普通城門洞斷面正常水深的近似計算式

張寬地，呂宏興，趙延風(fēng)

普通城門洞斷面正常水深的近似計算式

張寬地1，2，呂宏興1，趙延風(fēng)1

（1.西北農(nóng)林科技大學(xué) 水利與建筑工程學(xué)院，陜西 楊凌 712100；2.中科院水利部水土保持研究所黃土高原土壤侵蝕與旱地農(nóng)業(yè)國家重點實驗室，陜西楊凌 712100）

普通城門洞形過水?dāng)嗝媸切购樗矶摧^常采用的斷面形式之一，其幾何圖形由槽形與圓弧曲線構(gòu)成，過水?dāng)嗝嫠σ貫榉侄魏瘮?shù)，正常水深的計算無論是查圖表法還是迭代試算法都比較繁瑣，計算誤差較大，且依賴圖表，不便于應(yīng)用。為此，通過城門洞形斷面均勻流方程的數(shù)學(xué)變換，并對引入的無量綱參數(shù)與相對臨界水深的關(guān)系進行分析及計算，應(yīng)用逐步優(yōu)化擬合原理進行分段擬和，得到了城門洞形斷面均勻流水深的直接計算式。實例計算及誤差分析表明：在工程實用范圍內(nèi)（正常水深與拱頂半徑之比在1.00到1.80之間），該公式最大相對誤差僅為0.40%，且該式物理概念清晰明確、公式形式簡捷，能為工程設(shè)計及水工設(shè)計手冊的編制提供有益的參考。

水力計算；正常水深；城門洞形斷面

1 概 述

普通城門洞形過水?dāng)嗝媸切购樗矶春凸喔纫矶摧^常采用的斷面形式之一，水力計算中的正常水深的計算是工程設(shè)計中的關(guān)鍵水力要素，應(yīng)用十分頻繁且有較高的精度要求。對于普通城門洞形斷面臨界水深的計算目前已經(jīng)有較好的計算方法，如張生賢（1992年）提出的明渠臨界流β代換簡捷計算法，采用數(shù)表法求不同斷面的臨界水深；馬吉明等（2000年）提出了查圖法；王正中等（2004年）提出了一種近似計算公式；趙延風(fēng)等（2008年）提出了新的近似計算公式［1－6］。但普通城門洞斷面正常水深的計算為分段函數(shù)，且為超越函數(shù)，故其計算方法較少?，F(xiàn)行的有關(guān)普通城門洞形斷面明渠正常水深計算方法有《水工設(shè)計手冊》的圖解法、試算法；梁勛、文輝等分別在2005年、2007年提出了不同的近似計算公式［7，8］。但圖解法、試算法依賴于圖表，計算誤差大，不易推廣，而直接計算法在追求精度的同時卻忽視了公式的簡捷性，使公式形式非常復(fù)雜，不便于工程界采用。因此，本文在總結(jié)原有成果的基礎(chǔ)上，通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)及逐步優(yōu)化擬合，提出了普通城門洞形斷面正常水深計算的新近似公式，該公式不僅具有精度高，適用范圍廣等特點，且物理概念清晰明確，公式形式非常簡捷、直觀，便于工程界采用。

2 明渠均勻流水深的基本方程

城門洞形過水?dāng)嗝鏌o壓流順坡渠段可按恒定均勻流計算，采用明渠均勻流計算公式計算其正常水深，以曼寧公式表示的明渠均勻流方程為［4］

式中：Q為流量（m3／s）；i為底坡；n為糙率；A0為過水?dāng)嗝婷娣e（m2）；χ為濕周（m）。

2.1 城門洞形斷面水力要素

城門洞形斷面的形式見圖1，對于水深小于H0的情況屬于矩形斷面正常水深的求解問題，這里不再羅列。當(dāng)均勻流水深h0大于邊墻高度H0時，屬于本文研究的內(nèi)容，其水力要素為

圖1 城門洞形隧洞斷面Fig.1 Arched water transfer cross section

當(dāng)城門洞形隧洞側(cè)墻高度H0等于頂拱半徑r，θ＝π／2時，此斷面稱為普通城門洞斷面，將其代入公式（2）得

2.2 普通城門洞形斷面均勻流方程

將上式（3）對應(yīng)的水力要素代人公式（1），并整理便得求解城門洞形斷面正常水深的非線性方程

由此可知，普通城門洞斷面正常水深的計算就是非線性方程（4）的求根問題，現(xiàn)行有關(guān)普通城門洞形斷面明渠正常水深計算方法主要是《水工設(shè)計手冊》的圖解法、試算法［1，2］；但上述方法依賴于圖表，計算誤差大，不易推廣。因此，尋求一種形式簡捷、計算誤差小的近似公式來逼近普通城門洞形斷面均勻流方程組不妨為一種較好的求解思路。梁勛、文輝［7，8］等提出的近似計算公式就是很好的探索，但兩公式在追求精度的同時都忽視了公式形式的簡捷性，提出的計算公式形式非常復(fù)雜，不便于工程界應(yīng)用。

3 普通城門洞形斷面正常水深的直接計算式

將上式（4）均勻流方程組進行恒等變形，可得正常水深精確計算公式

上式（5）為超越函數(shù)且未知數(shù)包含在三角函數(shù)中，無法直接求解，為得到近似計算公式，不妨引入無量綱參數(shù)

理論上的取值范圍為 x＝［0，2］，為避免波狀水面有可能接觸洞頂引起水流封頂現(xiàn)象或明滿流交替現(xiàn)象［4］，對自由水面以上的凈空面積要求不小于全斷面面積的15%，凈空高度不小于0.4 m［1］，可得相對無量綱水深x的最大值一般不超過1.80，相應(yīng)地可得無量綱參數(shù)k值的上限為2.38。根據(jù)正常水深連續(xù)性可知，x的最小值為1.0，相應(yīng)無量綱參數(shù)k的取值范圍k＝［1.26，2.38］，在 x的取值范圍內(nèi)以一定步長給定一組數(shù)值代入均勻流方程（5）可得相應(yīng)無量綱參數(shù)k的取值，本文作者對該范圍內(nèi)k與x的1 000多組數(shù)據(jù)采用Matlab7.1軟件進行逐步優(yōu)化擬合，得出以下直接計算公式：

4 精度評價

為驗證本文計算公式的正確性及誤差全程分布情況，通過給定不同的x值，由水力要素函數(shù)求得相應(yīng)x的不同過流流量Q，再由均勻流方程求得相應(yīng)無量綱參數(shù)k值，最后將k值代入直接計算公式（7）求得相應(yīng)無量綱水深x的計算值。設(shè)精確解為x*，則相對誤差 Δ＝（x－x*）／x*×100%。為簡明起見，圖2繪制出了本文公式（7）在相對正常水深x取值范圍的誤差全程分布情況。由圖2可知，本文公式精度完全滿足工程的需求，在工程實用范圍內(nèi)（正常水深與拱頂半徑之比在1.00到1.80之間）最大誤差絕對值為0.40%。

圖2 公式（7）相對誤差全程分布圖Fig.2 The distribution of relative error by using formula（7）

有關(guān)計算城門洞斷面正常水深的直接計算方法主要有梁勛公式和文輝公式。但因梁勛公式與本文研究的斷面形式略有差異，故不再列出，表1僅列出文輝公式和本文計算公式，進行比較。

從公式的形式來看，文輝公式中第一項系數(shù)接近于零，但指數(shù)又非常大，導(dǎo)致計算結(jié)果穩(wěn)定性較差；而本文公式形式為分段二次多項式，相對簡捷。從公式的適用范圍來看，本文公式與文輝公式適用范圍一致。從適用范圍內(nèi)最大相對誤差來看，文輝公式最大相對誤差最小，本文公式次之，但在實際工程設(shè)計與渠道原型觀測中，誤差小到一定程度是沒有意義的，且本文公式中最大相對誤差的絕對值為0.40%，遠滿足工程實際需要。因此，從公式的簡捷性、公式適用范圍及適用范圍內(nèi)最大相對誤差三方面綜合考慮，本文公式（7）是目前計算該斷面正常水深的較好公式。

表1 不同計算方法的比較Table 1 Comparison of results obtained by different methods

5 應(yīng)用舉例

某水庫輸水隧洞，設(shè)計引水流量28 m3／s，擬用普通城門洞形斷面，初設(shè)半徑為2.5 m，底坡i＝1／2 500，n＝0.014。試計算洞內(nèi)的均勻流水深，計算步驟如下。

步驟1：計算無量綱參數(shù)k，

步驟2：將無量綱參數(shù)代入公式（7），計算無量綱水深 x，因1.26≤k≤2.07，代入如下公式計算相對正常水深，

步驟3：將無量綱水深代入公式（6）計算正常水深h0，

精確解為3.156 m，相對誤差為－0.032%。

6 結(jié) 論

針對現(xiàn)有普通城門洞斷面正常水深求解公式存在公式復(fù)雜的缺陷，本文應(yīng)用逐步逼近原理，在分析均勻流方程數(shù)學(xué)特性的基礎(chǔ)上，提出了普通城門洞形斷面正常水深的直接計算公式，該算法與目前文獻研究的成果相比具有表達式簡捷、準(zhǔn)確、適用范圍廣等特點，克服了查圖、查表法的繁瑣、誤差大等缺點，是目前計算普通城門洞斷面正常水深的較好計算公式，能為水工設(shè)計人員及水工計算手冊的編制提供有益的參考。

［1］ 清華大學(xué).水力學(xué)（修訂本）（上冊）［M］.北京：高等教育出版社，1980.（Tsinghua University.Hydraulics［M］.Beijing：Higher Education Press，1980.（in Chinese））

［2］ 吳持恭.水力學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，1979.（WU Chi-gong.Hydraulics［M］.Beijing：Higher Education Press，1979.（in Chinese））

［3］ 張生賢，張步南.明渠均勻流臨界流β代換簡捷計算法［C］∥中國科學(xué)技術(shù)協(xié)會首屆青年學(xué)術(shù)年會論文集.北京：中國科學(xué)技術(shù)出版社，1992.（ZHANG Sheng-xian，ZHANG Bu-nan.The simpleβdisplacement computation method of open channels uniform flow and critical flow［C］／／The First Youth Learning Annual Corpus of China Association for Science and Technology.Beijing：China Science Technology Press，1992.（in Chinese））

［4］ 馬吉明，梁海波，梁元博，等.城門洞形及馬蹄形過水隧洞的臨界水流［J］.清華大學(xué)學(xué)報，1999，39（11）：32－34.（MA Ji-ming，LIANGHai-bo，LIANGYuan-bo，et al.Critical flow in city－gate and horseshoe conduit［J］.Tsinghua Univ：Sci and Tech，1999，39（11）：32－34.（in Chinese））

［5］ 王正中，陳 濤，張新民，等.城門洞形斷面隧洞臨界水深的近似算法［J］.清華大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2004，44（6）：814－816.（WANG Zheng-zhong，CHEN Tao，ZHANG Xin-min，et al.Approximate solution for the critical depth of a arched tunnel［J］.J Tsinghua Univ：Sci and Tech，2004，44（6）：814－816.（in Chinese））

［6］ 趙延風(fēng)，宋松柏，孟秦倩.普通城門洞形斷面臨界水深的近似計算方法［J］.長江科學(xué)院院報，2008，25（4）：14－15.（ZHAOYan-feng，SONGSong-bai，MENG Qin-qian.Approximate method calculating critical water depth in common city-opening shaped cross-section［J］.Journal of Yangtze River Scientific Research Institute，2008，25（4）：14－15.（in Chinese））

［7］ 梁 勛，馮玉蓮.標(biāo)準(zhǔn)門洞型過水?dāng)嗝嫠τ嬎惴椒ǖ暮喕跩］.黑龍江水專學(xué)報，2005，32（2）：18－20.（LIANG Xun，F(xiàn)ENG Yu-lian.Simplification of hydraulic calculation method of the cross section for standard door type tunnel［J］.Journal of Heilongjiang Hydraulic Engineering College，2005，32（2）：18－20.（in Chinese））

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Approximate Method Calculating Normal Depth of Arched-gate Section Tunnel

ZHANG Kuan-di1，2，LV Hong-xing1，ZHAO Yan-feng1
（1.College of Water Resources and Architectural Engineering，Northwest A＆F University，Yangling 712100，China；2.Institute of Soil and Water Conservation，CAS.，Yangling 712100，China）

It is difficult to calculate normal water depth of a arched section tunnel for its complex geometrical shape.From using the mathematics transformation method and the theory of optimization and regression to deal with the basis equation of the normal depth in arched section tunnel，a new direct formula is derived in this paper，which overcomes the shortage of other methods，such as chart looking up method，trial and error method and iterative trial method.This method is simpler and more accurate than other approximate methods with a maximum error of less than 0.40%in the utility range（ratio of critical depth to arch radius of 1.0－1.80）.So，it will be useful in engineering practice and in course of compiling handbook of hydraulic structure design.

hydraulic calculation；normal depth；arched section tunnel

TV131

A

1001－5485（2010）02－0034－03

2009-01-06；

2009-03-19

國家973計劃課題（2007CB407201）；國家自然科學(xué)基金重點項目（40335050）

張寬地（1978-），男，寧夏隆德人，講師，博士研究生，主要從事水工水力學(xué)及坡面水流的研究，（電話）13519149639（電子信箱）zhangkuandi428＠126.com。

（編輯：曾小漢）