基于位移的格子法模擬彈性波傳播與應(yīng)用*

熊 浩 高廣運(yùn) 馮世進(jìn) 歐湘萍

(臺(tái)州學(xué)院建筑工程學(xué)院1) 臺(tái)州 318000) (同濟(jì)大學(xué)地下建筑與工程系2) 上海 200092)

(同濟(jì)大學(xué)巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室3) 上海 200092) (武漢理工大學(xué)交通學(xué)院4) 武漢 430063)

0 引 言

彈性波傳播的數(shù)值模擬在鐵道及城市軌道交通環(huán)境振動(dòng)分析和隔振設(shè)計(jì)、地震勘探等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用.有限差分法、有限元法和偽譜法是三種主要的數(shù)值模擬方法.Virieux等[1]提出了基于應(yīng)力-速度混合變量彈性波方程的交錯(cuò)網(wǎng)格差分法,提高了差分法的計(jì)算精度和穩(wěn)定性.裴正林[2]將交錯(cuò)網(wǎng)格計(jì)算技術(shù)與高精度差分計(jì)算格式結(jié)合起來,用于三維波動(dòng)模擬.Chen[3]則進(jìn)一步提出了旋轉(zhuǎn)交錯(cuò)網(wǎng)格計(jì)算技術(shù),增加了差分法模擬非均勻介質(zhì)中波動(dòng)問題的能力.有限元法雖理論成熟,適應(yīng)性強(qiáng),但計(jì)算所需存儲(chǔ)空間較大,計(jì)算效率稍差.偽譜法[4]則采用快速傅立葉變換計(jì)算空間導(dǎo)數(shù),用差分法計(jì)算時(shí)間導(dǎo)數(shù).通過引入映射函數(shù)雖可以使其在計(jì)算中考慮地表形狀的變化,但如何合理選擇映射函數(shù)有一定困難.

近年來,張劍鋒[5-6]給出了基于應(yīng)力-速度混合變量彈性波方程及任意四邊形網(wǎng)格差分算子的數(shù)值方法——格子法,它融合了有限元可以適應(yīng)復(fù)雜形狀邊界條件、有限差分法計(jì)算簡(jiǎn)便及無須計(jì)算剛度矩陣的優(yōu)點(diǎn),可以方便地引入任意形狀自由表面邊界條件.

本文基于以位移為變量彈性波方程,給出了二維格子法的計(jì)算方法,推導(dǎo)適合該法的人工邊界條件,并通過經(jīng)典Lam b問題算例驗(yàn)證了該方法的正確性.與傳統(tǒng)的基于混合變量的格子法相比,該方法采用單點(diǎn)高斯積分法計(jì)算線積分,提高了積分的準(zhǔn)確性;文中所給出的人工邊界條件計(jì)算簡(jiǎn)便,透射外行波效果良好.應(yīng)用上述數(shù)值計(jì)算方法,本文分析了在不同填充溝深度條件下的隔振效果,即地表豎向振幅衰減系數(shù)變化.

1 計(jì)算方法

1.1 基本計(jì)算公式

在笛卡爾坐標(biāo)系中,不計(jì)體力,均質(zhì)彈性介質(zhì)中彈性波傳播控制方程為

式中:ρ為彈性介質(zhì)的密度,kg/m3;μ和λ為介質(zhì)的Lamé系數(shù),Pa;σx,σy,σz和 τxy為應(yīng)力張量,Pa;ux和uy為位移,m.

將計(jì)算區(qū)域以三角形或四邊形網(wǎng)格進(jìn)行離散,局部網(wǎng)格如圖1所示.圖中的實(shí)線是離散時(shí)所生成網(wǎng)格線,實(shí)心點(diǎn)j,k,l,…是網(wǎng)格線頂點(diǎn);圖中的虛線是各段實(shí)線中點(diǎn)與網(wǎng)格中心點(diǎn)的連線,四邊形網(wǎng)格中空心點(diǎn)(如1,2,3,…)是各段虛線的中點(diǎn),而三角形網(wǎng)格中的空心點(diǎn)(如點(diǎn)7)是三角形的中心點(diǎn).如果在實(shí)心點(diǎn)處定義位移分量ui(i=x,y),那么對(duì)于四邊形網(wǎng)格而言,可以利用任意四邊形網(wǎng)格差分算子[6]計(jì)算位移在域內(nèi)任意點(diǎn)處的空間一階導(dǎo)數(shù)值.

圖1 局部網(wǎng)格示意圖

對(duì)于三角形網(wǎng)格,以圖1中三角形 fm j為例,其中心點(diǎn)處的位移空間一階導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式為[7]

式中:A為三角形 fm j的面積;(ui)f,(ui)m和(ui)j為三個(gè)頂點(diǎn)f,m,j處的位移值;bf=(yjym)/2,cf=(xj-xm)/2,(f→m→j→t),通過下標(biāo)輪換可以類似地計(jì)算出 bm,cm等;(xj,yj),(xm,ym)分別為j,m點(diǎn)處的坐標(biāo).

從圖1可見,各個(gè)實(shí)心點(diǎn)周圍的虛線都圍成一個(gè)閉合區(qū)域.假定結(jié)點(diǎn) f周圍虛線所圍的區(qū)域?yàn)?Ω,其邊界1-2-3-4-5-6-7記為 Γ.在 Ω上對(duì)式(1)積分可得

式中:α,β分別為邊界 的外法線方向余弦.采用集中質(zhì)量模型,式(4)～(5)中的等號(hào)左端的面積積分可簡(jiǎn)化為僅與 f點(diǎn)加速度有關(guān),即分別為.式中:M f是區(qū)域 Ω的質(zhì)量.對(duì)于式(3)右端的線積分,在邊界Γ每一段上采用單點(diǎn)高斯積分公式進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.此時(shí),每段上的積分點(diǎn)正是邊界 Γ上的各個(gè)空心點(diǎn).設(shè)式(4)和式(5)線積分值分別為(Ax)f和(Ay)f,則

對(duì)式(6)中二階導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中心差分公式計(jì)算,可得

式中:上標(biāo) n為nΔt時(shí)刻,類似地n+1代表(n+1)Δt時(shí)刻,n-1為(n-1)Δt時(shí)刻;Δt為計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng).根據(jù)式(7),可求得

1.2 計(jì)算步驟

對(duì)節(jié)點(diǎn) f而言,應(yīng)用單點(diǎn)高斯積分公式,在邊界Γ上計(jì)算式(3)中線積分(Ax)f和(Ay)f,并把它們代入到式(7)中,計(jì)算出(n+1)Δt時(shí)刻的位移(un+1x)f,(un+1y)f.這樣,就完成了 f點(diǎn)從nΔt時(shí)刻到(n+1)Δt時(shí)刻的位移分量遞推計(jì)算.對(duì)于其他實(shí)心點(diǎn),可以類似于 f點(diǎn)進(jìn)行處理.從而整個(gè)實(shí)線網(wǎng)格上的全部節(jié)點(diǎn)在(n+1)Δt時(shí)刻位移可以完全確定.類似地,可以計(jì)算出(n+1)Δt時(shí)刻的位移場(chǎng),直到設(shè)定的計(jì)算時(shí)間終點(diǎn)為止.

為了保證計(jì)算的穩(wěn)定,時(shí)間步長(zhǎng)Δt與空間最小網(wǎng)格邊長(zhǎng)h應(yīng)滿足穩(wěn)定條件:Δt≤h/vp,式中:v p為縱波的波速.

1.3 自由表面邊界條件

假定在圖1中h,l,k是自由表面邊界上的節(jié)點(diǎn).在 l點(diǎn)處,在圍線 l-Ma-9-3-2-8-Mb所圍區(qū)域內(nèi)類似于式(4)～(5)建立平衡方程

式中:M l為上述圍線所圍區(qū)域的質(zhì)量.

式(9)中線積分分為兩部分,其中Ma-9-3-2-8-Mb線段上的積分計(jì)算方法與前述式(4)～(5)中的線積分計(jì)算辦法完全相同.而Mbl-Ma線段上的積分事實(shí)上就等于作用于表面邊界上的已知外荷載.因此,在自由邊界上邊界條件可以方便地引入到計(jì)算中.

2 人工邊界條件

考慮到實(shí)際上波的傳播是在半無限域中進(jìn)行的,而計(jì)算模型只能是有限的,因此必須在計(jì)算區(qū)域的邊界上引入人工邊界條件,以準(zhǔn)確地模擬波的無限傳播.本文給出一種簡(jiǎn)單實(shí)用的人工邊界條件.

將式(2)代入到式(1)中,可得

假定xoy坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)θ角得到新坐標(biāo)系xoy′,其坐標(biāo)軸x′與平面上某處波的傳播方向相一致,忽略另一個(gè)軸方向波的傳播,亦即假定?/?y′=0.兩個(gè)坐標(biāo)系之間有如下關(guān)系式

由此,可得

把式(13)代入到式(10～11)中,可得以矩陣表示的方程

對(duì)Q作特征值分解,Q=P-1ΛP,于是式(14)可以寫成

把xoy系中PU表達(dá)式代入上式中,可得

式中 :ux(vs)=ux(x-vsΔt cosθ,y+vsΔt sin θ,t-Δt),其余類似.由式(18)不難得到ux,yy的計(jì)算表達(dá),可以發(fā)現(xiàn)邊界節(jié)點(diǎn)位移由前一時(shí)刻的鄰近節(jié)點(diǎn)的位移計(jì)算確定.在不同的邊界上,應(yīng)選擇不同的θ,例如在邊界法線與 x正方向平行的邊界上,應(yīng)取θ=0°計(jì)算,而在邊界法線方向與y軸的負(fù)方向上一致的邊界上,則應(yīng)取θ=90°計(jì)算.

3 計(jì)算方法的驗(yàn)證

為了本文計(jì)算方法的正確性,這里計(jì)算了Lamb問題,并將計(jì)算結(jié)果與解析解[8]進(jìn)行了對(duì)比.假定半無限地基密度 ρ=2 250 kg/m3,其Lamé系數(shù) μ=1.048×103MPa,λ=1.863×103MPa;計(jì)算區(qū)域?yàn)? 000 m×1 000 m的矩陣區(qū)域,采用邊長(zhǎng)為5 m的正方形網(wǎng)格,時(shí)間步長(zhǎng)取為0.002 s;振源為一垂直作用在地表中點(diǎn)的集中荷載,其表達(dá)式為 f(t)=exp(-200(t-0.178)2);計(jì)算采用上述人工邊界條件.圖2同時(shí)給出了地表上距垂直力源距離為500 m的點(diǎn)水平位移的解析解和本文數(shù)值計(jì)算結(jié)果,并給出了無人工邊界時(shí)的數(shù)值解結(jié)果.由圖可知,采用本文所述的計(jì)算方法及人工邊界條件所得的數(shù)值結(jié)果與解析解答基本吻合,由此可見本文方法的正確性;對(duì)比無人工邊界條件計(jì)算結(jié)果與有人工邊界條件計(jì)算結(jié)果,可見本文所述的人工邊界可以較好地透射出外行波,是一種有效的人工邊界條件.

圖2 水平位移分量的解析解與數(shù)值解的比較

4 填充溝隔振分析

振動(dòng)對(duì)人們的生活與工作環(huán)境造成了不可忽視的影響,振動(dòng)已被列七大公害之一.治理環(huán)境振動(dòng)的有效途徑之一是設(shè)置屏障隔振,填充溝就是屏障隔振措施之一.利用上述的計(jì)算方法,本文研究了采用填充溝進(jìn)行隔振時(shí),不同的填充溝深度條件下的豎向振幅衰減變化.

圖3是計(jì)算模型.均勻彈性半空間地基的密度為ρs=2 000 kg/m3;剪切模量為G s=1.923×107Pa;泊松比v s=0.3.填充溝內(nèi)填充物為橡膠,其密度ρ=1 200 kg/m3;剪切模量為G=9.655×105Pa;泊松比υ=0.48.振源是頻率為5 H z的正弦力,表達(dá)式為 f(t)=sin(10πt).假定填充溝的寬度不變,為2m;深度h變化,分別取10,12,15,18和20m;填充溝距振源為L(zhǎng)1=50m;在填充溝后的地表,選取與填充溝距離為L(zhǎng)2的若干個(gè)觀測(cè)點(diǎn).

圖3 填充溝計(jì)算示意圖

Woods[9]研究屏障隔振時(shí),提出在頻域分析中,對(duì)于隔振效果可采用振幅衰減系數(shù) AR來衡量.類似地,本文定義豎向振幅衰減系數(shù)

用于評(píng)價(jià)隔振效果.根據(jù)這一定義,如果ˉAR值越小,則表明隔振的效果越好,反之則表明隔振效果不佳.

圖4是計(jì)算結(jié)果.為便于分析,圖中長(zhǎng)度采用量綱一的量的長(zhǎng)度:L*2=L2/λR,h*=h/λR,λR 是R 波波長(zhǎng),λR=18.188 m.由圖可知,對(duì)于所設(shè)置的不同填充溝深度,都可以取得一定的隔振效果.在計(jì)算模型中,隨著溝深度的逐步增加,各點(diǎn)隔振效果先有不同程度地降低,但當(dāng)h*≈λR時(shí),各點(diǎn)隔振效果卻達(dá)到最佳水平.這表明,增加填充溝深度最終是有助于增加隔振效果的.對(duì)于某一填充溝深度而言,填充溝后地表各觀測(cè)點(diǎn)的豎向振幅衰減系數(shù)均在 L*2=1.10λR～3.10λR,L*2=3.50 λR～4.75λR范圍內(nèi)相對(duì)偏大,而在 L*2=3.30λR和L*2=4.95λR處相對(duì)較小.這說明:一方面,填充溝的深度達(dá)一定值后其變化對(duì)于豎向振幅衰減系數(shù)ˉA R影響不大;另一方面,填充溝的隔振效果是隨距離L*2而不斷變化的,在不同的距離處隔振效果相差較大,且存在著某個(gè)點(diǎn),對(duì)應(yīng)著最小豎向振幅衰減系數(shù).所以在設(shè)計(jì)填充溝時(shí),應(yīng)注意選擇填充溝的位置,確保隔振保護(hù)區(qū)域?yàn)樽钚∝Q向振幅衰減系數(shù),以達(dá)到最佳的隔振效果.

圖4 不同填充溝深度h*時(shí)豎向振幅衰減系數(shù)隨距離L*2變化曲線

5 結(jié) 論

1)本文基于以位移為變量彈性波方程,給出了二維格子法的計(jì)算方法,并推導(dǎo)適合該法的人工邊界條件.

2)經(jīng)典的Lam b算例表明了本文計(jì)算方法的正確性和邊界條件的適應(yīng)性.該方法能很好地適應(yīng)不規(guī)則的邊界條件,且計(jì)算簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確,可用于彈性波傳播及散射問題研究.

3)填充溝屏障隔振分析表明,增加填充溝深度有助于增加隔振效果,但填充溝深度并不影響最小豎向振幅衰減系數(shù)點(diǎn)的位置.

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