算法多樣化的實質(zhì)與教學(xué)意義

●崔展 王文

算法多樣化的實質(zhì)與教學(xué)意義

●崔展 王文

1 引言

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗稿)》明確提出：“提倡和鼓勵算法多樣化”[1]。近年來，算法多樣化已成為廣大教育者所關(guān)注的話題，諸多論者都認(rèn)識到這一教學(xué)方式能夠促進學(xué)生主動探索、積極思考。那么，它為什么會帶來如此效果?

本文試圖進一步探尋算法多樣化的實質(zhì)及教學(xué)意義，以此做到知其然并知其所以然，而對實際課堂教學(xué)有所裨益。

2 算法多樣化的實質(zhì)

2．1 算法及其由來

在數(shù)學(xué)活動中，有些方法經(jīng)常被用到，以致于習(xí)慣化了，程式化了，譬如：

在這一計算過程中，第二個加數(shù)“7”被拆分成“2+5”以便于“8”和“2”湊成“十”。 這樣一來，計算變得便利而合理。久之，這一方法(即“湊十法”)被固定下來，成為程式化的操作方法，這即是算法。

在上例中，先有主體參與其間的數(shù)學(xué)活動，然后在數(shù)學(xué)活動中產(chǎn)生算法。簡言之，先有“數(shù)學(xué)活動”后有“算法”。人類發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的歷史也正是如此。

2．2 算法傳遞及其弊端

在實際數(shù)學(xué)教學(xué)中，情形卻并非如此。

當(dāng)我們要講授某一算法時，它早已為人們所發(fā)現(xiàn)。即算法是現(xiàn)成的，我們可以不必探索，而直接傳遞給學(xué)生。之所以這樣做，原因有二：其一，現(xiàn)成算法預(yù)先存在，它使算法作為結(jié)果的直接傳遞成為可能；其二，較之讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)活動主動發(fā)現(xiàn)算法，直接傳遞的方式似乎更省時、更便捷。

但弊端也由此而產(chǎn)生，算法的直接傳遞，使得學(xué)生處于被動接受狀態(tài)，久而久之，他們會形成不恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)觀念：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是接受課本上的一套算法，然后用這些算法解答習(xí)題。

2．3 “算法多樣化”是對“算法傳遞”弊端的矯治

算法多樣化，是指學(xué)生由于知識背景，思考角度不同而在同一題目中表現(xiàn)出多種解題方法的現(xiàn)象。譬如：在35-7的退位減法中，學(xué)生通過探索可以列出如下算法：

(1)35-1-l-1-l-1-l-l=28

(2)25+(10-7)=28

(3)(35-5)-2=28

(4)20+(15-7)=28

(5)(35-10)+3=28

(6)(35-15)+8=28

…

針對算法傳遞的弊端，中外數(shù)學(xué)教育家都強調(diào)，真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是一個“傳遞”的過程，而是一個重新發(fā)現(xiàn)的過程。唯有發(fā)現(xiàn)，才能達到真正的理解，“理解算法的最好途徑就是發(fā)現(xiàn)它，沒有什么比依靠自己的發(fā)現(xiàn)更令人信服”。

在數(shù)學(xué)活動中去發(fā)現(xiàn)算法，在發(fā)現(xiàn)中去掌握算法。算法不再作為唯一的、固定的模式來傳遞，這正是算法多樣化的要義。要言之，算法多樣化的實質(zhì)就是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。

3 算法多樣化的教學(xué)意義

3．1 提供發(fā)現(xiàn)算法的機會

為明晰起見，我們以退位減法的學(xué)習(xí)為例進行分析：

35

-7

28

其步驟可表述為

35-7=20+(15-7) (個位不夠減，向十位借“1”當(dāng)“10”）

用教具進行演示，則可圖示為：

國內(nèi)遼河油田對采出液的熱能回收利用方式為加熱蒸汽發(fā)生器給水，由于換熱溫差的限制，僅通過換熱器回收該部分熱能并不能充分回收。因此，參考圖1中余熱回收流程，在國內(nèi)氣溫較高不需要采用防凍系統(tǒng)的前提下，需要考慮采用其他技術(shù)手段利用這部分采出液余熱。

如上，通常教學(xué)就是教師通過例題講清算法的主要步驟與道理(如上例退位減的道理：個位不夠減，向十位借“1”當(dāng)“10”)，然后由學(xué)生仿照例題進行練習(xí)。

這種教法的實質(zhì)就是試圖直接傳遞算法：算法是唯一的、權(quán)威的、無庸置疑的；教師通過例題(配以教具演示)講清算法與算理；學(xué)生接受算法，仿照例題做習(xí)題。

這里，不能說學(xué)生只有表面模仿。學(xué)生也達到了較深層次的理解：通過教具演示，學(xué)生懂得了算理(“為什么要借 1”，“為什么借 1 可以當(dāng) 10”)。 問題在于，這里的算法被當(dāng)作“絕對知識”進行傳遞。學(xué)生盡管理解了，但只是被動的理解與接受，整個教學(xué)過程沒有為學(xué)生提供任何主動探索的機會。

如果采用算法多樣化的教法，情形則剛好與此相反。

“我們現(xiàn)在要從35里減去7。這里有35根小棒，要從里面拿出7根，然后數(shù)數(shù)剩下有多少根。我們試試看，有幾種拿法?”

實際課堂教學(xué)表明，學(xué)生可以找到如下幾種算法(即拿法)

算法(拿法)一：

算法(拿法)二：

可以看出，讓學(xué)生在對小棒的拆拆分分中親歷算法的產(chǎn)生過程，從而達到對知識的理解和掌握。正如皮亞杰所說[2]，知識是兒童在與外界的相互作用中，從內(nèi)心自發(fā)生長起來的。算法多樣化的教學(xué)恰恰提供了這樣的機會，讓不同經(jīng)驗背景和知識基礎(chǔ)的學(xué)生，從不同角度思考同一問題，從而根據(jù)自己的理解找到不同的算法。

3．2 促進學(xué)生體會數(shù)學(xué)的必然性

數(shù)學(xué)是系統(tǒng)化了的常識，而且具有可靠性和必然性，如：3+2=2+3=5，常識要成為數(shù)學(xué)，必須經(jīng)過提煉和組織，而凝聚成一定的法則(算法)。比如解答如下問題：一箱蘋果24個，18箱蘋果有多少個?

通常列出算式：24×18，即表示18個24相加求和；如果有情景支撐(比如小棒操作)，學(xué)生就會出現(xiàn)不同策略，如：

(1)20×18+4×18

(2)24×10+24×8

(3)24×20-24×2

策略的多樣化表明了學(xué)生思維的豐富性和創(chuàng)造性。24可以分成20和4兩部分；同樣，18可以分成10和8兩部分；思考的出發(fā)點和角度不同，亦即算法不同，而結(jié)果一致?！笆饴吠瑲w”，這不恰恰有助于學(xué)生更深層次的理解數(shù)學(xué)知識的確定性和必然性嗎?而我們固定的豎式乘法也正是對策略(1)的提煉和總結(jié)。

3．3 轉(zhuǎn)變和完善“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀”與“數(shù)學(xué)教學(xué)觀”

算法單一化的學(xué)習(xí)往往使學(xué)生認(rèn)為知識是 “絕對”的、“外在”的，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不過是在老師條理清晰、層次分明的講解或形象生動的演示下，理解算理，熟記算法；然后根據(jù)算法，模仿例題，再進行類似的練習(xí)以達到自動化。然而，有研究表明，長久采用這種教學(xué)方式，學(xué)生會只知算法。如果就算法背后的道理向?qū)W生提問，多數(shù)學(xué)生不能正確回答；而且越是簡單的算法越容易被學(xué)生當(dāng)作一套外在的規(guī)則來接受。換言之，算法單一化的教學(xué)，無法使學(xué)生主動探索和發(fā)現(xiàn)，不能從內(nèi)心真正理解算理。

3．4 激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)創(chuàng)新精神

算法多樣化使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人，在以上兩例中，如果算法過早的統(tǒng)一和“程序化”則會完全剝奪學(xué)生親自參與知識建構(gòu)的機會，從而禁錮學(xué)生原本豐富多彩的嘗試和思考，這怎么可能引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣呢？教師們往往抱怨課堂時間緊，因此習(xí)慣把現(xiàn)成的算法直接呈現(xiàn)給學(xué)生。過早的使用形式化的語言講解知識只能提供給學(xué)生一種復(fù)制的模版，學(xué)生沒有了自己的思考，又怎么會有創(chuàng)新呢？算法多樣化的教學(xué)過程恰恰促進了學(xué)生創(chuàng)新思維，因為對知識的理解和掌握必然伴有主體的重新建構(gòu)。

[1]中華人民共和國教育部，全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[s].北京：北京師范大學(xué)出版社， 2001．53，6.

[2]皮亞杰.發(fā)生認(rèn)識論[M]．王憲鈿等譯，北京：商務(wù)印書館，1996．16～2l.

崔 展/上海師范大學(xué)教育學(xué)院碩士研究生 王 文/山東省淄博市第十八中學(xué)

(責(zé)任編輯:劉 明)