基于MAT LAB下對單擺實驗中大擺角問題的討論

萬明理,何金娜

(平頂山學院,河南平頂山 467000)

基于MAT LAB下對單擺實驗中大擺角問題的討論

萬明理,何金娜

(平頂山學院,河南平頂山 467000)

借助MATLAB計算軟件,研究無阻尼狀態(tài)下單擺的大擺角運動,給出了任意擺角下單擺運動周期的精確解。同時利用MATLAB函數(shù)庫中的ode45函數(shù),求解出大擺角下的單擺的運動方程及其運動規(guī)律,為單擺實驗中大擺角問題的講解提供了較好的教學輔助手段。

單擺;周期;MATLAB

單擺問題是高中物理及大學普通物理實驗教學中的一個基礎問題。單擺在擺角比較小時,其運動規(guī)律近似為準簡諧振動。但是當擺角比較大時,即單擺在大擺角情況下運動時,這種近似已不在成立,其運動方程滿足非線性微分方程。因此,對擺角大小的限制成為該實驗中必須滿足的條件。不同的實驗條件下,最大擺角的取值不同,其中包括 3°,5°,10°,10.75°,15°甚至 20°等[1-5]。因此,這就為在實驗過程中對擺角的統(tǒng)一取值造成困難,給實驗帶來較大的誤差。同時,學生對單擺在大擺角情況下運動時其運動周期及運動規(guī)律的理解也存在困難。MATLAB是用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計算的高級技術(shù)計算語言。本文將借助于MATLAB這個強大的數(shù)學軟件,計算了任意擺角下單擺運動周期的精確解,消除了擺角問題帶來的誤差。同時利用該軟件,仿真出大擺角時單擺的運動情況,為單擺測重力加速度實驗中大擺角問題的講解提供了較好的手段。大學物理實驗中的很多問題都可以借助MATLAB解決。

1 單擺運動周期

單擺是一種物理模型。設質(zhì)量為m、擺長為l的單擺在重力場中作無阻尼振動,由牛頓第二定律得,單擺的運動方程為:

當擺角θ較小時,由于sinθ≈θ,方程(1)化簡為

這是一個簡單的諧振動方程,其解析解為:

當擺角較大時,這種近似sinθ≈θ不再成立。公式(1)是一個非線性微分方程,其解析解很難求出。但是通過積分的方法,作變量代換,就可得到大擺角運動時單擺的周期的積分形式:

其中θ0為單擺的最大擺角。此公式適用于任意擺角下單擺運動周期的計算。

2 利用MATLAB處理問題

2.1 單擺大擺角的周期精確解

圖1 單擺周期的精確解

運行結(jié)果后,得圖1。如圖1所示,隨著擺角的增大,單擺的運動周期T與T0比值T/T0越來越大,即單擺運動周期隨著擺角增大變大。當擺角θ0≥1.6rad,單擺的運動周期會急劇增加。

2.2 大擺角單擺的運動規(guī)律運動

圖2 單擺的大擺角運動規(guī)律

運行后,得圖 2。實線代表方程(2)的解,是一條正余弦曲線,為典型的簡諧振動。虛線代表大擺角情況下方程(1)的解。

2.3 討論

如圖1所示,隨著單擺擺角的增大,單擺的周期也會增加,這樣很簡單的就找到了為什么用單擺測量加速度時,擺角要小于 5°。因此,借助MATLAB強大的繪圖功能,能夠幫助學生更深入理解單擺大擺角運動下周期的變化規(guī)律。同時,圖2中兩根曲線表明:大擺角振動時,單擺的運動軌跡并不是簡單的正、余弦曲線(雖然很相似),而且,最大擺角越小,兩根曲線越相似;擺角越大,分離越明顯。由于這種相似性,在粗略研究單擺運動時,方程(1)的可以采用一種近似求解方法——余弦函數(shù)法。將周期表示成如下方式:

其中θm為單擺最大擺角。

3 小 結(jié)

利用MATLAB強大的數(shù)值計算能力和繪圖能力,非常簡便的解決了單擺運動過程中大擺角導致的問題。這對于工科的物理實驗教學提供了很多方便,同時也有利于學生深刻的理解單擺問題。在大學物理實驗的很多問題中,例如,都可以借助MATLAB的優(yōu)點,方便的求解問題。

[1]易德文,盛忠志.利用單擺測重力加速度時的最大擺角的再討論[J].物理實驗,2003;23(7):44-45.

[2]葉慧群.單擺周期近似解法綜述[J].浙江師范大學學報:自然科學版,2004,29(3):34-38.

[3]高闖,魏薇,肖發(fā)新.單擺角度問題分析[J].高等函授學報,2004,17(1):35-36.

[4]孫會娟.大角度單擺運動的周期研究[J].北京聯(lián)合大學:自然科學版,2006:71-73.

[5]籍延坤,焦志偉.單擺作簡諧振動的最大擺角的分析[J].大學物理實驗,2001,14(4):8-9.

[6]賈利群.物理實驗學[M].北京:東方出版社,1999:103.

[7]劉衛(wèi)國.MATLAB程序設計與應用[M].北京:高等教育出版社,2006:70-72.

MATLAB Applied in Wide-angled Simple Pendulum Movement

WAN Ming-li,HE Jin-na

(Pingdingshan University,Pingdingshan 467000)

Using MATLAB,period of the simple pendulum without resistances is calculated accurately.While,with the help of MA TLAB ede45,movement equation of wide-angled simple pendulum is solved simply.

simple pendulum;period;MA TLAB

O321

A

1007-2934(2010)06-0075-03

2010-06-11