分?jǐn)?shù)階傅里葉變換與虛擬陣列相結(jié)合的波達(dá)方向估計(jì)

金 翔,張?zhí)祢U,侯瑞玲,高永升

(重慶郵電大學(xué)信號與信息處理重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶 400065)

0 引言

寬帶線性調(diào)頻(LFM)信號在通信、雷達(dá)、聲納、生物醫(yī)學(xué)以及地震勘測等系統(tǒng)中都有廣泛的應(yīng)用,針對此類信號的波達(dá)方向(DOA)估計(jì)問題也日益受到人們的重視。時(shí)頻分析是處理非平穩(wěn)信號的有效手段,Belouchrani和Amin等提出了空間時(shí)頻分布(spatial time-frequency distribution,STFD)的概念,在DOA估計(jì)中取得了優(yōu)于傳統(tǒng)方法的性能[1-2]。然而,常規(guī)的算法可以實(shí)施的前提條件是入射信源之間弱相關(guān)或不相干,而實(shí)際的環(huán)境中,很多情況下會有相干信號,也就不能進(jìn)行正確的估計(jì)。文獻(xiàn)[3]提出了時(shí)頻相干信號子空間法,實(shí)現(xiàn)了寬帶非平穩(wěn)信號源的陣列信號DOA估計(jì),但需要來波方向的初始估計(jì),還存在穩(wěn)健性不好和運(yùn)算量巨大等缺點(diǎn)。文獻(xiàn)[4]提出了在分?jǐn)?shù)階Fourier變換(FRFT)結(jié)合前后向平滑技術(shù)進(jìn)行寬帶相干LFM信號的DOA估計(jì),但此方法減少了陣列的孔徑,使N個(gè)陣元最多只能估計(jì)-1個(gè)相干信號,其精度等參數(shù)也存在一定的限制。為此,本文提出了FRFT與虛擬陣列相結(jié)合的相干LFM信號DOA估計(jì)方法。

1 寬帶LFM信號估計(jì)的基本概念

1.1 分?jǐn)?shù)階Fourier變換的陣列信號分析

信號x(t)的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換定義為[5]:

信號x(t)的FRFT是線性變換,它和Wigner-Ville分布(WVD)的關(guān)系可解釋為時(shí)頻平面的旋轉(zhuǎn)算子,這一特性決定了FRFT特別適合于處理LFM類信號。如圖 1所示,一個(gè)有限長 LFM信號的Wigner分布在時(shí)頻平面呈現(xiàn)為斜直線的背鰭形分布,因此,若在與該斜直線相垂直的FRF域上求信號的分?jǐn)?shù)階Fourier變換,則在該域的某點(diǎn)將出現(xiàn)明顯的峰值。而噪聲的能量均勻地分布在整個(gè)時(shí)頻平面內(nèi),在任何的分?jǐn)?shù)階傅里葉域上均不會出現(xiàn)能量聚集。因此,FRFT在某個(gè)分?jǐn)?shù)階Fourier域中對給定的LFM信號具有最好的能量聚集[5]。

圖1 LFM信號的時(shí)頻分布及其在FRF域上的投影Fig.1 LFM signal in the Time-Frequency distribution and projection of FRF domain

由式(1)FRFT的定義,可知陣元信號sq(t)的p階FRFT為:

式中,T為觀測時(shí)間,在(α,u)平面上,運(yùn)用分級計(jì)算迭代搜索方法對sp1q(u)進(jìn)行峰值點(diǎn)的二維搜索,以提高FRF T的搜索效率,即確定分?jǐn)?shù)階的搜索范圍(a,b),確定初始步長Vp1=0.1,估計(jì)出分?jǐn)?shù)階的初始值為p1,再進(jìn)行二次搜索范圍(p1-0.1,p1+0.1),確定初始步長Vp2=0.01,估計(jì)出分?jǐn)?shù)階的初始值為p2,再進(jìn)行三次搜索范圍(p2-0.01,p2+0.01),確定初始步長Vp3=0.001,直至達(dá)到所要求的精度。得到峰值點(diǎn)的位置αq和u1m,則可得信號的調(diào)頻斜率和初始頻率估計(jì)[5]

也就是說,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度α=-arccot Kq時(shí),sp1q(u)有最佳的能量聚集,LFM信號有最大的峰值為:

式中 ,aiq=exp(-2jπτiqu1msin αq),q=1,2,…,Q 。

由分?jǐn)?shù)階Fourier域?qū)?yīng)的寬帶LFM信號的方向向量 Ap,可得到天線陣列的觀測信號在分?jǐn)?shù)階Fourier域矢量表達(dá)式

式中,

1.2 寬帶LFM信號的陣列模型

陣列模型為M個(gè)陣元的均勻線陣(ULA),陣元間距為d,如圖2所示。

圖2 均勻線陣結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 The ULA and array model

假設(shè)有Q個(gè)寬帶LFM信號,入射角分別為θ1,θ2,…,θQ,Q ＜M。如果把第一陣元作為參考陣元,則第i個(gè)陣元上的觀測信號可以表示為:

式中 ,

1.3 虛擬陣列的定義[7]

虛擬陣列變換法的基本原理是每次將陣列等間距地向右平移一個(gè)等距d,依次形成第2,3,…,M′個(gè)陣列,如圖3所示。

圖3 虛擬陣列變換法原理圖Fig.3 Virtual array transformation action principle

2 FRFT結(jié)合虛擬變換法的寬帶相干LFM信號的DOA估計(jì)算法

空間平滑術(shù)是以損失陣列的孔徑為代價(jià)的,為估計(jì)Q個(gè)相干信號,陣列的最小陣元數(shù)必須大于2Q個(gè),很明顯陣列的孔徑損失了一半。

現(xiàn)在我們把整個(gè)陣列等間距地向右平移一個(gè)d,則平移L-1次后,得第L(1≤L≤M′)個(gè)陣列協(xié)方差矩陣為:

式中,H表示轉(zhuǎn)置,σ2I為噪聲FRF域的協(xié)方差矩陣,G(L)表示Q×Q的對角矩陣的L次方,且

整個(gè)線陣的協(xié)方差矩陣定義為各子陣協(xié)方差矩陣Rp1,Rp2,…,RpM′的平均,也就是

式中,β=[β1β2…βQ]為一個(gè)行向量,所以有

這里 D=[β,Gβ ,…,G(L-1)β]。

由式(12)中的延時(shí)特性,很明顯,只要各個(gè)信號不是來自同一個(gè)方向,矩陣D便為滿秩,因而矩陣和矩陣都為滿秩,即

基于以上分析,可以總結(jié)分?jǐn)?shù)階Fourier變換和虛擬陣列變換相結(jié)合的寬帶相干 LFM信號的DOA估計(jì)算法步驟如下:

1)對參考陣元上的接收相干信號進(jìn)行分?jǐn)?shù)階傅里葉變換;

2)確定FRFT域峰值點(diǎn)的位置和對應(yīng)的方向向量;

3)用虛擬陣列變換算法解相干;

4)運(yùn)用常規(guī)的MUSIC算法或ESPRIT算法進(jìn)行DOA估計(jì)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

由于MUSIC算法進(jìn)行DOA估計(jì)時(shí)要進(jìn)行空間譜峰搜索,相對計(jì)算量太大,而ESPRIT算法估計(jì)信號的DOA,將信號參數(shù)的搜索過程轉(zhuǎn)變?yōu)榱擞?jì)算過程,降低了運(yùn)算量的同時(shí)減小了算法對硬件的要求。于是在下節(jié)仿真實(shí)驗(yàn)二中,我們采用ESPRIT算法代替MUSIC算法進(jìn)行仿真,以提高運(yùn)算速度。

1)仿真實(shí)驗(yàn)一

假設(shè)兩個(gè)有相同時(shí)頻分布的寬帶相干LFM信號 ,信號 1:s1(t)=A1exp(jπ0.1t+jπ0.001t2),入射角 θ1=30°;信號 2:s2(t)=A2exp(jπ0.1t+jπ 0.001t2),入射角θ2=70°。信號的幅度為 A1=2A2=1,快拍數(shù)N=200,SNR=2 dB,天線為均勻直線陣,且陣元數(shù) M=9。分?jǐn)?shù)階Fourier域的表示如圖4所示,從圖中可以看出,兩信號出現(xiàn)峰值時(shí)有相同的分?jǐn)?shù)階p,兩信號不能進(jìn)行分離。此時(shí)在分?jǐn)?shù)階Fourier域進(jìn)行前后向平滑技術(shù)處理,若取子陣元數(shù)為M0=6,則前后向平滑的次數(shù)為L=4。再用MUSIC算法對信號進(jìn)行DOA估計(jì),空間譜如圖5所示。若采用分?jǐn)?shù)階Fourier變換和虛擬陣列的寬帶相干LFM信號的DOA估計(jì)算法進(jìn)行DOA估計(jì),結(jié)果如圖5中的實(shí)線所示。

圖4 分?jǐn)?shù)階Fourier域的相干寬帶 LFM信號Fig.4 Wideband coherent LFM signals in FRF domain

圖5 基于FRFT的三種算法對相干信號源的估計(jì)Fig.5 The estimation of coherent signals source with three algorithms based on FRFT

從圖5中可以看出,空間平滑技術(shù)的性能要優(yōu)于未來經(jīng)過處理的FRFT的寬帶相干LFM的MUSIC算法,而用虛擬陣列空間變換法的分?jǐn)?shù)階Fourier域的寬帶相干LFM信號的DOA估計(jì)算法比空間平滑技術(shù)要好。為了更進(jìn)一步地說明問題,同時(shí)提高計(jì)算速度,我們進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)二。

2)仿真實(shí)驗(yàn)二

設(shè)和仿真實(shí)驗(yàn)一具有相同參數(shù)的信號,輸入SNR范圍為-4～10 dB,間隔2 dB,分別運(yùn)行400次Monte Carlo實(shí)驗(yàn),圖6、圖7分別為信號1和信號2的方向估計(jì)角均方誤差隨信噪比變化的特性圖。

圖6 信號源1(30°)均方誤差隨信噪比變化圖Fig.6 MSE of signal 1(30°)

圖7 信號源2(70°)均方誤差隨信噪比變化圖Fig.7 MSE of signal 2(70°)

從圖6和圖7可以明顯看出:虛擬空間陣列變換的FRFT的EPRSIT算法和空間平滑技術(shù)的FRF T的EPRSIT算法都可以估計(jì)寬帶相干LFM信號DOA,但前者的性能特性明顯優(yōu)于后者,并且隨著信噪比的降低,前者比后者的優(yōu)勢更加明顯。

4 結(jié)論

本文提出了一種基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換和虛擬陣列變換法相結(jié)合的寬帶相干 LFM信號的DOA估計(jì)算法。該方法首先將天線陣的觀測信號變換到分?jǐn)?shù)階Fourier域(FRF域),然后用虛擬陣列變換法對相干信號進(jìn)行解相干,再用ESPRIT算法進(jìn)行波達(dá)方向估計(jì)。理論分析和仿真結(jié)果表明:與空間平滑技術(shù)的FRFT的EPRSIT算法相比,在低SNR下,性能特性明顯要好,并且用分級計(jì)算迭代法大大減少了計(jì)算量。同時(shí),不損失陣列的孔徑,使 N個(gè)陣元可估計(jì)相干信號源數(shù)目達(dá)N-1個(gè),提高了陣元數(shù)的利用率。

[1]Belouchrani A,Amin M G.Time-frequency music[J].IEEE Signal Processing Letters,1999,6(5):109-110.

[2]Amin M G.Spatial time-frequency distributions for direction finding and blind source separation[J].In Proc SPIE,1999,37(23):62-70.

[3]張艷紅,齊林,穆曉敏,等.基于分?jǐn)?shù)階Fourier變換的WLFM信號DOA估計(jì)[J].信號處理,2005,21(4):57-60.ZHANG Yanhong,QI Lin,M U Xiaomin,et al.DOA estimation of WLFM signal based on fractional Fourier transforms[J].Signal Processing,2005,21(4):57-60.

[4]QU Haitao,QI Lin,MU Xiaomin,et a1.Estimation of coherent wideband LFM signals based on fractional Fourier domain[C]//Proceedings of the First International Conference on Control(1CICIC'06).Beijing,China:[s.n.],2006,3:18-21.

[5]陶然,齊林,王越.分?jǐn)?shù)階 Fourier變換的原理與應(yīng)用[M].北京:清華大學(xué)出版,2004.

[6]ZHANG Yanhong,QI Lin,M U Xiaomin,et a1.2-D DOA estimation of wideband LFM signal in fractional Fourier domain[C]//Proceedings of the First International Conference on Innovative Computing,Information and Control(1CICIC'06).Beijing,China:[s.n.],2006,3:6-9.

[7]丁衛(wèi)安,馬遠(yuǎn)良.虛擬陣列變換法解相干信號M USIC算法研究[J].微波學(xué)報(bào),2008,24(2):27-30.DING Weian,M A Yuanliang.Using M USIC algorithm to estimate the DOA of coherent source via virtual array transformation[J].Journal of Microwaves,2008,24(2):27-30.