連續(xù)時間的均值-方差組合選擇及其有效前沿*

郭子君 劉道海

(華南農(nóng)業(yè)大學理學院1) 廣州 510640) (武漢理工大學理學院2) 武漢 430074)

近些年來對最優(yōu)投資策略的研究已經(jīng)很多,投資對象標的價格假設(shè)為一個連續(xù)的擴散過程——幾何布朗運動[1-2].假設(shè)存在主力(機構(gòu))交易者時討論了具有異常波動市場的最優(yōu)投資與消費策略[3].連續(xù)時間投資問題研究常用的方法有兩種:動態(tài)規(guī)劃方法與隨機最優(yōu)控制方法.如果市場模型的系數(shù)是確定性的函數(shù),這兩種方法能較好地用于最優(yōu)投資與消費的某些問題研究中.如果市場模型的系數(shù)是隨機變化時,用以上方法研究投資組合問題變得十分困難[4].

本文討論由Brown運動趨動的系數(shù)隨機變化的市場模型中投資組合問題.利用D.Duffie[5]和E.Pardoux和S.Peng[6]建立的倒向隨機微分方程理論及J.Ma和Yong J[7-8]的正倒向隨機微分方程理論,在均值-方差投資組合框架下,得到了相應的有效投資組合以及投資組合的有效前沿.

1 假設(shè)與市場模型

上的范數(shù);C([0,T];X)={f(·)∣f:[0,T]→X;在[0,T]上連續(xù)}.金融市場中的不確定性因素用

記b(t)=(b1(t),b2(t),…,bd(t))T,σ(t)=(σij(t))d×d.考慮利率變化是隨機過程的情形,假定適應的無風險債券的利率隨機過程r(t)∈C([0,T];R),適應的期望瞬時收益率隨機過程向量b(t)∈C([0,T];瓗d)適應的擴散系數(shù)隨機過程矩陣 σ(t)∈C([0,T];瓗d×d),而且d 階方陣 σ(t)σ(t)T非奇異且滿足條件 σ(t)σ(t)T≥δI,a.s ?t∈[0,T],其中δ是某個正數(shù),I是d階單位矩陣.概率空間(Ω,F,{F t}t≥0,P)上的 d 維瓗d值Brown運動W(t)=(W1(t),W2(t),…,Wd(t))T表示,其中由W(t)生成的含所有零概率事件的遞增σ-域流{F t}是經(jīng)濟參與者感知的信息流.

考慮交易可連續(xù)進行且無磨擦的完全金融市場,設(shè)市場上有d+1種標的資產(chǎn),其中一種為無風險債券,價格 p0(t)滿足方程

假設(shè)投資者的初始財富為x0,時刻t的財富為x(t).投資者在t時刻投資第i種風險資產(chǎn)的投資額為 πi(t),稱 π(t)=(Π1(t),π2(t),…,πd(t))T為投資組合過程,如果它是取值于瓗d關(guān)于F可料的過程且有∫T0‖π(t)‖2d t＜ ∞,a.s;所有投資組合過程的集合記為Π.

對于容許賣空的市場,投資者在一個有限時域[0,T]內(nèi)連續(xù)地進行投資,設(shè)初始財富為x0＞0,t時刻的財富x(t)滿足如下隨機微分方程

式中:l d=(1,1,…,1)T∈瓗d

定義 稱投資策略 π(t)為容許的,若F t適應的投資組合過程π(t)確定的方程式(1)的解 x(t)≥0(0≤t≤T)a.s,容許投資策略的全體記為A.

令 θ(t)=(θ1(t),θ2(t),…,θd(t))T是如下矩陣方程的解

按以下步驟構(gòu)造新的概率測度.記Z(t)是如下隨機微分方程的解

根據(jù) K ·It?o 公式有

定義新的概率測度ˉP=Z(T)P,由Girsanov定理可知,過程是關(guān)于ˉP-F t的Brown運動.因此,關(guān)于財富過程有如下表示

2 均值-方差組合選擇

在連續(xù)時間情形,動態(tài)規(guī)劃方法與隨機最優(yōu)控制理論是解決此類問題的2種主要方法.利用倒向隨機微分方程理論,討論系數(shù)是隨機過程的擴散標的價格過程下均值-方差組合選擇問題.

對于最優(yōu)化問題

如果存在投資策略π(t)*使得式(1)對應的財富過程是最優(yōu)化問題(B)的解,易知也是最優(yōu)化問題(A)的解并且有E()=∈.關(guān)于最優(yōu)化問題(B)與(C),有如下命題.

命題2.1 如果存在投資策略π(t)*使得式(1)對應的財富過程是最優(yōu)化問題(B)的解,則π(t)*是最優(yōu)化問題(C)當λ=1+2θE()時的解.

如果均值-方差組合選擇問題(A)存在最優(yōu)投資策略π(t)*,可以通過求解最優(yōu)化問題(C)當λ=1+2θE(x*T)時的最優(yōu)策略來得到.依據(jù)最優(yōu)化問題的這種嵌入技術(shù),重點討論系數(shù)是隨機過程的擴散標的價格過程下最優(yōu)化問題(C)的最優(yōu)策略.

設(shè)U(x)=θx2-λx.其中:常數(shù) θ＞0,易知U(x)為上凸函數(shù).令V(y)為U(x)的反函數(shù),最優(yōu)化問題(C)可表示為E[U(xT)].其中-∞＜λ＜+∞.設(shè)ξ(t)=c β(t)Z(t),0 ≤t≤ T,考慮函 數(shù) φ(y)=ˉE[β(T)V(yζ(T))] 和 其 反 函 數(shù) ψ(x), 顯 然φ(ψ(x))= x. 由 以 上 定 義 可 得

定理2.2 設(shè)投資者的初始財富為 x0,θ＞0,υ(t)1×d 是滿足M t=M0+β(s)υ(s)dWˉ(s)的可料適應過程,其中Mt=Eˉ[(β(T)V(ψ(x0)×(T))/.則最優(yōu)化問題(C)存在惟一最優(yōu)投資策略π(t)*=[υ(t)(σ(t))-1]T,并且在此策略下的最終財富為

證明1 如下倒向隨機微分方程的解過程對存在并且惟一.

令Mt=ˉE[β(T)V(ψ(x0)ζ(T))/Ft],顯然μt是ˉP-F t鞅,根據(jù)鞅表示定理知,存在惟一F t可料適

t應過程

特別地,當t=T時有

從以上兩式可得

若選取

有

倒向隨機微分方程(5)存在唯一解過程對

由于x(0)*=ˉE[(β(T)V(ψ(x0)ζ(T))]=φ(ψ(x0))=x0,且對應的期末財富為 x(T)*=V(ψ(x0)ζ(T)).因此投資者用初始財富 x0按照策略π(t)*進行投資,期末的財富為 x(T)*=V(ψ(x0)ζ(T)).

證明 2 π(t)*=(υ(t)(σ(t))-1)T是最優(yōu)化問題(C)的最優(yōu)投資策略.考慮

如證明1,記其解過程對為

只需證明E[U(x*T)]≤E[U(xT)].由于

在上式兩邊取期望可得

如果用初始財富x0分別按照策略π(t)和 π(t)*投資,有E[U(xT)] ≥E[U(x*T)].因此 π(t)*是最優(yōu)化問題(C)的最優(yōu)投資策略.

定理2.3 設(shè)投資者的初始財富為 x0,θ＞0,υ(t)1×d是滿足M t=M0+∫t0β(s)υ(s)dˉW(s)的F t可料適應過程,其中M t=ˉE[(β(T)V(ψ(x0)×ζ(T))/F].若最優(yōu)組合問題(A)存在最優(yōu)投資策略 ,則 π(t)*=[υ(t)(σ(t))-1]T,而且

是在此策略下的最終財富.

證明 由定理2.2證明可得

為得到最優(yōu)化問題(A)的最優(yōu)投資策略,只需計算 λ=1+2θE(x*T)的值.由上式可得

3 有效前沿

定理3.1 設(shè)投資者的初始財富為 x0,θ＞0,υ(t)1×d是滿足 Mt=M0+的β(s)υ(s)dˉW(s)的可料適應過程,其中M t=ˉE[(β(T)V(ψ(x0)×ζ(T))/].若最優(yōu)組合問題(A)存在最優(yōu)投資策略 π(t)*=[(υ(t)(σ(t))-1]T,在最優(yōu)投資策略下最終財富的有效前沿是如下曲線

證明 當λ取式(8)的表達式時,式(4)便成為式(7).為簡化推導,從式(4)有

以式(9)代入上式得

證畢.

根據(jù)定理3.1可得如下推論.

推論 如果r(t),b(t),σ(t)是確定性函數(shù)(向量、矩陣),均值-方差組合選擇問題(A)的有效前沿為如下拋物線

4 結(jié) 束 語

自從Markowitz的投資組合理論發(fā)表以來,投資組合分析的研究不斷向縱深發(fā)展.在連續(xù)時間框架并且利率假定為隨機過程時,本文研究了一般的動態(tài)投資組合選擇問題.運用倒向隨機微分方程的理論與動態(tài)最優(yōu)化方法,得到了連續(xù)時間投資組合的有效前沿的解析表達式,有效前沿曲線是一條拋物線,推廣了Markowitz的經(jīng)典結(jié)論.

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