狀態(tài)預(yù)報值服從污染正態(tài)的抗差估計

莊常陵

(襄樊學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院, 湖北 襄樊 441053)

狀態(tài)預(yù)報值服從污染正態(tài)的抗差估計

莊常陵

(襄樊學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院, 湖北 襄樊 441053)

利用等價權(quán)原理，討論了狀態(tài)預(yù)報值服從污染正態(tài)分布的抗差估計，并利用影響函數(shù)，說明所給出的估計的確能減免粗差干擾，并針對估值的計算問題進行了討論.

抗差估計；污染正態(tài)分布；影響函數(shù)

離散時間狀態(tài)系統(tǒng)可以同時用狀態(tài)方程:

和觀測方程:

來描述. 假設(shè)狀態(tài)輸入噪聲{Wk}與觀測噪聲{Δk}均為期望為0的“白噪聲”序列，{Wk}、{Δk}和系統(tǒng)的初態(tài)互不相關(guān)，{Wk}、{Δk}均為服從正態(tài)分布的隨機序列. 則Kalman給出的最優(yōu)估計x?k的遞推公式[1]:

或

然而，實踐證明嚴(yán)格服從某一特定分布的觀測數(shù)據(jù)是不存在的. 如果狀態(tài)輸入噪聲向量和觀測噪聲中含異常噪聲而不服從正態(tài)分布，即狀態(tài)預(yù)報值和狀態(tài)觀測值Lk受到異常干擾時，Kalman給出的估值不但不是系統(tǒng)狀態(tài)的最優(yōu)估值，甚至?xí)x真值，造成難以預(yù)料的影響. 文獻[2]討論狀態(tài)觀測值Lk服從污染正態(tài)分布，但狀態(tài)預(yù)報值服從正態(tài)分布的抗差估計，下面將討論狀態(tài)觀測值Lk服從正態(tài)分布，但狀態(tài)預(yù)報值服從污染正態(tài)分布的抗差估計.

1 參數(shù)估計

狀態(tài)觀測值Lk服從正態(tài)分布，但狀態(tài)預(yù)報值服從污染正態(tài)分布，即

其中，Φx為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，Hxk為干擾分布， εxk為污染率.

式中，kP為觀測值的權(quán)陣

式(1)求級值，并令 β′(?) =η(?)得

式(2)中， [η( δ x?k)]為列向量，其形式可選為常見的φ函數(shù)形式[1]. 取等價權(quán)元素為:

迭代解式為:

另一種解法是將準(zhǔn)則(1)式改成:

(6)式分別對Vk，求導(dǎo)并令為零，得:

2 估值的抗差分析

將式(2)表示成泛函形式

同理，觀測值Lkj對x?k的影響函數(shù)可寫為:

從Lkj對x?k的影響函數(shù)(10)式可以看出，因為假設(shè)觀測值Lk未受粗差污染，所以對觀測值未施加控制.

3 估值的驗后協(xié)方差陣

式(5)兩端同時減去參數(shù)的真值xk再乘以相應(yīng)的轉(zhuǎn)置后取數(shù)學(xué)期望，得驗后協(xié)方差:

4 關(guān)于計算問題的討論

LS—M 估計的計算與一般估計相似，但計算時采用不同的解式其計算量和迭代收斂速度是不相同.一般情況下，當(dāng)觀測值的個數(shù)少于狀態(tài)未知參數(shù)個數(shù)即nm時，可采用式(5)求估計值. 式(4)還可寫成:

[1] 陳希孺, 趙林城. 線性模型中的M方法[M]. 上海: 上?？茖W(xué)技術(shù)出版社, 1996.

[2] 莊常陵. 觀測值服從污染正態(tài)分布的抗差估計[J]. 襄樊學(xué)院學(xué)報, 2008(2): 14-17.

[3] 莊常陵. 混合型正態(tài)分布的抗差最小二乘估計[J]. 襄樊學(xué)院學(xué)報, 2007(2): 5-8.

[4] 周江文, 黃幼才, 楊元喜, 等. 抗差最小二乘法[M]. 武漢: 華中理工大學(xué)出版社, 1997.

（責(zé)任編輯：饒 超）

Robust Filtering Whose Status Prediction Value Obeys Polluted Normal Distribution

ZHUANG Chang-ling
(School of Mathematical & Computer Sciences, Xiangfan University, Xiangfan 441053, China)

With equivalent weight principle, the robust filtering whose status prediction value obeys polluted normal distribution is discussed. With the help of influence function, it holds that the filter given can indeed derate disturbance of gross error. At last, the calculating issues of estimate value are also discussed.

Robust filtering; Polluted normal distribution; Influence function

O21

A

1009-2854(2010)02-0005-03

2009-12-29

湖北省教育廳科研項目(B200725002)

莊常陵(1968— ), 女, 江蘇常州人, 襄樊學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院副教授.