得式(3),式(3)可變換為

(21)

對式(21)做特征值分解，可得到

(22)

式中:Σ是對角矩陣。結(jié)合式(21)、(22)及式(1)可知，

U=A′X′+N′ 。

(23)

式中：A′是導向矢量矩陣，維度是M×NS，M是子空間矩陣的維度，NS是目標數(shù);X′是變換矩陣;N′是估計誤差。矩陣U和ES均可以通過導向矢量A′的線性變換得到。

式(23)的信號模型與OGSBI算法的信號模型一致，即可應(yīng)用OGSBI算法估計式(23)中的X′，所估計的目標DOA即在X′的非零行上。

算法的Matlab偽代碼如下：

3 根據(jù)式(21)～(23)可獲得信號模型U=AX′+N′。

6 由式(14)和式(13)計算Σt和μt。

7 由式(15)和式(16)計算α0和δi。

8 由式(18)～(20)更新參數(shù)β。

9 由式(17)更新導向矢量φ(θ)。

10 判斷當條件‖δ(l)-δ(l-1)‖2/‖δ(l-1)‖2<ε時(仿真中，ε=0.001)，繼續(xù)執(zhí)行下一步，否則跳轉(zhuǎn)步驟6。

3.2 SS-WSF-OGSBI算法

3.1節(jié)所提出的SS-OGSBI算法在小快拍、低信噪比情況下，式(21)中的信號子空間ES與無限長采樣下的信號子空間有很大的估計誤差，使得模型(23)的估計誤差顯著增大。因此，我們提出采用子空間加權(quán)擬合算法，使得有限長采樣下的信號子空間與實際的信號子空間在最小二乘意義下接近。

算法的Matlab偽代碼如下：

6 由式(14)和式(13)計算Σt和μt。

7 由式(15)和式(16)計算α0和δi。

8 由式(18)～(20)更新參數(shù)β。

9 由式(17)更新導向矢量φ(θ)。

10 判斷當條件‖δ(1)-δ(l-1)‖2/‖δ(l-1)‖2<ε時(仿真中，ε=0.001)，繼續(xù)執(zhí)行下一步，否則跳轉(zhuǎn)步驟6。

3.3 信號功率譜

(24)

對式(21)進行譜峰搜索(findpeaks函數(shù))，峰值位置所對應(yīng)的θfinal角度即是估計的DOA角度。

4 仿真實驗

仿真實驗中，信號采用兩個頻率、相位完全相同的BPSK信號，從不同的方向角度入射天線陣列。定義信噪比為

(25)

4.1 一次估計性能

實驗條件：網(wǎng)格間距2°，信噪比10 dB，采樣點數(shù)20，陣元數(shù)10，取陣元間距為信號波長的1/2。目標角度隨機選取，兩個目標角度的范圍分別為[60°,62°]和[120°,122°]。歸一化的譜估計結(jié)果如圖1所示。

圖1 SS-WSF-OGSBI一次估計性能

4.2 信噪比

圖2 SS-OGSBI一次估計性能

圖3 均方根誤差隨信噪比變化

由圖3可知，文獻[14]算法為非離格類算法，當目標DOA在網(wǎng)格點之間時，即使在高信噪比條件下仍有較大的估計誤差，算法失效。文獻[17]的OGSBI算法能夠解決離格問題，但對于相干信源，在低信噪比下有較大的估計誤差。SS-OGSBI能夠處理相干信源和離格DOA估計問題，但在小快拍、低信噪比下，由于有限采樣條件下的信號子空間與實際的信號子空間有較大的估計誤差，與SS-SWF-OGSBI算法相比性能略差。SS-SWF-OGSBI算法與SS-OGSBI算法，在-4 dB下誤差相差0.2°左右，在10 dB下誤差相差0.015°左右。

4.3 成功率

圖4 成功率實驗

由圖4可知，在采樣點為20時，文獻[14]與文獻[17]算法成功率明顯小于其他兩種算法。這主要因為當目標位置在網(wǎng)格點以外時，這兩種算法失效；尤其在低信噪比情況下，在角度分辨率為2°時，成功率低于0.2。SS-OGSBI算法能夠有效處理離格問題和相干信源問題，但在小快拍條件下，由于所估計的信號子空間偏離實際的信號子空間，使得算法性能低于SS-WSF-OGSBI算法。信噪比在3 dB以上時，兩種算法的角度估計誤差均能保持在1°以內(nèi)。

4.4 均方根誤差隨快拍數(shù)變化

實驗條件：信噪比為-5 dB，快拍數(shù)變化范圍是100～1 000，每次間隔100，其他條件與4.2節(jié)相同。做100次蒙特卡洛實驗，實驗結(jié)果如圖5所示。

圖5 均方根誤差隨快拍數(shù)變化

由圖5可知，本文提出的兩種算法性能在低信噪比下明顯優(yōu)于其他兩種算法。本文所提的SS-WSF-OGSBI算法與SS-OGSBI算法相比，當快拍數(shù)小于600時，由于有限長采用下的信號子空間與實際的信號子空間偏差較大，使得SS-WSF-OGSBI算法性能優(yōu)于SS-OGSBI算法。當快拍數(shù)大于700時，有限長采樣下的信號子空間接近實際的信號子空間，使得兩種算法的性能基本一致。文獻[17]算法和文獻[14]算法無法解決相干信源條件下的離格DOA估計問題，尤其在低信噪比(-5 dB)下，性能嚴重退化，估計誤差均大于0.9°。

4.5 均方根誤差隨目標數(shù)變化實驗

實驗條件：網(wǎng)格間距2°，信噪比10 dB，采樣點數(shù)20，陣元數(shù)10，取陣元間距為信號波長的1/2。目標角度隨機選取，角度范圍在[70°,72°]、[90°,92°]、[120°,122°]、[140°,142°]、[50°,52°]五個區(qū)間內(nèi)。實驗結(jié)果如圖6所示。

圖6 均方根誤差隨目標數(shù)變化

在實驗中，均假設(shè)所有回波信號都是頻率相同、相位相同的BPSK信號。由圖6可知，隨著目標數(shù)的增加，四種算法的均方根誤差均會變大。當目標數(shù)為5時，文獻[17]與文獻[14]兩種算法已經(jīng)無法準確估計目標的方位角。在10 dB下，SS-WSF-OGSBI與SS-OGSBI相比，略優(yōu)于后者。

在仿真過程中，陣元數(shù)取M=10,所能估計的最大目標數(shù)為5。當估計6個目標時，本文所提出的兩種算法均無法準確估計目標。能夠準確估計目標最大數(shù)目的證明如下：

當目標均為相干信號源時，為了保證損失的陣列孔徑最小，在子空間平滑過程中，取子空間數(shù)L等于相干信號源數(shù)目K，而子空間矩陣是(M-L+1)維的方陣。能夠準確估計目標的條件為(M-L+1)?K,又因為L=K，可知

(26)

當所估計的目標數(shù)接近上述最大值時，算法的性能會顯著下降，甚至無法準確估計目標DOA角度。

5 結(jié)束語

針對稀疏貝葉斯算法無法準確估計相干信源DOA問題，本文將子空間平滑技術(shù)與稀疏貝葉斯算法相結(jié)合，提出了SS-OGSBI算法。此算法能夠有效解決相干信源和離格DOA估計問題，但在小快拍低信噪比條件下性能下降。針對此問題，提出了基于子空間平滑和子空間擬合的信號模型，并將此信號模型與稀疏貝葉斯算法相結(jié)合，提出了SS-WSF-OGSBI算法。此算法與SS-OGSBI算法相比，在小快拍低信噪比條件下性能有明顯的改善。本文提出的信號模型亦可與其他稀疏恢復類算法相結(jié)合，來解決小快拍條件下的相干信源DOA估計問題。所提算法在不同信噪比下的算法估計性能、不同信噪比下的算法成功率均優(yōu)于其他兩種算法。

本文中所討論的環(huán)境噪聲均為高斯白噪聲，在后續(xù)的研究中，可對高斯有色噪聲以及α噪聲環(huán)境下的相干信源DOA估計方法進行探討。