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    B2型的基及其基變換

    2010-11-27 02:32:04郝曉斌原新鳳
    關(guān)鍵詞:子代數(shù)典范代數(shù)

    郝曉斌,原新鳳

    (河南工程學(xué)院 數(shù)理科學(xué)系,河南 鄭州 451191)

    量子群作為經(jīng)典李群、李代數(shù)的基本對稱概念的推廣,有著豐富的代數(shù)、幾何及物理性質(zhì).近二十年來,量子群理論引起了許多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)物理學(xué)家的注意,目前這一理論已取得了很大的發(fā)展.例如,Lambe 和Radford 等系統(tǒng)地研究了量子群和一般Hopf代數(shù)與量子Yang-Baxter方程的解的關(guān)系[1];Luszting、Rosso和Anderson等研究了任意有限維半單李代數(shù)g的量子包絡(luò)代數(shù)Uq(g)的表示[2-6].文獻[7]給出了A′上B2型量子代數(shù)的兩組典范基.本文進一步分析這兩組基的結(jié)構(gòu),給出了它們之間基變換.

    令(aij)n×n是Cartan矩陣,aij=2,aij≤0(i≠j),(d1,…,dn)∈Z×…×Z,滿足di∈{1,2},且使(diaij)是正定對稱矩陣.

    令v是未定元,A=Z[v,v-1],A′=Q(v) 是A的分式域.對于給定的整數(shù)M,N,m,n,d≥0,定義:

    以上兩組基都有無限個元素.本文的結(jié)論是在一組基中任取一元素,都可以在這組基中找到一個包含該元素的有限集合,對應(yīng)地在另一組基中找到另一個有限集合,這兩個有限集元素個數(shù)相等,兩者元素可互相表出.

    1 B2型量子代UA′數(shù)的子代數(shù)的典范基

    定理2.1 令H=(a,b,c,d)∈N4.則元素θ(a,b,c,d)∈B可由下式子給出:

    θ(a,b,c,d)=

    式中ξ0(a,b,c,d,r,s,t,u)∈A′.

    證明利用文獻[7]的2.2中(1′)~(6′)式易證.

    引理2.2 令a,b,c,d∈N,則:

    式中η(a,b,c,d,r,s,t,u)∈A′.

    證明根據(jù)上面的交換公式以及Lusztig的公式有:

    η3(r,s,t,u,o,p,q,m),η1(r,s,t,u,o,p,q,m,i,j,k),η5(r,s,t,u,o,p,q,m,i,j,k)∈A′.

    定理2.2 令H=(a,b,c,d)∈N4. 則元素θ(a,b,c,d)∈B可由以下式子給出:

    θ(a,b,c,d)=

    式中η0(a,b,c,d,r,s,t,u)∈A′.

    證明由引理2.2 可得:

    再根據(jù)文獻[7],其中的6個表達式可以統(tǒng)一為:

    θ(a,b,c,d)=

    式中η6(a,b,c,d,r,s,t,u)∈A′. 定理得證.

    2 B2型量子代數(shù)UA′的子代數(shù)的基變換

    N+∪{0}}},

    證明首先M=?,事實上,對于任意一組非負整數(shù)t1,t2,則(t1,0,0,t2)∈M. 易知M是有限集合. 設(shè)(a,b,c,d)∈M,根據(jù)定理 2.1和定理 2.2得:

    θ(a,b,c,d)=

    (1)

    (2)

    所以(a+r,s,t,d+u)∈M, 因此

    設(shè)M中元素個數(shù)為n, 則I和I′中元素個數(shù)也分別為n, 對M中每一組解,都可得到一個等式,所以有:

    由 ξ0(a,b,c,d,r,s,t,u)∈A′,

    η0(a,b,c,d,r,s,t,u)∈A′,可知A,B的元素屬于A′. 因為典范基中的元素θ(a,b,c,d)和I, I′中的元素分別是A′線性無關(guān)的,所以A,B為n階可逆矩陣,命題得證.

    參考文獻:

    [1] LAMBE L A, RADFORD D E. Algebraic aspects of the quantum Yang-Baxter equation[J]. J.Algebra, 1993(154):228-288.

    [2] ANDERSEN H H, POLP P, WEN K X. Representations of quantum algebras[J].Invent Math,1991(104):1-59.

    [3] LUSTING G.Finite dimensional hopf algebras from quantized universal enveloping algebras[J].Amer. Math Soc,1990(3):257-296.

    [4] LUSTING G.Canonical bases arising from quantized enveloping algebras[J].Amer. Math Soc,1990(3):447-498.

    [5] LUSTING G.Modular representations and quantum groups [J]. Contemp. Math,1989(82):59-77.

    [6] LUSTING G.Quantum groups at roots 1[J].Geom. Dedicata,1990(35):89-113.

    [7] XI Nanhua.Canonical basis for type B2[J]. Journal of Algebra,1999(214):8-21.

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