殼結(jié)構(gòu)聲場耦合分析的光滑有限元—有限元法

姚凌云 于德介 臧獻國

湖南大學汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室,長沙,410082

0 引言

殼體結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于汽車車身、飛機、潛艇等工程結(jié)構(gòu)中,其結(jié)構(gòu)—聲場耦合產(chǎn)生的振動與噪聲問題引起了越來越多的關(guān)注。殼體結(jié)構(gòu)在激勵作用下會產(chǎn)生振動,并與其周圍的聲場產(chǎn)生耦合,從而向聲場輻射噪聲。殼體的結(jié)構(gòu)—聲場耦合分析在工程實際中有著非常重要的作用,對殼體結(jié)構(gòu)的噪聲與振動控制研究有十分重要的意義。殼體的結(jié)構(gòu)—聲場耦合系統(tǒng)是結(jié)構(gòu)和聲場相互作用的復雜動力學系統(tǒng),包括殼體結(jié)構(gòu)域、聲場域,以及兩個域之間的耦合作用?？焖?、準確地預(yù)測其結(jié)構(gòu)—聲場耦合系統(tǒng)的聲學響應(yīng)是近年來結(jié)構(gòu)噪聲控制研究領(lǐng)域的熱點之一。

目前,殼體的結(jié)構(gòu)—聲場耦合的分析方法有解析法和數(shù)值法,其中數(shù)值法主要包括有限元—有限元法[1-5](finite element method,FEM)、有限元(FEM)—邊界元法[6-7](boundary element method,BEM)、有限元—無限元法[8](infinite element method,IEM)等。FEM/FEM和FEM/BEM是結(jié)構(gòu)—聲場耦合分析中最常用的計算方法,在一些大型的商業(yè)軟件如Nastran、Sysnosie等中應(yīng)用廣泛。與FEM/FEM相比,FEM/BEM能減少模型的單元數(shù)量,但其矩陣為非稀疏陣,并不一定能夠提高計算效率,對于內(nèi)部問題,FEM/FEM計算效率往往更高一些。FEM/FEM和FEM/BEM主要用于結(jié)構(gòu)—聲場耦合低頻計算且受模型網(wǎng)格尺寸特別是結(jié)構(gòu)網(wǎng)格尺寸的影響較大。

光滑有限元法(smoothed finite element method,SFEM)是 Liu[9-10]針對有限元法過于“剛硬”的問題,將標準的有限元法與無網(wǎng)格中分區(qū)應(yīng)力光滑技術(shù)相結(jié)合提出來的。SFEM不僅解決了四邊形單元扭曲嚴重時計算誤差大的問題,還能提高計算效率和計算精度。Cui等[11]將SFEM應(yīng)用到解決板殼的線性和幾何非線性問題中,結(jié)果表明SFEM具有很好的穩(wěn)定性和精度。Dai等[12]將SFEM應(yīng)用到二維動力學問題中分析結(jié)構(gòu)自由振動和強迫振動問題。Nguyen等[13]將SFEM應(yīng)用到Mindlin—Reissner板的力學分析中,用曲率光滑方法(curvature smoothing method,CSM)計算板的彎曲剛度矩陣,結(jié)合MITC4單元解決了剪切自鎖問題,提高了計算精度。Nguyen等[14]在上述工作的基礎(chǔ)上應(yīng)用SFEM分析殼結(jié)構(gòu)的靜力學特性。

為了提高結(jié)構(gòu)—聲場耦合分析精度,降低結(jié)構(gòu)—聲場耦合分析中對結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的尺寸要求,本文將SFEM推廣到殼結(jié)構(gòu)動力學分析中,結(jié)合流體FEM分析殼結(jié)構(gòu)—聲場耦合問題,并推導了SFEM/FEM計算殼的結(jié)構(gòu)—聲場耦合公式。運用SFEM/FEM分析結(jié)構(gòu)—聲場耦合系統(tǒng)時,殼體結(jié)構(gòu)域應(yīng)用分區(qū)應(yīng)力光滑技術(shù)對彎曲應(yīng)力和膜應(yīng)力進行光滑處理;剪應(yīng)力由MITC單元應(yīng)用獨立插值函數(shù)獲得[15];在流體域應(yīng)用傳統(tǒng)的FEM進行分析。由于SFEM/FEM繼承了SFEM計算簡單、精度高的特點,在分析殼結(jié)構(gòu)—聲場耦合時比FEM/FEM的精度和計算效率更高,對結(jié)構(gòu)網(wǎng)格尺寸要求更低。以六面體結(jié)構(gòu)—聲場耦合模型和微車內(nèi)聲固耦合模型為數(shù)值算例,研究結(jié)果表明:與 FEM/FEM相比,SFEM/FEM的精度和效率更高,對網(wǎng)格尺寸的質(zhì)量要求更低,能很好地應(yīng)用于殼結(jié)構(gòu)—聲場耦合分析中,具有良好的工程應(yīng)用前景。

1 基于SFEM/FEM的結(jié)構(gòu)—聲場耦合分析

1.1 殼結(jié)構(gòu)的SFEM模型原理

根據(jù)第一剪切變形理論,如圖1所示,殼結(jié)構(gòu)的位移分量u、v和w可分別表示為

式中,u0、v0、w0分別為殼中面 x、y、z三個方向的位移;θy、θx分別為xz和yz平面內(nèi)的轉(zhuǎn)角。

定義ε為應(yīng)變矢量:

式中,εm為膜應(yīng)力矢量;εb為彎曲應(yīng)力矢量;εs為剪切應(yīng)力矢量。

殼結(jié)構(gòu)的彎曲剛度本構(gòu)矩陣Db、橫向剪切剛度本構(gòu)矩陣Ds和膜剛度本構(gòu)矩陣Dm可分別表示為

式中,E為彈性模量;ν為泊松比;kτ為剪切修正系數(shù);t為殼單元厚度。

根據(jù)標準的FEM,將殼結(jié)構(gòu)域 Ω離散為Ne個四邊形單元,包含Nd個節(jié)點。設(shè)殼單元節(jié)點位移矢量 u=(u,v,w,θx,θy)T,則單元中面上的位移近似為

式中,dI為I節(jié)點的位移;NI為形函數(shù)。

將SFEM四邊形單元劃分為SC個光滑域,以滿足Ω1∪ Ω2∪ …ΩSC=Ω和 Ω1∩ Ω2∩ …ΩSC=?,其中 ?表示空集,研究表明光滑域的最優(yōu)個數(shù)為3[9]。節(jié)點處的形函數(shù)值為(N1,N2,N3,N4);積分點處的形函數(shù)值從光滑域邊界上線性插值得到[12]。圖 2所示為單元光滑域(smoothing cells,SC)劃分及其形函數(shù)值(SC=1,4)。

應(yīng)用光滑處理技術(shù)對殼單元的第C個光滑域進行光滑處理,光滑膜應(yīng)力和光滑彎曲應(yīng)力

式中,H(x)為光滑函數(shù)。

在本文中采用常值光滑函數(shù):

將式(6)、式(8)代入式(7),并利用散度定理,有

式中,ΓC為光滑域的邊界;nC為光滑域邊界的外法向單位矢量。

其中,微分算子為

光滑膜應(yīng)力矩陣為

采用高斯積分對上式在光滑域 ΩC的邊界ΓC上求積,得

類似上面的推導,有光滑彎曲應(yīng)力:

針對剪切項,剪切應(yīng)變可寫為

為了消除剪切自鎖,本文應(yīng)用MITC4單元中的辦法[15]處理剪切項。不考慮結(jié)構(gòu)阻尼,離散殼結(jié)構(gòu)動力學方程的光滑Galerkin弱形式為

式中,ρ為材料密度;ta為表面牽引力;ba為體積力;u¨為加速度。

將式(5)、式(6)、式(9)、式(13)以及式(15)代入式(17),得殼結(jié)構(gòu)離散后動力學方程:

將u=Uejωt代入式(19),得頻率響應(yīng)分析表達式:

Ms采用集中質(zhì)量矩陣形式表示:

入河排污口主要分布3大水系11條河流。由于各水系自然地理環(huán)境不同，經(jīng)濟發(fā)展程度有很大差距，工業(yè)布局在各水系差異很大，因此排污口在各水系間分布也存在相當大的差異。本次調(diào)查分布在3大水系的排污口，河北沿海諸河水系排污口最多，為20個，占排污口總數(shù)64.5%；灤河水系4個，占排污口總數(shù)12.9%；薊運河水系7個，占排污口總數(shù)22.6%。各水系入河排污口分布情況如表2。

式中,AC,I為節(jié)點I相對應(yīng)的第C光滑域面積;mI為節(jié)點I相對應(yīng)的第C光滑域的質(zhì)量矩陣;ρs為結(jié)構(gòu)密度。

載荷矢量Ff和Fb可表示為

1.2 流體FEM模型

殼結(jié)構(gòu)振動在理想聲場介質(zhì)中引起的小振幅簡諧聲波、聲壓滿足Helmholtz波動方程:

式中,p為聲壓;ω為圓頻率;k為波數(shù),k=ω/c;ρf為聲場介質(zhì)密度;u˙f為邊界法向速度。

流體的伽遼金形式為

式中,qf為單位體積的附加載荷。

按照FEM方式將流體域離散為六面體網(wǎng)格,并采用標準的插值形函數(shù):

式(26)可表示為

式中,Kf為聲學剛度矩陣;Bf為聲學梯度矩陣;Mf為質(zhì)量矩陣;p為節(jié)點的聲壓矢量;Fs為載荷矢量。

1.3 結(jié)構(gòu)—聲場耦合模型

為實現(xiàn)結(jié)構(gòu)SFEM模型和聲場FEM模型耦合,在耦合界面上應(yīng)滿足位移和壓力連續(xù)的條件[16]。引入界面法向n=nf=—ns,位移連續(xù)條件和結(jié)構(gòu)應(yīng)力σ與聲壓p的關(guān)系可表示為

其中,nf為耦合界面聲場法向矢量;ns為耦合界面殼結(jié)構(gòu)法向矢量。

由式(23)可知,聲場作用在殼結(jié)構(gòu)耦合面Ωsf上的載荷Ff為

由式(28)可知,結(jié)構(gòu)作用在流體耦合面 Ωsf上的載荷為

式中,L為引入耦合矩陣。

結(jié)合結(jié)構(gòu)域的SFEM模型和流體域的FEM模型,殼結(jié)構(gòu)耦合系統(tǒng)方程為

從上面的推導可以看出:在分析殼結(jié)構(gòu)—聲場耦合問題時,SFEM/FEM與傳統(tǒng)的FEM/FEM[4]相似;由于SFEM/FEM在結(jié)構(gòu)域分析時應(yīng)用應(yīng)力光滑處理技術(shù),其計算過程相對簡單,其計算結(jié)果的精度比傳統(tǒng)的FEM/FEM高。

2 數(shù)值算例

為驗證用SFEM/FEM分析結(jié)構(gòu)—聲場內(nèi)部問題的有效性和準確性,本文分別以六面體的結(jié)構(gòu)—聲場耦合模型和微車聲固耦合簡化模型為研究對象進行分析。

2.1 六面體聲場—結(jié)構(gòu)耦合分析

以六面體附帶矩形平面殼的結(jié)構(gòu)—聲場耦合模型為研究對象,如圖3所示。六面體內(nèi)為空氣域,上表面為矩形平面殼結(jié)構(gòu),其邊界角點固定約束,其他表面為剛性邊界。矩形平面殼材料參數(shù)為:彈性模量E=3.0×106MPa,泊松比 μ=0.3,密度 ρs=7 800kg/m3,六面體長、寬、高均為400mm,殼結(jié)構(gòu)厚度為1mm?？諝饴晫W參數(shù)為:密度ρf=1.25kg/m3,聲速c=343m/s。施加在中心點+Z方向的諧波激勵力幅值為1N。域點1和2為殼中心+Z方向,坐標分別為(200,200,50)mm和(200,200,100)mm。

為了評價SFEM/FEM分析結(jié)構(gòu)—聲場耦合問題的效果,本文計算了域點1和2的聲壓頻率響應(yīng),頻率范圍為 20～220Hz,并給出了一般FEM/FEM計算結(jié)果作為對比。一般FEM/FEM是指運用傳統(tǒng)的有限元耦合方法計算殼結(jié)構(gòu)—聲場耦合問題,即參考文獻[4]中所提及的方法。本文中SFEM/FEM和一般FEM/FEM都是通過MATLAB程序?qū)崿F(xiàn),由于無法獲得準確結(jié)果,本算例應(yīng)用Nastran軟件計算該實例高網(wǎng)格密度模型的近似精確解作為參考值,Nastran軟件所采用的計算方法也是FEM/FEM。由于MATLAB程序與Nastran軟件在計算時間上沒有可比性,本文只給出了計算模型的單元數(shù)目和類型,如表1所示。

表1 模型參數(shù)

圖4和圖5所示分別表示域點1和2的聲壓頻率響應(yīng)曲線。其中,實線表示參考值,點劃線表示SFEM/FEM的計算結(jié)果,虛線為FEM/FEM的計算結(jié)果。從圖中可以看出:

(1)與FEM/FEM一樣,SFEM/FEM使用網(wǎng)格尺寸較大模型時與參考值相差較大,但聲壓頻率響應(yīng)曲線趨勢跟參考值相同。

(2)與FEM/FEM相比,SFEM/FEM的計算結(jié)果更接近參考值。這表明SFEM/FEM比FEM/FEM更精確,對粗糙網(wǎng)格模型的計算結(jié)果更好。

2.2 微車結(jié)構(gòu)—聲場耦合分析

以微車內(nèi)聲腔附帶頂蓋結(jié)構(gòu)的簡化模型為結(jié)構(gòu)—聲場耦合分析對象,如圖6所示。微車內(nèi)聲腔為空氣域,上表面為頂蓋耦合面,其他表面為剛性邊界無耦合。頂蓋結(jié)構(gòu)簡化為殼結(jié)構(gòu),考慮到實際的頂蓋含加強筋結(jié)構(gòu)以增加頂蓋剛度,結(jié)構(gòu)邊界角點和邊緣固定約束,其材料參數(shù)為:彈性模量E=3.0×106MPa,泊松比 μ=0.3,密度 ρs=7800kg/m3,殼結(jié)構(gòu)厚度為1mm?？諝饴晫W參數(shù)為:密度 ρf=1.25kg/m3,聲速 c=343m/s。施加在頂蓋中心點+Z方向的諧波激勵力幅值為1N。

應(yīng)用SFEM/FEM分析微車的結(jié)構(gòu)—聲場耦合問題時,駕駛員耳旁處的聲壓頻率響應(yīng)曲線是十分重要的,頻率范圍為20～320Hz。域點1和2分別表示駕駛員耳旁處響應(yīng)點位置。應(yīng)用2.1節(jié)相同的分析過程進行分析,其模型參數(shù)如表2所示。

表2 模型參數(shù)

圖7、圖8所示分別表示域點1和2的聲壓頻率響應(yīng)曲線。其中,實線表示參考值;點劃線表示SFEM/FEM的計算結(jié)果;虛線為FEM/FEM的計算結(jié)果。從圖中可以看出:對于相同網(wǎng)格模型而言,SFEM/FEM在分析微車結(jié)構(gòu)—聲場耦合問題時具有比FEM/FEM更高的精度,其結(jié)果更接近參考值。

3 結(jié)論

(1)SFEM/FEM能很好地應(yīng)用于殼的結(jié)構(gòu)—聲場耦合分析中,其計算精度和效率比FEM/FEM要高。

(2)在分析殼的結(jié)構(gòu)—聲場耦合問題時,應(yīng)用SFEM/FEM對結(jié)構(gòu)域單元網(wǎng)格尺寸要求比FEM/FEM更低;SFEM/FEM計算較大網(wǎng)格尺寸模型時,能獲得比一般FEM/FEM更高的計算精度。因此,SFEM/FEM分析殼的結(jié)構(gòu)—聲場耦合問題可以節(jié)約前處理分析時間,具有良好的工程應(yīng)用前景。

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