外壓自增強圓筒的設(shè)計計算方法

朱瑞林 朱國林

1.湖南師范大學(xué),長沙,410081 2.江西警察學(xué)院,南昌,330103

0 引言

內(nèi)壓圓筒的彈性和彈—塑性應(yīng)力分析及自增強理論,國內(nèi)外已有很多文獻論述[1-8],而外壓圓筒彈—塑性應(yīng)力分析或自增強問題,目前尚無相關(guān)理論。外壓自增強是在容器使用前對其進行加外壓處理,使筒體內(nèi)層屈服,產(chǎn)生塑性變形,形成塑性區(qū),外層仍為彈性狀態(tài)。保持該外壓一段時間后卸壓。卸壓后筒體內(nèi)層塑性區(qū)因殘余變形不能復(fù)原,而外層彈性區(qū)力圖復(fù)原,卻受到內(nèi)層塑性區(qū)的阻擋也不能恢復(fù)到原來狀態(tài),但外層彈性區(qū)力圖復(fù)原的趨勢給內(nèi)層塑性區(qū)以拉伸作用,使內(nèi)層塑性區(qū)產(chǎn)生拉應(yīng)力,而外層彈性區(qū)產(chǎn)生壓應(yīng)力。于是形成一種內(nèi)層受拉、外層受壓的預(yù)應(yīng)力狀態(tài)。容器投入使用受外壓后,預(yù)應(yīng)力與操作壓力引起的應(yīng)力疊加,使應(yīng)力較大的內(nèi)壁應(yīng)力降低,應(yīng)力較小的外壁應(yīng)力有所增加,從而使容器壁中應(yīng)力趨于均勻。由此可提高容器的承載能力。

與受內(nèi)壓的情況一樣,外壓自增強技術(shù)的關(guān)鍵因素也是超應(yīng)變度的確定。對超應(yīng)變度的確定,現(xiàn)行技術(shù)只有針對內(nèi)壓容器的方法,針對外壓容器的方法未見報道,能否沿襲內(nèi)壓容器的方法,沒有理論支持。即使現(xiàn)行的內(nèi)壓容器方法,也有一些不足,如反向屈服問題,即卸除自增強壓力后可能內(nèi)層因受到過大的壓縮而產(chǎn)生壓縮屈服。這是很不利的。從安全、經(jīng)濟的觀點出發(fā),自增強容器要同時保證卸除自增強壓力后整個筒壁內(nèi)殘余應(yīng)力的當量應(yīng)力及總應(yīng)力的當量應(yīng)力均不大于材料的屈服強度σs,還要提高承載能力。外壓容器的應(yīng)用是很廣的,如真空貯罐、減壓塔、潛艇外殼等。如何確定超應(yīng)變度和承載能力,以提供一種安全的外壓自增強圓筒形壓力容器及其設(shè)計計算方法,是需要解決的問題。

1 彈—塑性應(yīng)力分析

圖1所示是內(nèi)外半徑各為 ri、ro的圓筒。受外壓p作用時,內(nèi)壁面應(yīng)力最大。外壓增到一定值時,圓筒內(nèi)壁面開始屈服;繼續(xù)增大外壓,塑性區(qū)從內(nèi)向外擴展,形成兩個區(qū):內(nèi)側(cè)為塑性區(qū),外側(cè)為彈性區(qū)。外壓增大到某值時,對應(yīng)的彈 —塑性界面半徑為rj,k=ro/ri稱為徑比,kj=rj/ri稱為塑性區(qū)深度。筒體橫截面彈—塑性區(qū)域如圖2所示。假想從rj處將彈、塑性區(qū)分開,加上相應(yīng)的力,并設(shè)彈—塑性界面上的壓力為pj。這樣,外層彈性區(qū)是內(nèi)外半徑各為rj、ro的彈性筒體,受內(nèi)壓pj和外壓p作用(圖2b);內(nèi)層塑性區(qū)是內(nèi)外半徑各為ri、rj的塑性筒體,僅受外壓 pj作用(圖2c)。

1.1 塑性區(qū)應(yīng)力分析

設(shè)筒體材料屈服時符合特雷斯卡(Tresca)條件,即

式中,σr、σt分別為徑向應(yīng)力、環(huán)向應(yīng)力。

筒壁單元體的平衡方程為 dσr/dr+(σr—σt)/r=0,將式(1)代入該式得 :dσr/dr+σs/r=0,該式的解為

邊界條件:①r=ri時,σr=0;②r=rj時,σr=—pj。

將條件 ①代入式(2)解出積分常數(shù)C,將C代回式(2)得

由式(1)得

而軸向應(yīng)力

將條件 ②代入式(3)得彈 —塑性區(qū)界面壓力:

令式(6)等于式(7),得外壓與相應(yīng)的rj的關(guān)系:

式(8)右邊第一項是塑性層全屈服壓力,第二項是彈性層內(nèi)壁面初始屈服壓力。該式與內(nèi)壓容器公式一致[1],在式(8)中令kj=1得初始屈服載荷:

令kj=k得全屈服載荷:p/σr=lnk

1.2 彈性區(qū)應(yīng)力分析

彈性區(qū)的應(yīng)力可由文獻[1-4]等直接得到:

k=3.5,kj=1.712 76和kj=k=3.5(全屈服)時,彈—塑性狀態(tài)應(yīng)力分布分別如圖3a、圖3b所示。

式(8)實際上是進行自增強處理時所施加的外壓pa,即自增強壓力,這個壓力與塑性區(qū)深度有關(guān),只要rj確定了,自增強壓力就可按式(8)算出。有了彈—塑性分析的結(jié)果,就可以進行外壓自增強分析。

2 外壓自增強理論的建立

自增強壓力(式(8))作用下筒壁的應(yīng)力:塑性區(qū)應(yīng)力按式(3)～式(5)計算;彈性區(qū)應(yīng)力按式(9)～式(11)計算。

卸除pa后,筒壁中的殘余應(yīng)力:按卸載定理,以Δp=pa—0=pa為假想載荷,按彈性理論計算所引起的應(yīng)力。在卸載壓力Δp作用下,按彈性理論,徑向、周向、軸向應(yīng)力改變量分別為[1]

將式(8)代入式(12)得應(yīng)力改變量分別為

根據(jù)卸載定理,用卸載前的應(yīng)力,式(3)～式(5)和式(9)～式(11)減去各相應(yīng)的應(yīng)力改變量式(13)～式(15),即得殘余應(yīng)力。

塑性區(qū):

彈性區(qū):

塑性區(qū)殘余應(yīng)力的當量應(yīng)力σ′e/σs為

σ′e/σs=|σ′r/σs—σ′t/σs|

將式(16)、式(17)代入上式得塑性區(qū)殘余應(yīng)力的當量應(yīng)力 σ′e/σs:

同理,彈性區(qū)殘余應(yīng)力的當量應(yīng)力σ′e/σs為

以下結(jié)論也適合于受內(nèi)壓的情況,因為:

其中,wy代表“外壓”,ny代表“內(nèi)壓”,tsx代表“彈塑性”。

kj2—1 ＞lnkj,故整個彈性區(qū)內(nèi),σ′e/σs ＞0。但在塑性區(qū) ,σ′r/σs—σ′t/σs可正可負。如在容器內(nèi)表面,r/ri=1,于是內(nèi)壁面殘余應(yīng)力的當量應(yīng)力σ′ei/ σ為

故在容器內(nèi)表面 ,σ′r/σs —σ′t/σs 恒為負。顯然,d(σ′r/σs —σ′t/σs)/d(r/ri)在塑性區(qū)大于 0,彈性區(qū)小于0。而在彈塑性界面,r/ri=kj,式(19)、式(20)都成為

這實際上是三條殘余應(yīng)力曲線(式(16)～式(18))交點的橫坐標。因為令式(16)=式(17)和式(16)=式(18)或式(17)=式(18)都得式(26),這說明三條殘余應(yīng)力分布曲線交于一點,其橫坐標為式(26)。

在式(25)中,令kj=k得全屈服時容器內(nèi)表面殘余應(yīng)力的當量應(yīng)力為

又在式(27)中令 σ′ei/σs≤1得

解式(28)得

稱kc=2.218 457 489 916 7…為臨界徑比。所以,當k≤kc時,不論kj多大,即不論塑性區(qū)多深,卸除pa后,容器不會產(chǎn)生屈服;而 k≥kc時,若kj過大,即塑性區(qū)太深,卸除pa后,容器會屈服。于是在式(25)中令σ′ei/σs=1可得k ≥kc時容器的徑比k與不產(chǎn)生屈服的塑性區(qū)深度kj間的對應(yīng)關(guān)系,并將這種kj記作kj*,稱作最佳塑性深度:

或

式(26)～式(31)與內(nèi)壓容器的相應(yīng)公式相同[9-10]。最佳塑性深度如圖4所示(實線oab)。

式(30)表明:對一定徑比 k的容器,若kj≤kj*,則卸除pa后筒壁不屈服;若kj≥kj*,則卸除pa后筒壁會屈服。所以由式(30)可方便地確定安全的kj。由式(30)知,k越大(筒體越厚),kj越小,即塑性區(qū)越淺。這給工程應(yīng)用帶來了很大方便,因為筒體越厚越難產(chǎn)生較大的屈服區(qū),故當筒體較厚時取較淺的塑性區(qū),不但卸除自增強壓力后筒壁不會屈服,且可以滿足設(shè)計要求。式(30)的求解可循以下途徑:①采用式(31);②用Excel軟件;③用圖4查取。

若kj=kj*,式(26)成為r/ri=20.5＜e0.5,即當 kj=kj* 時 ,不論 k 和 kj多大,σt′=σr′總在r/ri=20.5處發(fā)生。

再次說明 r=rj處 ,σ′ej＞ 0 。

圖5a、圖5b是殘余應(yīng)力及其當量應(yīng)力沿壁厚的分布。

外壓p在器壁內(nèi)r處產(chǎn)生的軸向、徑向、環(huán)向應(yīng)力分別是

外壓引起的當量應(yīng)力為

塑性區(qū)內(nèi),總應(yīng)力 σT/σs的當量應(yīng)力 σTe/σs為

令σTe/σs=1得(式(33)實際就是式(8)):

式(34)與r/ri無關(guān)。

d(p/σs)/dkj=(k2—k2j)/(kjk2)＞0(kj=k時,d(p/σs)/dkj=0),即 kj越大,p/σs越大 ,kj=k時 ,p/σs最大。但 k ＞kc時,kj不能達到 k;只有k＜kc時,kj才可達到k。

所以,自增強容器承受pa時,在整個塑性區(qū),σTe/σs≡1(σ′ei/σs≤1 不一定成立),這便自然達到了等強度設(shè)計效果。若承受小于pa的載荷,在塑性區(qū) ,σTe/σs ＜1;若承受大于 pa的載荷,在塑性區(qū),σTe/σs＞1。圖 6所示為總應(yīng)力當量應(yīng)力 σTe/σs沿壁厚的分布。不論k＜kc還是k＞kc,也不論kj大小如何,均可用式(34)確定容器所能承受的壓力,此時必有 σTe/σs≡1。k ＜kc時,令 kj=k,式(34)成為全屈服壓力(py/σs):

結(jié)合式(34)與式(30)可得當kj=kj*時自增強容器的承載能力:

其中,pe為初始屈服壓力。即kj=kj*及σTe=σs時自增強容器的承載能力為其初始屈服壓力的2倍,稱為最佳承載能力p*/σs,當自增強容器承受p*/σs且 kj=kj*時 ,必有 σ′ei=σs及整個塑性區(qū)σTe≡σs。k ＜kc時 ,不采用式(36)。式(36)示于圖7。將式(36)代入式(32)得

于是在塑性區(qū)有:

當kj=kj*時,式(37)成為σT*/σs≡1(整個塑性區(qū)),不僅如此,還有 σ′ei/σs=1。

在式(33)中 ,令 σTe/σs=0,有

即自增強容器承受式(38)的壓力時,在塑性區(qū)某 r/ri處,σTe/σs=0。在式(38)令 p/σs=0 得

這正是式(26)。

在容器內(nèi)表面,r/ri=1,于是式(36)成為

在容器彈塑性界面處,r/ri=kj,式(38)成為

結(jié)合式(39)與式(30)可得當kj=kj*時:

式(34)與式(39)相除得

將式(39)代入式(33)得

在內(nèi)表面,r/ri=1,于是式(42)成為σTe/σs=0。

在彈塑性界面處,r/ri=kj,于是式(42)成為σTe/σs=0 ＜1 —1/k2j＜1。

因此,自增強容器承受由式(39)所表達的載荷時,一定不會屈服。

在彈性區(qū):

在容器外表面,r/ri=ro/ri=k,則

把式(34)代入式(43)得σTe/σs=k2j/k2≤1,欲使σTe≥σs,根據(jù)式(43),須使

這是個很大的載荷。kj=1時,式(44)成為p/σs≥(k2—1)/2;kj=k時,式(44)成為p/σs≥lnk=py/σs。不難證明,(k2—1)/2 ＞lnk。

由式(36)可導(dǎo)出自增強容器在σ′ei=σs(考慮安全系數(shù)及圓整后σ′ei＜σs)、整個塑性區(qū)內(nèi) σTe≡σs(考慮安全系數(shù)及圓整后σTe＜σs)條件下壁厚t的計算公式:

式中,n為安全系數(shù);[σ]為許用應(yīng)力,[σ]=σs/n。

當k＜kc時,不采用式(45)。由式(34)可導(dǎo)出自增強容器在塑性區(qū)內(nèi)σTe≡σs時壁厚t的計算公式(σ′ei≤ σs不一定成立):

kj=kj*時,即k～ kj關(guān)系符合式(30),式(46)即是式(45)。由式(35)可導(dǎo)出k＜kc的自增強容器當kj=k時,在整個筒壁內(nèi) σTe≡σs條件下壁厚 t的計算公式(σ′ei＜σs必成立):

3 結(jié)論

建立了外壓圓筒自增強理論與設(shè)計計算方法,分析論證過程中得到的一些規(guī)律、關(guān)系式及數(shù)據(jù)、圖表等可作為壓力容器工程設(shè)計時參考的依據(jù);對工程上遇到的各種情況,均可按本文提供的方法加以解決;這些規(guī)律、關(guān)系式及數(shù)據(jù)、圖表等大多與內(nèi)壓自增強圓筒相同,所以本文建立的外壓圓筒自增強理論同樣適用于內(nèi)壓自增強圓筒。如以下諸結(jié)果與內(nèi)壓自增強圓筒的相應(yīng)結(jié)果在形式上一樣:

(1)p/σs=pa/σs=(1 —k2j/k2)/2+lnkj時,塑性區(qū)有σTe≡σs;彈性區(qū)有 σTe＜σs。

(2)在σ′ei=σs、塑性區(qū) σTe≡σs條件下,最佳承載能力是:k為1 ～kc時p/σs=lnk=pa/σs;k≥kc時 p/σs=(k2—1)/k2=pa/σs=2pe/σs。

(3)自增強處理時不產(chǎn)生屈服的塑性區(qū)深度(σ′ei/σs=1)為 k2lnk2j—k2—k2j+2=0。

(4)k2lnk/(k2—1)=1是一個很有意義的式子,臨界徑比kc即是此式的解。

(5)初始屈服壓力和全屈服壓力。

導(dǎo)致上述結(jié)果的原因關(guān)鍵在于內(nèi)、外壓情況下的幾個當量應(yīng)力相等(見式(21)～式(24))。

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