石雕橢圓形廓多軸聯(lián)動磨削的數(shù)學模型

陳為旭 張濟宇

福州大學,福州,350002

0 引言

由于石材特性及需要不同造型的特殊性,石雕型面加工中需用多軸聯(lián)動加工設備[1],這與金屬切削機床有本質的不同。石材多以切邊、切片、平面磨光及筆式雕刻等類型為主,大多采用PLC控制器和變頻器,以驅動變頻電機為主要控制結構,且雕刻機所配置的數(shù)控系統(tǒng)中聯(lián)動軸數(shù)少,不易實現(xiàn)復雜型面的自動加工;同時控制系統(tǒng)提供給用戶的一般只有直線和圓弧插補指令,在加工復雜曲線時,需對復雜曲線進行分段,采用小段直線插補或圓弧插補等指令進行循環(huán)逼近[2],會出現(xiàn)數(shù)控代碼量增大、逼近精度差及加工速度受限等問題而無法實現(xiàn)復雜石材型面的批量生產[3]。在一些進口的多軸聯(lián)動石材設備中,可結合CAD型面造型軟件來設計石材型面及加工出復雜石雕產品,但目前僅在少數(shù)企業(yè)中得到應用,由于該設備價格昂貴,又沒有提供四軸以上的多軸聯(lián)動編程技術,在實際應用中效果不佳。

本文基于國產的石材加工設備,通過電氣控制結構的改造分析,建立五軸聯(lián)動控制系統(tǒng)[4],對復雜型面進行橢圓曲面的插補擬合,同時采用大規(guī)格切片磨輪,通過控制磨片的空間相對位置,形成橢圓磨削形廓,設計形廓中心的空間運動軌跡,導出多軸聯(lián)動復雜運動的數(shù)學模型,使磨片包絡出各種不同的橢圓型面,并擬合出復雜石雕型面,最終有效地實現(xiàn)了復雜型面的自動加工,提高了精度和效率。

1 多軸聯(lián)動石雕磨床的系統(tǒng)結構分析

我國當前的石材加工仍屬于勞動密集型產業(yè),設備的控制系統(tǒng)通常不能多軸聯(lián)動,一般只能實現(xiàn)切邊、磨面及筆式雕刻等操作。本文基于國產QSJ改進型石材自動橋式切機,對其機械、電氣和軟件進行分析、改進,構成五軸聯(lián)動控制系統(tǒng),以實現(xiàn)復雜型面的自動加工。

1.1 機械結構分析

圖1所示為QSJ改進型石材加工設備,具備五軸聯(lián)動控制的結構功能。

石雕工件固定在工件回轉臺1上,沿著垂直立軸在水平面上做C軸回轉。金剛石圓磨片2安裝在水平磨削主軸3上,沿著垂直立軸在水平面上做B軸回轉。水平磨頭4沿著立軸做y軸的上下直線運動。立軸聯(lián)同磨頭沿著橫梁導軌5做縱軸x的左右直線運動。橫梁聯(lián)同立軸和磨頭沿著左右橫向支架導軌6做橫軸z的前后直線運動。

根據石雕形廓的曲率大小,選用相應直徑的金剛石磨片,根據曲率吻合原則[5],回轉B軸,使磨片與工件的曲率吻合,控制x、y、z及C軸,通過五軸聯(lián)動,可最大效率地加工出石雕復雜形廓。

1.2 電氣控制結構分析

圖1所示石材設備的原型設計的控制系統(tǒng)是采用PLC控制器來控制變頻器的,以驅動變頻電機為主要結構,結合型面磨輪,常用于加工直線型、回轉型曲面,雖具有五軸控制結構,但聯(lián)動軸數(shù)少,無法實現(xiàn)精確的多軸聯(lián)動控制。

現(xiàn)對該設備進行五軸聯(lián)動控制結構改造,采用工控微機,通過PCI接口,連接伺服電動機的運動控制卡,經過伺服控制器,驅動伺服電動機及聯(lián)軸器,這一五軸聯(lián)動電氣控制結構框圖如圖2所示。

復雜型面可在工控微機上用造型軟件生成[6],也可采用數(shù)控代碼進行編輯設計,然后執(zhí)行加工指令,產生數(shù)控指令,通過運動控制卡,發(fā)出伺服電動機的控制指令,經過驅動器的閉環(huán)控制,驅動伺服電動機作伺服運動,經過聯(lián)軸器驅動滾珠絲桿,實現(xiàn) x、y、z軸的直線運動;此外,電動機經過聯(lián)軸器驅動蝸杠蝸輪實現(xiàn)B、C軸的回轉運動,從而構成五軸聯(lián)動。

1.3 軟件設計分析

首先,在工控微機上安裝曲面造型CAD軟件[7],通過NURBS曲面[8]來體現(xiàn)曲面形狀[9]及實現(xiàn)復雜石雕型面的造型設計,進一步求出復雜型面的型值點,采用橢圓線段對型值點進行橢圓曲面擬合,產生橢圓擬合線段,并得出每一橢圓線段的離心率參數(shù)。

然后,依據橢圓線段的離心率參數(shù),選用相應直徑的金剛石磨片,并確定其在B軸上的回轉角度,如此可使磨片的有效切削形廓也為橢圓形廓,設計并給出金剛石磨片回轉中心的運動軌跡,使其有效切削形廓,包絡出工件上的橢圓曲線,實現(xiàn)工件橢圓線段精密和高效的磨削加工。

顯然,金剛石磨片回轉中心的運動軌跡是一個非常復雜的運動曲線,為此,本文將其作為設計與推導的重點內容。

2 石雕橢圓廓面數(shù)控磨削的位置關系

2.1 石雕廓面橢圓擬合算法分析

為了加工圖3所示的復雜動物雕像或龍柱柱體等工件,一般首先采用CAD造型軟件,設計其形廓,采用多邊形建模方式為主,輔以曲面造型技術,設計出圖4所示的網格圖。

從圖4可以看出,石雕形廓中包含著許許多多的復雜曲線,一般由樣條曲線構成,樣條曲線上包含著確定曲線特征的型值點。如果采用常規(guī)的小段直線或圓弧擬合這些樣條曲線,則擬合量大且精度差?，F(xiàn)沿著x軸方向,以給定步長Δx對復雜形體進行逐步切片,則可形成如圖5所示的切面集合,且每一切面的外廓曲線上包含著一系列的型值點。

采用橢圓曲線擬合每一切面的外廓曲線,有多種算法,如基于 HOUGH變換的橢圓擬合方法,基于不變矩方法和基于最小二乘法等[10]。在平面坐標中,根據橢圓中心點坐標(y0,z0)、橢圓長軸的旋轉角度θ、半長軸p及半短軸q這5個參數(shù)可以確定一個橢圓,該橢圓的方程可以表示為

根據切面上樣條曲線上相鄰的5點,將其坐標(yi,zi)代入式(1),即可求出 y0、z0、θ、p、q這 5個參數(shù)值,從而確定該5個樣本點擬合的橢圓曲線。擬合算法如下:

(1)從起始點p1開始,取出相鄰的5個型值點,分別代入式(1),得到聯(lián)立方程組,求解y0、z0、θ、p、q這5個參數(shù)值,如求出的參數(shù)值為實數(shù),則擬合成功,轉入(3);如求出的參數(shù)值含有虛數(shù),則轉入(2),進行糾正處理。

(2)在公差允許的范圍內,分別調整5個型值點的坐標值,直到求出的 y0、z0、θ、p、q這5個參數(shù)值為實數(shù)值止;如不能成功,則需丟棄第5個型值點,另在前4個型值點中增加一個樣本點,按(1)求解擬合橢圓曲線。

(3)采用代數(shù)距離法,將后續(xù)的型值點逐個代入擬合出的橢圓方程內,檢測其誤差,若代數(shù)距離小于指定的公差值,則確定該后續(xù)的型值點位于所擬合的橢圓線段內,予以丟棄,直到代數(shù)距離超出公差為止。

(4)若代數(shù)距離大于指定的公差值,則取其前相鄰的一個型值點和其后相鄰的3個型值點,組成5個型值點,按照(1)進行下一橢圓線段的擬合處理,直到終點結束。

討論1:代數(shù)距離[11]不同于實際的幾何距離,以代數(shù)距離確定精度存在一定的誤差,但在石材粗加工中,精度要求不是很高,通過確定代數(shù)距離的量級水平,可以滿足要求。

討論2:對于局部細小形廓,型值點密集,會遇到擬合的橢圓曲率半徑太小,難以實現(xiàn)加工。因此,先忽略局部細小形體結構,這些結構可通過后續(xù)精加工工序,采用小型刻刀切出,以便于提高粗切效率。

對于復雜石雕雕像的形體結構,通過多條橢圓曲線的擬合后,就構成了不同離心率的橢圓曲線的集合。

2.2 多軸聯(lián)動數(shù)控磨削的位置關系分析

在分析出復雜形體的橢圓曲線集合后,即可選用相應的磨片直徑,控制B軸轉角,使磨片位于相對于工件的橢圓曲面,其相對位置示意如圖6所示。

磨片操作時,先控制x、y、z軸聯(lián)動,使磨片的橢圓形廓包絡出工件上的橢圓形廓,以實現(xiàn)高效精確的型面加工。在磨片強度和加工余量許可的條件下,通過控制進給速度,或控制B、C兩回轉軸參與聯(lián)動,來實現(xiàn)復雜的五軸聯(lián)動軌跡控制。

3 石雕橢圓廓面的多軸聯(lián)動磨削的數(shù)學模型設計

如上所述,回轉B軸,控制磨片轉角,形成橢圓形的磨片形廓,實現(xiàn)不同的有效磨削點曲率,用于包絡工件復雜的橢圓型面,可最大限度地滿足曲率吻合原則。但在磨削的包絡過程中,有效磨削點沿著磨片橢圓面上連續(xù)變動,因此磨片的空間位置,也就是磨片中心點的空間坐標,也要隨之進行相應的調整,才能確保變動的磨削點在工件上磨出橢圓形廓。為此分析磨削點的運動軌跡,進而得出描述磨片中心點控制軌跡的數(shù)學模型是首要的關鍵。

3.1 磨削點的運動軌跡分析

磨削點的運動軌跡,也就是最終在工件上包絡出的軌跡,對于石雕橢圓廓面來說,其軌跡就是橢圓曲線,如圖7所示。

設定通用的磨削點的初始位置為P0(x0,y0,z0),沿著橢圓曲線P0PiPe,運動到終點Pe(xe,ye,ze),則其動點Pi(xi,yi,zi)的坐標為

式中,t為磨削點Pi在曲線P0PiPe于 yz平面上的投影橢圓曲線上的離心角(t=0～ 90°);s為磨削點 Pi在曲線P0PiPe于xy平面上的投影橢圓曲線上的離心角(s=0 ～ 90°)。

為了磨削出橢圓曲線P0PiPe,需要控制磨片的相對位置。

3.2 磨削切片與石雕工件相對位置的數(shù)學模型

磨片與石雕工件的相對運動如圖8所示,基于本文設計的五軸數(shù)控磨床在加工橢圓曲線P0PiPe時有如下關系:

(1)將石雕工件曲線P0PiPe的橢圓中心作為磨床的相對坐標原點O,設定磨削點坐標為Pi(xi,yi,zi),則 xi,yi,zi應滿足式(2)～ 式(4)。

(2)磨削砂輪沿B軸回轉,直到磨削面貼合待磨石雕的表面,為避免干涉,必要時可留出1°～2°的磨削后角。當砂輪轉過 b角度后,在 xy平面上的投影也是橢圓,其中心為Oi(x,y,z),因此,從砂輪中心Oi至磨削點Pi在z軸方向上的距離Wp,及在y軸方向上的距離Wq和在x軸方向上的距離Ww應滿足如下關系:

式中,Wz為砂輪中心與起始磨削點在z向上的距離;Wr為砂輪半徑;Wx為砂輪中心與起始磨削點在x向上的距離;T為磨削點Pi在砂輪于yz平面上投影橢圓Oi上的離心角(T=0～ 90°);S為磨削點Pi在砂輪于xy平面上的投影橢圓Oi上的離心角(S=0～ 90°)。

(3)石雕工件沿C軸回轉,僅用于回轉形工件表面的磨削運動,因此在討論橢圓曲線P0PiPe的磨削運動時,不參與聯(lián)動。

當橫軸z沿橫向運動,使砂輪中心坐標從z=z0+Wz運動到z=0位置(其中,z0是橢圓形曲線P0PiPe的起始磨削點在z向的坐標),這時立軸y與z聯(lián)動,可使砂輪的包絡面吻合橢圓曲線P0PiPe,同時砂輪中心的縱坐標將從y=0運動到y(tǒng)=ye+Wr(其中,ye是橢圓形曲線P0PiPe的終點在y向的坐標)。則y與z的聯(lián)動關系可從圖6導出,當砂輪運行到磨削點Pi時,砂輪中心坐標Oi(x,y,z)應為

(4)首先在yz平面上考察砂輪投影橢圓與工件橢圓曲線的相對位置關系,由于工件形廓是由磨片橢圓形廓包絡形成,所以橢圓Oi與橢圓曲線P0PiPe相切,則有

將式(2)、式(3)、式(5)、式(6)代入式(11),得

于是有

式(5)經變換得

將式(12)代入上式,有

將式(13)及式(2)一并代入式(8)后,有

同理,變換式(6)得出

也將式(12)代入上式,有

將式(15)及式(3)一并代入式(9)后,有

(5)在 xy平面上考察砂輪投影橢圓曲線與工件橢圓曲線的相對位置關系,由于此時砂輪的形廓橢圓與工件的形廓橢圓不一定相切,且砂輪磨片的形廓與厚度不同,均會產生不同程度的磨削干涉,這時需要通過調整B軸來改變砂輪擺角以避免干涉。

同樣,從圖6中的xy平面中可以得出:

比較式(17)與式(3),有

由于s與t為同一磨削點在所形成的橢圓軌跡上的離心角,且s與t的取值均限制在0～ 90°范圍內,可知s與t相等。于是,式(4)變?yōu)?/p>

對圖6中xy平面上的砂輪形廓有

比較式(19)與式(6),有

由于S與T均限制在0～90°范圍內,可知其對應的砂輪上的磨削點的離心角也應限制在0～90°范圍內,所以 S=T,代入式(6)后,得出:

將式(12)代入上式后,有

將式(20)及式(18)一并代入式(10)后,有

至此,式(14)、式(16)、式(21)構成了磨削橢圓形曲線在P0PiPe時x、y、z的聯(lián)動曲線關系,也即磨削橢圓曲線的三直線軸聯(lián)動的數(shù)學模型,在切削條件允許狀態(tài)及精磨要求磨削量較小時,配合砂輪B軸的回轉及工件C軸的回轉運動,構成了一個五軸聯(lián)動的控制模式,實現(xiàn)了加工相應復雜型面的目的。

需要指出的是,該五軸控制系統(tǒng)的多軸聯(lián)動控制模型是與橢圓曲線的離心角相關的復雜的曲線關系,離心角取值不同,可實現(xiàn)不同線段的控制。在進行插補控制時需要采用必要的逼近措施,即選用合適的插補算法[12]以實現(xiàn)聯(lián)動控制。

4 測試

基于本文提出的五軸聯(lián)動控制模式,在QSJ改進型石材自動橋式切機上進行了如圖3所示的實際石雕工件復雜型面的磨削測試,過程如下:

(1)毛料及原始參數(shù)。選用花崗石毛料,牌號G687,莫式硬度為6.9,原始尺寸的長×寬×高為1600mm×400mm×1200mm;切削刀具為金剛石切片,粗切刀具尺寸為φ 600mm×4.6mm,精切刀具尺寸為 φ 200mm×2.6mm;粗切速度為 5 m/min(輔以手動調速,以防石材破裂),精切速度為1m/min。

(2)曲面造型,設計石雕形廓。采用CAD造型軟件,先設計出圖3所示馬的形廓,目標尺寸長×寬×高為1523mm×312mm×1088mm,然后再生成圖4所示的網格圖。

(3)以縱向增量 Δ x=15～20mm為步長,在總長為1523mm的長度方向上共切出90個切面,參考圖5,采用本文提出的算法分別對每一個切面外廓曲線進行橢圓擬合,計算出每一橢圓擬合線段連接點的坐標值。以第31個切面為例,切出的切面如圖5所示,擬合出的橢圓線段連接點的坐標是:Pi(yi,zi)=[(950.462,0.000);(943.594,—23.486);(878.824,—105.616);(813.850,—105.616);(775.989,—120.098);(731.426,—126.582);(698.348,—128.318);(675.331,—134.001);(619.339,—143.476);(550.709,—132.801);(538.622,—126.881);(523.724,—124.348);(467.829,—118.532);(414.876,—103.187);(369.509,—89.277);(321.340,—86.949);(297.693,—90.778);(271.635,—89.666);(210.703,—76.837);(127.153,—83.312);(106.370,—84.151);(83.578,—79.427)]。

i=1,2,…,22,即用 22個型值點,共12段橢圓弧,擬合出高為950.462mm的第31個切面上左半邊樣條曲線,其右半邊與之對稱,采用對稱功能即可實現(xiàn)加工。

(4)根據每一橢圓擬合線段的起止坐標,分別計算出各橢圓線段的離心角t。

(5)選用相應的磨削切片,調整 x、y、z、B 、C五軸的初始位置。B、C兩軸根據實際曲線形狀和控制參數(shù)參與聯(lián)動進給。

采用式(14)、式(16)、式(21)計算出磨削切片中心點相對于工件的運動軌跡坐標,并配合參數(shù)曲線插補控制算法[12],使磨片的橢圓運動軌跡的磨削點包絡出工件上的橢圓軌跡。

具體切削過程包括:粗切→去毛料→精切→局部精雕→拋光等工序。

粗切后的工件如圖9所示。精切拋光后的成品如圖3所示。測試結果對比如下:

(1)當采用傳統(tǒng)的人工雕刻技術來完成圖3所示1m高的工件雕像時,不包括圖紙設計繪制時間在內,人工雕刻至少需兩人兩周時間,即人均1個月時間才能完成。

(2)采用本文設計的五軸聯(lián)動自動橋式磨切設備加工時,不包括CAD形體編程設計的時間在內,僅需1人兩天即可完成。

相比而言,采用本文研究的加工技術后,效率大幅提高,更重要的是確保了重復精度和降低了粗磨誤差,減輕了勞動強度,提高了加工自動化技術水平,改善了操作人員的勞動條件與環(huán)境。

5 結束語

對類同于國產QSJ改進型石材自動橋式磨切設備,均可通過結構改造,建立五軸聯(lián)動的數(shù)控系統(tǒng)。應用CAD造型軟件,設計復雜石雕型面,得出型面的網格結構,分析出每一切面的型值點。根據復雜型面的型值點,結合曲面造型擬合出的樣條曲線上的樣本點,采用本文提出的橢圓擬合算法,進行復雜石雕工件的橢圓曲面擬合,得出擬合橢圓線段集合。根據本文推導出的五軸聯(lián)動數(shù)學模型及控制模式,實現(xiàn)了磨片上橢圓形磨削軌跡包絡出石雕型面上的橢圓曲線,實際測試證明該橢圓擬合技術能實現(xiàn)復雜型面高效精確地磨削加工。

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