幾何概型不“孤單”

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(華羅庚中學(xué) 江蘇金壇 213200)

幾何概型不“孤單”

●錢輝

(華羅庚中學(xué) 江蘇金壇 213200)

若事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概型，它的特點(diǎn)是無限性和等可能性．在教學(xué)中，經(jīng)常會遇到與其他多個(gè)知識點(diǎn)融合而形成的背景新穎、能力要求較高、構(gòu)思獨(dú)特的幾何概型問題．

1 與隨機(jī)數(shù)相關(guān)的幾何概型

例1用計(jì)算機(jī)隨機(jī)產(chǎn)生有序二元數(shù)組(x,y)滿足0

(1)兩數(shù)之和大于1.2；

(2)兩數(shù)平方和小于0.25．

解(1)記“兩數(shù)之和大于1.2”為事件A，則x+y>1.2，因此事件A發(fā)生即表示點(diǎn)(x,y)落入圖1中的陰影部分.而點(diǎn)落在正方形內(nèi)任一點(diǎn)的機(jī)會都是均等的，于是事件A的概率應(yīng)等于陰影部分的面積與正方形面積之比，所以

圖1 圖2

2 與函數(shù)相關(guān)的幾何概型

例2函數(shù)f(x)=x2-x-2，x∈[-5,5],對任意x0∈[-5,5],使f(x0)≤0的概率為多少？

圖3

解記“任意x0∈[-5,5],使f(x0)≤0”為事件A，易知f(x)的2個(gè)零點(diǎn)為xC=-1,xD=2．在[-5,5]中任取一實(shí)數(shù)x即相當(dāng)于在線段AB上任取1個(gè)點(diǎn)，事件A發(fā)生即恰好取到線段CD上一點(diǎn)，事件A包含的基本事件為圖3中線段CD的長度，所有基本事件為線段AB的長度,因此

3 與方程相關(guān)的幾何概型

例3設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0，若a是區(qū)間[0，3]中任取的1個(gè)數(shù)，b是區(qū)間[0，2]中任取的1個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．

解(1)記“方程有實(shí)根”為事件A，在直角坐標(biāo)平面上，坐標(biāo)(a,b)表示的點(diǎn)均勻落在如圖4所示的矩形區(qū)域內(nèi)，事件A發(fā)生即對應(yīng)的點(diǎn)落在滿足Δ=(2a)2-4b2≥0的區(qū)域內(nèi),因此

圖4 圖5

4 與不等式相關(guān)的幾何概型

例4在集合{(x,y)|0≤x≤5,0≤y≤4}內(nèi)任取1個(gè)元素，能使不等式2x+y-4≥0成立的概率是多少？

解記“不等式2x-y-4≥0成立”為事件A，如圖5所示，集合{(x,y)|0≤x≤5,0≤y≤4}為矩形內(nèi)(包括邊界)所有點(diǎn)的集合，集合{(x,y)|2x+y-4≥0}表示坐標(biāo)平面內(nèi)直線2x+y-4=0右上方(包括直線)的點(diǎn)的集合，因此

5 與平面幾何相關(guān)的幾何概型

例5一只螞蟻在邊長為6的正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地爬行，則其恰在離4個(gè)頂點(diǎn)距離都大于3的地方的概率為多少？

解記“螞蟻恰在離4個(gè)頂點(diǎn)距離都大于3的地方”為事件A，如圖6所示，螞蟻落在正方形區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)是等可能的，而事件A發(fā)生即螞蟻落在了圖6中所示的空白部分，因此

圖6 圖7

6 與立體幾何相關(guān)的幾何概型

例6在1 L高產(chǎn)小麥種子中混入了一種帶麥銹病的種子，從中隨機(jī)取出10 mL，則取出的種子中含有麥誘病的種子的概率是多少？

解病種子在這1 L中的分布可以看作是隨機(jī)的，取得的10 mL種子可視作構(gòu)成事件的區(qū)域，1 L種子可視作試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，可用“體積比”公式計(jì)算其概率．

記“含有病種子”為事件A，則

因此取出的種子中含有麥誘病的種子的概率是0.01．

7 與解析幾何相關(guān)的幾何概型

8 與算法相關(guān)的幾何概型

圖8

例8定義函數(shù)CONRND(a,b)是產(chǎn)生區(qū)間(a,b)上的任何一個(gè)實(shí)數(shù)的隨機(jī)數(shù)函數(shù)，如圖8所示的程序框圖可用來估計(jì)π的值．現(xiàn)在N輸入的值為100，結(jié)果m的輸出值為21，則由此可估計(jì)π的近似值為多少？

解在算法的流程圖中，A，B分別是產(chǎn)生在(-1，1)中的隨機(jī)數(shù)，故在直角坐標(biāo)系中，由A，B組成的有序數(shù)組(A，B)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在“-11”的點(diǎn)表示落在了單位圓外(如圖8所示的陰影部分)，因此程序中輸出的值m即為落在圓外的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，所以點(diǎn)落在圓外的概率為

即

解得

π≈3.16．

圖9 圖10

9 與集合相關(guān)的幾何概型

例9已知集合A={x|-1≤x≤0}，集合B={x|ax+b·2x-1<0,0≤a≤2,1≤b≤3}.若a,b∈R，求A∩B=φ的概率．

解因?yàn)閍∈[0,2]，b∈[1,3]，所以(a,b)對應(yīng)的區(qū)域?yàn)檫呴L為2的正方形.令

f(x)=ax+b·2x-1,x∈[-1,0]，

則

f′(x)=a+bln2·2x.

因?yàn)?/p>

a∈[0,2]，b∈[1,3],

所以

f′(x)>0.

即

2a-b+2≤0.

所以滿足A∩B=φ的(a,b)對應(yīng)的區(qū)域?yàn)槿鐖D9中所示的陰影部分，于是

幾何概型雖然描述的是概率問題，可是它很容易與其他知識點(diǎn)相結(jié)合，以上通過幾個(gè)例子概括地?cái)⑹隽诉@類問題的主要題型，其他的一些問題這里就不再累述了．