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    應(yīng)用直線參數(shù)方程解比例競(jìng)賽題

    2010-12-01 02:10:40
    關(guān)鍵詞:方程解競(jìng)賽題直角坐標(biāo)

    (泰州實(shí)驗(yàn)學(xué)校 江蘇泰州 225300)

    應(yīng)用直線參數(shù)方程解比例競(jìng)賽題

    ●于志洪

    (泰州實(shí)驗(yàn)學(xué)校 江蘇泰州 225300)

    眾所周知,由定比分點(diǎn)公式

    可求出分點(diǎn)M的坐標(biāo)(x,y).在此,若以變數(shù)λ為參數(shù),l為過(guò)點(diǎn)M1(x1,y1),M2(x2,y2)的直線,則對(duì)于每一個(gè)不等于-1的參數(shù)λ,l上都有1個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng);反之,對(duì)于l上的除點(diǎn)M2外的每一個(gè)點(diǎn)M都有一個(gè)值λ與之對(duì)應(yīng),即有下面的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系:

    {λ:λ∈R,λ≠-1}?{M:M∈l,M≠M(fèi)2},

    因此,方程

    (1)

    是直線l的參數(shù)方程.

    下面用直線參數(shù)方程來(lái)解競(jìng)賽題.

    1 求比值

    例1在△ABC中,已知D為BC的中點(diǎn),E為AD的中點(diǎn).又BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F,求AF∶FC.

    (2007年河南省焦作市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

    又直線AC的兩點(diǎn)式參數(shù)方程為

    (3)

    將式(3)代入式(2),得

    (a+λ)b-(a+2)b+b(1+λ)=0,

    解得

    AF∶FC=1∶2.

    圖1 圖2

    2 求連比值

    例2在△ABC中,D,E是BC的三等分點(diǎn),M是AC的中點(diǎn),BM分別交AD,AE于點(diǎn)G,H,則BG∶GH∶HM=

    ( )

    A.3∶2∶1 B.4∶2∶1

    C.5∶4∶3 D.5∶3∶2

    (2008年江西省南昌市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

    解建立如圖2所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)A(2a,2b),C(6,0),則D(2,0),E(4,0),M(a+3,b).由兩點(diǎn)式得AD的方程為

    bx+(1-a)y-2b=0,

    (4)

    AE的方程為

    bx+(2-a)y-4b=0.

    (5)

    又BM的兩點(diǎn)式直線參數(shù)方程為

    (6)

    將式(6)代入式(4),得

    解得

    λ=1,

    (7)

    又將式(6)代入式(5),得

    解得

    (8)

    設(shè)BG=m,GH=n,HM=p,則由式(7),式(8)得

    解得

    因此

    BG∶GH∶HM=m∶n∶p=

    5∶3∶2.

    故選D.

    3 證四線段成比例

    (2007年湖南省沅江市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

    證明建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系,則EDF的方程為

    設(shè)A(a,b),C(c,d),則B(-c,-d),從而直線AC的兩點(diǎn)式參數(shù)方程為

    (10)

    (11)

    把式(10)代入式(9),可得

    從而

    把式(11)代入式(9)可得

    因此

    圖3 圖4

    4 證線段比積的關(guān)系

    例4(Menelaus定理)一直線截△ABC的邊BC,CA,AB或其延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,E,F,求證:

    (2007年浙江省舟山市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

    證明建立如圖4所示的直角坐標(biāo)系,則EDF的方程為

    x=0.

    (12)

    設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),則直線CA的兩點(diǎn)式參數(shù)方程為

    (13)

    把式(13)代入式(12)可得

    同理可得

    因此

    5 證線段比和的關(guān)系

    (2008年貴州省畢節(jié)市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

    證明建立如圖5所示的直角坐標(biāo)系,則l的方程為

    y=0.

    (14)

    設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),則

    又直線AB的兩點(diǎn)式參數(shù)方程為

    (15)

    把式(15)代入式(14),得

    從而

    從而

    綜上所述,應(yīng)用直線的兩點(diǎn)式參數(shù)方程解、證這類問(wèn)題時(shí),首先要建立直角坐標(biāo)系,設(shè)置好有關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo),寫(xiě)出一條直線的普通方程,再列出與這條直線相交的另一條直線的兩點(diǎn)式參數(shù)方程,然后將參數(shù)方程代入普通方程中求出λ的值,按照結(jié)論要求解、證即可.

    圖5 圖6

    一般說(shuō)來(lái),這類問(wèn)題有如下推廣.

    定理1已知D和E分別是△ABC的邊BC和CA(或其延長(zhǎng)線)上的點(diǎn),AD與BE交于點(diǎn)F.

    證明建立如圖6所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)C(1,0),A(a,b),則由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得

    由兩點(diǎn)式得AD的方程為

    b(1+m)x+(m-a-am)y-mb=0.

    (16)

    又直線BE的兩點(diǎn)式參數(shù)方程為

    (17)

    把式(17)代入式(16),得

    λb(1+m)(1+na)+ (m-a-am)λnb-

    mb(1+λ)(1+n)=0,

    整理得

    λ-m-mn=0,

    從而

    結(jié)論(1)得證.

    結(jié)論(2)的證明與結(jié)論(1)類似,證明留給讀者完成.

    通過(guò)上述研究可知,直線兩點(diǎn)式參數(shù)方程在競(jìng)賽中的應(yīng)用不可忽視,上述比例問(wèn)題的推廣也通俗易懂.此專題內(nèi)容不僅符合新課程改革關(guān)于“拓寬視野,加強(qiáng)研究”的理念要求,而且利于學(xué)生接受,適合教師講解.實(shí)踐表明,研究課本中定理、公式的應(yīng)用及推廣,對(duì)于幫助學(xué)生融會(huì)貫通“雙基”知識(shí),培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和探索精神,對(duì)于幫助學(xué)生提高綜合解題水平、理解課本內(nèi)容、啟迪思維、開(kāi)拓視野,均很有益處.

    為此,筆者認(rèn)為,作為一名中學(xué)數(shù)學(xué)教師,在今后的教學(xué)過(guò)程中,有目的地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一些結(jié)合課本內(nèi)容的專題進(jìn)行研究,是很有必要的.

    [1] 于志洪.應(yīng)用直線兩點(diǎn)式參數(shù)方程解幾何題[J].海南教育學(xué)院學(xué)報(bào):綜合版.1997,8(2):11-12.

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