MBBM方程的一類精確解

陸 博 劉 娟 楊金庫

(河南科技學(xué)院數(shù)學(xué)系 河南新鄉(xiāng) 453003)

MBBM方程的一類精確解

陸 博 劉 娟 楊金庫

(河南科技學(xué)院數(shù)學(xué)系 河南新鄉(xiāng) 453003)

利用齊次平衡法并借助一維立方非線性Klein-Gordon方程的精確解，將一個難于求解的非線性偏微分方程化為一個易于求解的代數(shù)方程組然后用待定系數(shù)法確定相應(yīng)的常數(shù)，簡潔地求得MBBM方程的精確解。這些解中包含三角函數(shù)解，Jacobi橢圓函數(shù)解等。同時這種方法還可以可應(yīng)用于其他的非線性發(fā)展方程的求解.

MBBM方程;維立方非線性Klein-Gordon方程;齊次平衡法;精確解

0 引言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，非線性問題的研究在自然科學(xué)和社會科學(xué)領(lǐng)域的作用越來越重要。物理、化學(xué)、生物、工程技術(shù)，甚至經(jīng)濟(jì)研究等都存在著大量的非線性問題，這些問題可用非線性常微分方程或非線性偏微分方程來描述。因此，如何求解這些非線性方程成為廣大數(shù)學(xué)和科技工作者致力于研究的一個重要課題。非線性發(fā)展方程在力學(xué)、物理學(xué)和其他學(xué)科的許多分支中有廣泛的應(yīng)用。尋找其解有著非常重要的意義。近年來各種尋找偏微分方程解的方法已得到發(fā)展，為人們提供了直接尋找非線性偏微分方程精確解的新途徑。

近年來，人們對非線性發(fā)展方程的行波解很感興趣，這是因?yàn)樾胁ń饽軌蜉^好地描述非線性物理現(xiàn)象，如流體動力學(xué)中的波現(xiàn)象、光纖維現(xiàn)象等。關(guān)于行波解的求法是目前孤立子理論的一個重要研究方向，比如有tanh函數(shù)法、sine-cosine法、Jacobi橢圓函數(shù)展開法［1-2］等。齊次平衡法也是尋求非線性發(fā)展方程行波解的最直接而有效的方程之一［3-4］。

1972年 Benjamin T.B.Bona J.L.和 Mahony J.J.把Benjamin-Bona-Mahony方程，簡記為BBM方程作為KdV方程的精確解提出的［5-6］。從那時起對于各種廣義的BBM方程的周期邊界問題初值問題和初邊值問題被廣泛研究［5-9］。本文利用齊次平衡法求出了MBBM方程的精確解。

1MBBM方程的求解

考慮如下形式的MBBM方程［9］

令u=u(x，t)=u(ξ)，其中ξ=ax+bt+ξ0，a，b為待定常數(shù)，ξ0為任意常數(shù)。

將u=u(x，t)=u(ξ)代入方程(1)式經(jīng)整理可得:

其中“u′”表示對ξ求導(dǎo)數(shù)“u?”表示對ξ求三階導(dǎo)數(shù)。

將(2)式兩端積分一次并取積分常數(shù)為零可得方程:

下面平衡方程(3)中的最高階非線性項(xiàng)與最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)并求解。

令u=a0+a1φ+…+anφn，其中φ(ξ)滿足一維立方非線性Klein-Gordo方程:

由方程(3)可知u=a0+a1φ+…+anφn的非線性項(xiàng)次數(shù)為3n最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)為(φn)=n(n-1)φn-2(φ′)2+nφn-1φ″，由方程(4)可知φ″與φ3等價(jià)故可得到:n=1。則

將方程(5)和方程(4)代入(3)得到:

再令上述方程中的φ(ξ)的各冪次項(xiàng)系數(shù)為零可得到一個代數(shù)方程組:

于是可得到MBBM方程(1)的精確解形式為:

2 MBBM方程的精確解舉例

利用文獻(xiàn)［5］所給的一維立方非線性 Klein-Gordon方程的各種精確解可得到方程(1)的幾種精確解。

其中ξ=ax+bt+ξ0，a，b，ξ0，β為任意常數(shù)。

其它情況可參見文獻(xiàn)［10］所提供的方法求解，從而求得在不同情形下MBBM方程的精確解。

3 結(jié)束語

本文利用齊次平衡法并借助于一維立方非線性Klein-Gordon方程的精確解，求出MBBM方程的精確解。該方法具有一定的普遍性，可用于求解更多的非線性發(fā)展方程。

［1］ Fan Engui.Extended tanh-function method and its applications to nonlinear equations［J］.Phys Lett A，2000，277:212-218.

［2］ 劉式適，等.Jacobi橢圓函數(shù)展開法及其在求解非線性波動方程中的應(yīng)用［J］.物理學(xué)報(bào)，2001，50(11): 2068-2073.

［3］ Wang Ming liang.Solitary wave solution for variant Boussinesq equations［J］.Phys Lett A，1995，199: 169-172.

［4］ Lou Senyue，Guang jiong.Ni Physics Department［M］，Shanghai:Fudan University，2002.

［5］ P Biler.Long time behavior of solutions of the generalized Benjamin-Bona-Mahony equation in two space dimensions［J］.Diff Integral Egns，1992，5:891-901.

［6］ J Albert.Dispersion of low energy waves for the generalized Benjamin-Bona-Mahony equation［J］.J differential Equations，1986，63:111-134.

［7］ Zhang L H.Decay of solutions of generalized Benjamin-Bona-Mahony equations［J］.Acta Math Sinica，1994，10:428-488.

［8］ 陸博，李巧萍.Boussinesq-Schr?dinger方程組的精確解［J］.河南工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2009(4):53-56.

［9］ Benjamin T B，Bona J L，Mahony J.J..Model equations for long waves in nonlinear dispersive systems［J］.Philos Trans Roy SocLondon Ser A1972，272:47-78.

［10］ Medeiros L A，Menzala G Perla.Existence and uniqueness for periodic solutions of the Benjamin-Bona-Mahony equation［J］.SIAM J Math Anal，1977，8:792-799.

A Class of Exact Solutions of the MBBM Equations

LU Bo LIU Juan YANG Jin-ku
(Department of Mathematics，Henan Institute of Science and Technology，Xinxiang 453003，China)

Using the homogeneous balance method and the accurate solution of one-dimensional cubic nonlinear Klein-Gordon equation as a class of nonlinear partial differential equations that are hard to be solved by the usual ways can be reduced to a set of easily solved algebraic equations，and their related coefficients can be easily determined by the undetermined coefficients method.Then，the exact analytical solutions of MBBM equation can be obtained.These solutions contain triangular periodic solutions，Jacobi elliptic function solutions and so on.The approach presented in the paper may be used to other nonlinear evolution equations for generating solutions.

MBBM equation;one-dimensional cubic nonlinear Klein-Gordon equation;homogeneous balance method;exact solution

O 175.29

A

1672-2434(2010)06-0031-02

2010-09-06

陸 博(1981-)，男，助教，碩士，從事研究方向:偏微分方程