海森伯格XY模型的負(fù)值度

劉思平

(襄樊學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院, 湖北 襄樊 441053)

海森伯格XY模型的負(fù)值度

劉思平

(襄樊學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院, 湖北 襄樊 441053)

利用一種通用量子糾纏度——負(fù)值度(Negativity)，研究熱平衡時(shí)在外加磁場(沿z軸)下兩量子比特海森伯格XY模型的熱糾纏. 當(dāng)各向異性系數(shù)γ足夠大時(shí)，出現(xiàn)糾纏復(fù)蘇現(xiàn)象，而且對于一有限溫度，可以調(diào)節(jié)外加磁場來產(chǎn)生糾纏. 而對各向同性，當(dāng)溫度比臨界溫度高時(shí)，負(fù)值度為零，與外加磁場無關(guān).

量子糾纏；海森伯格模型；負(fù)值度；熱糾纏；

量子糾纏現(xiàn)象是量子理論最重要的特性之一，是能夠?qū)崿F(xiàn)經(jīng)典信息不可能實(shí)現(xiàn)的新功能的源泉. 量子信息學(xué)直接推動(dòng)了糾纏態(tài)理論的發(fā)展. 糾纏態(tài)在量子態(tài)傳輸[1]、密鑰分配[2]等方面都起著關(guān)鍵的作用. 對糾纏定量的描述即糾纏態(tài)的度量是一個(gè)復(fù)雜而困難的問題，也是量子信息理論中一個(gè)重要的課題. 現(xiàn)在關(guān)于兩粒子系統(tǒng)純態(tài)糾纏理論已經(jīng)相當(dāng)完善[3]. 為了度量兩體混合態(tài)的糾纏，文獻(xiàn)[4-5]提出了多種糾纏度，其中負(fù)值度(Negativity)[6]是一種好的糾纏度量，對兩體混合態(tài)可以很方便的計(jì)算其糾纏. 糾纏的潛在應(yīng)用價(jià)值激勵(lì)著人們?nèi)パ芯亢涂刂扑?，除溫度以外，外加磁場是控制糾纏的另一參數(shù). 在熱平衡下，由系統(tǒng)的哈密頓量H描述的態(tài)為ρ(T )= exp (? H/ k T)/Z ，其中 Z =Tr ??exp (? H/ kT )??為配分函數(shù)，k為玻爾茲曼常數(shù). ρ( T)表示熱狀態(tài)，其糾纏即為熱糾纏[7]. 對兩量子比特各向同性的海森伯格模型在反鐵磁性情況下存在熱糾纏，但在鐵磁性情況下卻不存在熱糾纏[8]. 而對各向異性的海森伯格模型，其熱糾纏卻有不同，如XXZ模型的熱糾纏

[9]. 在本文中利用負(fù)值度(Negativity)計(jì)算了兩量子比特各向異性海森伯格 XY模型的熱糾纏，研究在熱平衡時(shí)溫度和外加磁場對糾纏的影響. 對各向同性，當(dāng)溫度比臨界溫度高時(shí)，糾纏消失，與外加磁場無關(guān).當(dāng)各向異性系數(shù)足夠大時(shí)，發(fā)生糾纏復(fù)蘇現(xiàn)象，對一有限溫度，可以調(diào)節(jié)外加磁場來產(chǎn)生糾纏.

1 負(fù)值度(Negativity)

由Peres可分離判據(jù)[10]，對兩體低維2?2和2?3的系統(tǒng)，其部分轉(zhuǎn)置正定是判定是否為可分離態(tài)的充分必要條件，但對于其它情況這只是一個(gè)必要的條件. Vidal和Werner根據(jù)這一思想提出了一種通用的量子糾纏度量——負(fù)值度(Negativity)[6]，對兩量子比特來說，其定義為[11-12]：

其中，μmin為ρ的部分轉(zhuǎn)置的最小的本征值. 已經(jīng)證明對兩量子比特可分離態(tài)其部分轉(zhuǎn)置只有一個(gè)負(fù)的本征值.對兩體糾纏，負(fù)值度可方便的計(jì)算其糾纏.

2 XY模型的負(fù)值度

兩量子比特各向異性Heisenberg XY模型在外加磁場B下(沿z軸)的哈密頓量為：

σi(i = x, y, z )為泡利算符，糾纏密度矩陣：Z為配分函數(shù). J>0表示反鐵磁性情況，J<0表示鐵磁性情況.為簡單化，以下取k=1.

系統(tǒng)的本征態(tài)和本征值分別為：

糾纏密度矩陣為:

密度矩陣部分轉(zhuǎn)值的本征值為：

當(dāng)各向異性系數(shù) γ= 0,0.3,0.6時(shí)，利用式(1)畫出負(fù)值度與溫度和磁場的關(guān)系圖，如圖1和圖2. 由圖可以看出，它們有相似之處，當(dāng)T=0和B=0時(shí)，負(fù)值度都為最大值，因?yàn)榇藭r(shí)，系統(tǒng)為基態(tài)，即最大糾纏態(tài)Bell態(tài).當(dāng)γ=0各向同性時(shí)，如圖1所示，當(dāng)T=0時(shí)，隨著磁場的增加，負(fù)值度保持一最大值不變即最大糾纏態(tài)，當(dāng)B達(dá)到一臨界值BC時(shí)，負(fù)值度迅速減小到零，其中 BC=J=1.實(shí)際上，當(dāng)B>J，基態(tài)是非糾纏態(tài)，在臨界點(diǎn)(T = 0,B = BC= J )發(fā)生了量子相變[13].

圖1 海森伯格XY模型的負(fù)值度與溫度和外加磁場的關(guān)系( J= 1,γ = 0)

對各向異性的情況，如圖2所示，當(dāng)T=0時(shí)，隨著B的增加，起初負(fù)值度保持一定值等于其最大值，當(dāng)B達(dá)到一臨界值BC時(shí)，負(fù)值度突然下降，這與各向同性的情況相似，所不同的是，當(dāng) B>BC時(shí)，負(fù)值度并不降為零，而且當(dāng)γ足夠大時(shí)，負(fù)值度由最小值突然增加，經(jīng)歷了一個(gè)糾纏復(fù)蘇過程，如圖2(b).

圖2 負(fù)值度與溫度和外加磁場的關(guān)系(J=1)

其實(shí) B>BC時(shí)，當(dāng)γ≥0.6都會(huì)發(fā)生糾纏的復(fù)蘇，如圖3畫出負(fù)值度與B的關(guān)系，對γ=0.3，當(dāng) B=BC，負(fù)值度急劇下降，當(dāng) B>BC，值值度單調(diào)下降.對γ≥0.6，當(dāng) B=BC，負(fù)值度急劇下降但并不降為零，當(dāng)B>BC，負(fù)值度出現(xiàn)了復(fù)蘇，對γ=0.8同樣如此.

從密度矩陣可以看出，當(dāng)ηJ時(shí)，系統(tǒng)的基態(tài)為仍為糾纏態(tài)，當(dāng)具有相同的能量，都等于系統(tǒng)的最低能量.一般情況下，當(dāng)T=0時(shí)，系統(tǒng)可表示為態(tài)的混合態(tài)，其密算符為，對，且當(dāng)η=J時(shí)，，此時(shí)有即溫度T=0時(shí)，量子相變發(fā)生在系統(tǒng)為等概率混合的時(shí)候.

圖3 T=0時(shí)負(fù)值度N與磁場B的關(guān)系(J=1)

圖4 Ising模型的負(fù)值度( J= 1,γ = 1)

對Ising模型，即γ=1時(shí)，如圖4所示，當(dāng)B=0時(shí)，系統(tǒng)負(fù)值度為零，即負(fù)值度僅由外加磁場決定.由圖3可以看出，當(dāng)T=0時(shí)，隨著系數(shù)γ的增加，量子相變發(fā)生點(diǎn)不斷減小，當(dāng)因?yàn)閷sing系統(tǒng)，當(dāng) B= 0,T = 0時(shí)，系統(tǒng)的態(tài)為Bell態(tài)的等概率混合，其糾纏為零.

3 結(jié)語

兩量子比特海森伯格XY模型的熱糾纏與各向異性系數(shù)γ、磁場B和溫度T有關(guān). 對各向同性，當(dāng)溫度高于臨界溫度高，系統(tǒng)沒有糾纏，與外加磁場無關(guān)，當(dāng)γ足夠大時(shí)，存在糾纏復(fù)蘇現(xiàn)象，而且對于一有限溫度，可以調(diào)節(jié)外加磁場來產(chǎn)生糾纏.

[1] BENNETT C H, BRASSARD G, CREPEAU C, et al. Teleporting an unknown quantum state via dual classical and Einstein-Podolky-Rosen channels[J]. Phys. Rev. Lett., 1993, 70(13): 1895-1899.

[2] DEUTSCH D, EKERT A, JOZSA R, et al. Quantum privacy amplification and the security of quantum cryptography over noisy channels[J. Phys. Rev. Lett., 1996, 77(13): 2818-2821.

[3] 曾謹(jǐn)言, 裴壽鏞, 龍桂魯. 量子力學(xué)新進(jìn)展:第二輯[M]. 北京: 北京大學(xué)出版社, 2001: 281.

[4] SCOTT HILL, WOOTTERS WILLIAM K. Entanglement of a pair of quantum bits[J]. Phys. Rev. Lett., 1997, 78: 5022-5025 .

[5] VEDRAL V, PLENIO M B, RIPPIN M A , et al. Quantifying entanglement[J]. Phys. Rev. Lett., 1997, 78: 2275-2279.

[6] VIDAL G, WERNER R F. A computable measure of entanglement[J]. Phys.Rev.A., 2002, 65:032314-032317.

[7] ARNESEN M C, BOSE S, VEDRAL V. Natural Thermal and magnetic Entanglement in 1D Heisenberg Model[J]. Phys. Rev. Lett., 2001, 87: 017901-017904.

[8] 劉思平. 海森伯格XXZ模型的熱糾纏[J]. 江漢大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2009(3): 33-35.

[9] WANG XIAOGUANG. Effects of anisotropy on thermal entanglement[J]. Physics Letters A, 2001, 281(3): 101-104.

[10] PERES A. Separability criterion for density matrices[J]. Phys.Rev. Lett., 1996, 77: 1413-1415.

[11] ZYCZKOWSKI K, HORODECKI P, SANPERA A, et al. On the volume of the set of mixed entangled states[J]. Phys. Rev. A, 1998, 58: 883-892.

[12] EISERT J, PLENIO M B. A comparison of entanglement measures[J]. J. Mod. Opt., 1999, 46: 145-154.

[13] SACHDEV S. Quantum Phase Transitions[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1999.

（責(zé)任編輯：饒 超）

Negativity of Heisenberg XY Model

LIU Si-ping
(Physics and Electronics Information Technology Department, Xiangfan University, Xiangfan 441053, China)

Using a universal entanglement measure, negativity，we investigate the thermal entanglement of two-qubit Heisenberg XY model in thermal equilibrium at temperature T in the presence of an external magnetic field B. When anisotropy parameter γis large enough there occurs a revival of the entanglement. By adjusting the magnetic field B，one can produce entanglement for any finite T. For isotropic case there is no entanglement above a critical temperature that is independent of the external B field.

Entanglement; Heisenberg model; Negativity; Thermal entanglement

O431

A

1009-2854(2010)02-0008-04

2010-01-04

湖北省教育廳科學(xué)技術(shù)研究計(jì)劃優(yōu)秀中青年人才項(xiàng)目(Q20082503)

劉思平(1975— ), 女, 重慶榮昌人, 襄樊學(xué)院物理與電子工程學(xué)院講師.