一種基于二元粗糙關(guān)系的柵格數(shù)據(jù)局部運算方法

廖偉華

(廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，中國 南寧 530004)

柵格數(shù)據(jù)是用規(guī)則格網(wǎng)來覆蓋整個空間的一種數(shù)據(jù)模型，每個格網(wǎng)中的各個像元與其位置上的空間現(xiàn)象特征相對應(yīng)，像元值的變化反映了現(xiàn)象的空間變異．目前對于柵格數(shù)據(jù)分析國內(nèi)一般集中在一些應(yīng)用分析[1-2]．柵格數(shù)據(jù)分析是基于柵格像元值和柵格的，因此柵格數(shù)據(jù)分析能在獨立像元、像元組或整個柵格全部像元的不同層次上進行，一些柵格數(shù)據(jù)運算使用單一柵格，而另一些則使用兩個或更多柵格數(shù)據(jù)．柵格數(shù)據(jù)運算一般包含局部運算、領(lǐng)域運算、分區(qū)運算和距離量測．局部運算是一個像元接一個像元運算，建立柵格數(shù)據(jù)分析的核心．局部運算可由一個或多個柵格數(shù)據(jù)層進行運算，從而得出一個運算結(jié)果的輸出圖層．

由兩元素x和y(允許x=y)按一定順序排列成的二元組叫做一個有序?qū)蛐蚺?，記作〈x,y〉，其中x是它的第一元素，y是它的第二元素．如果一個集合滿足以下兩個條件之一：(1)集合非空，且它的元素都是有序?qū)Γ?2)集合是空集，則稱該集合為一個二元關(guān)系，記作R[3]．兩個柵格數(shù)據(jù)層的每個像元的取值(如坡度，坡向)都構(gòu)成一個二元關(guān)系，本研究將利用二元關(guān)系和粗糙集的性質(zhì)來討論兩個柵格數(shù)據(jù)輸入層的局部運算．

1 局部運算與鄰域算子

GIS柵格數(shù)據(jù)分析的局部運算一般是由多個柵格輸入數(shù)據(jù)通過算術(shù)運算(加、減、乘、函數(shù)等)對于數(shù)值型數(shù)據(jù)進行運算，從而生成一個新的圖層，這些局部運算都是涉及統(tǒng)計量的局部運算．還有一種稱為Combine的局部運算，是一種不涉及統(tǒng)計量的局部計算．假設(shè)有如圖1的A，B兩個輸入柵格數(shù)據(jù)層，A圖代表坡度共有3個像元值(A1：0～20%，A2：20%～40%，A3：>40%),B圖代表坡向也有3個像元值(B1：北，B2：東，B3：西)．經(jīng)過Combine運算的結(jié)果見C圖，其中1代表坡度屬于20%～40%，坡向朝東的一個像元，各個像元組合代碼及其含義見圖D．

A2A3A1A3A2A1A1A2A3B1B2B3B1B2B2B3B2B1123456354ABC組合代碼123456A,B(A2,B1)(A3,B2)(A1,B3)(A3,B1)(A2,B2)(A1,B2)D

圖1Combine局部運算示意圖

定義2設(shè)R是U上的二元關(guān)系，對于x,y∈U,若xRy,即〈x,y〉∈R，則稱x是y的前繼，y是x的后繼.

Rs(x)={y∈U|xRy}，

Rp(x)={y∈U|yRx}

(1)

分別稱為x的后繼領(lǐng)域，前繼領(lǐng)域．

如圖1中的A1的后繼鄰域有(A1,B3), (A1,B2),B1的前繼鄰域有(A2,B1)，(A3,B1)．可以看出，對于一個像元的后繼、前繼鄰域，是那些與這個像元值有組合代碼局部運算代碼組合．只是后繼領(lǐng)域是針對第一個柵格圖層的像元值，前繼鄰域是針對第二個柵格圖層的像元值而已．

定義3對于一個給定的有限非空集合A和B,則U=A×B也是確定的．每一元素和該元素的鄰域形成的序偶集合關(guān)系對U構(gòu)成一種劃分，即鄰域關(guān)系．前繼鄰域和后繼鄰域?qū)的劃分分別稱為前繼鄰域關(guān)系、后繼鄰域關(guān)系[5]．

這樣在圖1中兩個輸入圖層A，B，A={A1,A2,A3},B={B1,B2,B3},A中所有元素的鄰域關(guān)系對U進行了后繼鄰域關(guān)系的劃分為:

Us=Us1∪Us2∪Us3,Us1∩Us2∩Us3=?,其中Us1={(A1,B3), (A1,B2)},Us2={(A2,B1), (A2,B2)},Us3={(A3,B2), (A3,B1)}．

同樣得到B中所有元素的鄰域關(guān)系對U進行前繼鄰域關(guān)系的劃分:

Up=Up1∪Up2∪Up3,Up1∩Up2∩Up3=?,其中Up1={(A2,B1), (A3,B1)},Up2={(A3,B2), (A2,B2), (A1,B2)},Up3={(A1,B3)}．

一個圖層的后繼鄰域關(guān)系是該圖層中每個像元值的鄰域形成一個序偶集合，前繼關(guān)系的含義也相同．這樣，對于局部運算的結(jié)果，可利用后繼鄰域關(guān)系和前繼鄰域關(guān)系來表示，如圖2．其中C是利用后繼領(lǐng)域關(guān)系表示的輸出圖層，D是利用前繼鄰域關(guān)系表示的輸出圖層，像元代碼組合見圖E，各種代碼組合取值見上述鄰域關(guān)系分析．如果采用后繼鄰域表示，則圖1中的局部運算代碼組合可以表示成E中的3種組合，其中Us1表示坡度在20%～40%之間，坡向為北或東的柵格單元組合，其它類似．采用后繼鄰域關(guān)系表示，就是將第一個圖層的每個像元值的后繼鄰域進行分類的一種組合結(jié)果，采用前繼鄰域關(guān)系表示，就是將第二個圖層的每個像元值的前繼鄰域進行分類的一種組合結(jié)果．

A2A3A1A3A2A1A1A2A3B1B2B3B1B2B2B3B2B1233321123123122321ABCD組合代碼123組合代碼123后繼鄰域Us1Us2Us3前繼鄰域Up1Up2Up3E

圖2基于鄰域關(guān)系的局部運算示意圖

2 二元粗糙集與局部運算

(2)

X關(guān)于近似空間D的正域pos(X)，負域neg(X)和邊界bn(X)分別定義為：

(3)

同樣如果利用前繼鄰域算子，二元粗糙集定義為如下公式[7]：

(4)

X關(guān)于近似空間A的正域posp(X)，負域negp(X)和邊界bnp(X)分別定義為：

(5)

3 實例分析

在圖3中，圖A代表某個地區(qū)的坡度分級(1,2,3)，圖B代表該地區(qū)坡向分級，其中1代表朝東(0～90)，2代表朝南(90～180)，以此類推．采用Combine局部運算則得到結(jié)果見圖C，共有12種組合．采用基于后域鄰域關(guān)系運算，則可以得到如圖D的結(jié)果.兩種運算方法所產(chǎn)生的屬性表具體見表1，可以看出，圖D是按坡度分類的一種重新組合．

圖3 Combine與鄰域運算結(jié)果實例圖

Combine鄰域運算類型數(shù)量坡度坡向類型數(shù)量坡度坡向1103 573132116 50123391 33114497 656240366 721112345137 806346162 61931773 02321887 453111370 14621234984 364121082 9662211189 0693312141 399322630 89331234

4 結(jié)論

不涉及統(tǒng)計量的局部運算是利用像元值之間的組合代碼來表示結(jié)果的．采用二元關(guān)系的前繼鄰域關(guān)系，后繼鄰域關(guān)系的局部運算合理地利用了兩個輸入柵格圖層的像元值，采用后繼鄰域關(guān)系是對于第一個輸入圖層各種像元值重新進行一種劃分，采用前繼鄰域關(guān)系是對于第二個輸入圖層各種像元值重新進行一種劃分．如果采用不同的鄰域關(guān)系，對于一個集合的上、下近似可以得到不同的子集結(jié)果．本研究僅僅是對于兩個輸入柵格數(shù)據(jù)圖層局部運算的的研究．而對于3個或多個輸入圖層的局部運算，由于這樣的運算像元值組合不再是一個二元關(guān)系，因此如何對于多柵格數(shù)據(jù)的局部運算能不能按照鄰域關(guān)系繼續(xù)深入，有待下一步工作繼續(xù)．

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