一種新的內(nèi)插法及其在工程中的應用研究

顏 鑫

湖南化工職業(yè)技術學院 株洲 412004

內(nèi)插法是用一組已知的未知函數(shù)的自變量的值和與它對應的函數(shù)值來求一種求未知函數(shù)其它值的近似計算方法，是一種未知函數(shù)的數(shù)值逼近求法。在化學工程計算中，經(jīng)常需要采用內(nèi)插法來獲取一些物質(zhì)的熱力學性質(zhì)數(shù)據(jù)，傳統(tǒng)的內(nèi)插法要通過多次求解二元一次方程組來實現(xiàn)，其計算過程相當繁瑣。工程技術人員通常采用計算器進行人工計算，其工作量很大。水蒸汽表是工程計算中最常用的熱力學性質(zhì)表，其數(shù)據(jù)都是四位有效數(shù)字，內(nèi)插過程常令初學者望而生畏。筆者在多年的教學和工程實踐中探索出一種新的內(nèi)插法，不僅計算工作量大為減少，而且簡單易學。

1 計算過程分解示意圖

以查取1.6 MPa、320℃水蒸汽的焓和熵為例介紹新內(nèi)插法的應用。

從已知條件可判斷該水蒸汽為過熱蒸汽，需要從《過熱蒸汽與未飽和水》表中查出1.6 MPa、320℃蒸汽的上下和左右相鄰焓值和熵值，新的內(nèi)插法計算過程分解示意見圖1。

新的內(nèi)插法分為分步內(nèi)插法和綜合內(nèi)插法兩種。

2 分步內(nèi)插法

新的分步內(nèi)插法計算過程的分解步驟如圖1，其最大特點是無需解二元一次方程組，內(nèi)插的焓或熵只需通過兩端已知的焓或熵值分別乘以兩個系數(shù)后相加。

圖1 分步內(nèi)插的過程示意圖之一

2.1 300℃時的壓力內(nèi)插

即求取 1.6MPa、300℃時的焓H′和熵S′。

同理，

S′=S1×0.4+S2×0.6

=7.116×0.4+6.757×0.6

=6.9006 kJ/(kmol·K)

2.2 400℃時的壓力內(nèi)插

即求取 1.6MPa、400℃時的焓H″和熵S″。

同理，

H″=H3×0.4+H4×0.6

=3263×0.4+3240×0.6

=3249.2 kJ/kmol

同理，

S″=S3×0.4+S4×0.6

=7.461×0.4+7.122×0.6

=7.2576 kJ/(kmol·K)

不同溫度的壓力內(nèi)插系數(shù)的計算和交叉相乘的方法與原則是完全相同的，其系數(shù)值都完全一樣。

2.3 1.6MPa時的溫度內(nèi)插

即求取1.6MPa 、320℃時的焓H和熵S。

=3074.32 kJ/kmol

同理，

S=S′×0.8+S″×0.2

=6.9006×0.8+7.2576×0.2

=6.972 kJ/(kmol·K)

2.4 新內(nèi)插法的系數(shù)求取說明

新內(nèi)插法的關鍵在于兩個系數(shù)的求取。在第一步中，系數(shù)0.4和0.6相當于兩個百分數(shù)40%和60%，二者相加等于1(或100%)，即算出一個系數(shù)后，另一個可很快得知。通常情況下，這兩個系數(shù)都可用心算得出，無需復雜的計算過程。第二步內(nèi)插仍然只是壓力的內(nèi)插，其系數(shù)計算過程與第一步完全相同。第三步內(nèi)插是溫度的內(nèi)插，系數(shù)0.8和0.2相當于兩個百分數(shù)80%和20%，二者相加等于1(或100%)，即算出一個系數(shù)后，另一個可很快得知。

如果將上述查取的水蒸汽性質(zhì)數(shù)據(jù)稍加調(diào)整，其分步內(nèi)插過程示意見圖2。

圖2 分步內(nèi)插的過程示意圖之二

則與前一種計算形式相比，圖2先進行溫度內(nèi)插，后進行壓力內(nèi)插。不過，無論是分步內(nèi)插、還是綜合內(nèi)插法；無論是先內(nèi)插溫度、還是先內(nèi)插壓力，其內(nèi)插結果是完全相同的，可以說是殊途同歸。

3 新的綜合內(nèi)插法

在上述新的分步內(nèi)插法基礎之上，可推導演繹出新的綜合內(nèi)插法。

=(H1×0.4+H2×0.6)×0.8+(H3×0.4+H4×0.6)×0.2=3074.32 kJ/kmol

=(S1×0.4+S2×0.6)×0.8+(S3×0.4+S4×0.6)×0.2=6.972 kJ/(kmol·K)

4 結語

(1)新的分步內(nèi)插法完全無需求解二元一次方程組，其計算過程為簡單乘法和加法，采用普通計算器即可方便地求出，計算工作量比傳統(tǒng)方法少得多，而且簡單易學。

(2)新的綜合內(nèi)插法在新的分步內(nèi)插法基礎之上，只要熟練求取四個系數(shù)后，整個計算過程更加簡單，而系數(shù)的求取過程通常情況下只需心算即可。因此，與傳統(tǒng)內(nèi)插法相比，其計算工作量更少，其優(yōu)勢是顯而易見的?？梢哉f，新的內(nèi)插法為復雜的工程計算打開了方便之門。