二次曲率引力場(chǎng)方程非球?qū)ΨQ解

曹學(xué)靜,許揚(yáng),陳貽漢

(湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院,湖北 武漢 430062)

現(xiàn)代宇宙觀測(cè)表明,宇宙中幾乎所有旋渦星系的旋轉(zhuǎn)曲線都趨于平坦[1],此觀測(cè)事實(shí)與旋渦星系已有的發(fā)光物質(zhì)的分布相矛盾；對(duì)引力透鏡效應(yīng)的觀測(cè)發(fā)現(xiàn),透鏡星系中總的發(fā)光物質(zhì)質(zhì)量遠(yuǎn)小于觀測(cè)所推算得到的質(zhì)量[2].鑒于牛頓引力理論對(duì)這些宇宙觀測(cè)事實(shí)無法解釋的困難,有人提出在Einstein廣義相對(duì)論引力作用量中加上時(shí)空曲率平方項(xiàng)來解釋旋渦星系旋轉(zhuǎn)曲線趨于平坦與引力透鏡質(zhì)量問題.文獻(xiàn)[3]從引力規(guī)范理論角度提出了一含有曲率平方項(xiàng)的拉格朗日函數(shù),給出了二次曲率引力場(chǎng)方程,文獻(xiàn)[4-5]在弱場(chǎng)線性近似條件下,求得二次曲率引力場(chǎng)方程的靜態(tài)球?qū)ΨQ解,其中包含了兩項(xiàng)Yukawa勢(shì),表明二次曲率引力場(chǎng)作用量中的曲率平方項(xiàng)在小范圍對(duì)引力相互作用給出弱的修正.本文中在弱場(chǎng)線性近似條件下,首先將二次曲率引力場(chǎng)方程分解為3個(gè)二階線性偏微分方程,通過這3個(gè)偏微分方程的解得到二次曲率引力場(chǎng)方程的一般引力推遲勢(shì)解；然后利用球諧函數(shù)將二次曲率靜態(tài)時(shí)空作多偶極矩展開,求得非球?qū)ΨQ靜態(tài)二次曲率引力場(chǎng),討論有質(zhì)標(biāo)量引力場(chǎng)和有質(zhì)張量引力場(chǎng)對(duì)廣義相對(duì)論的局域修正.

1 二次曲率引力場(chǎng)方程的推遲勢(shì)解

(1)

考慮弱場(chǎng),時(shí)空流形M的度規(guī)張量gμ v可寫成 gμ v=ημ v+hμ v

(2)

式中ημ v為平坦時(shí)空的Mikowski度規(guī),hμ v為小的擾動(dòng).按文獻(xiàn)[5],方程(1)的弱場(chǎng)線性近似解為

(3)

(4)

的解,ψμ v和φ分別是場(chǎng)方程

(5～6)

方程(4)～(6)的波動(dòng)解分別為

(7)

(8)

(9)

2 靜態(tài)時(shí)空的球多偶極矩展開

對(duì)于靜止松散的物質(zhì)系統(tǒng)(壓強(qiáng)p=0),方程(4)～(6)的解(7)～(9)式簡(jiǎn)化為

(10)

(11)

(12)

式中

(13)

這里ρ(x)為物質(zhì)系統(tǒng)的靜止質(zhì)量密度,uμ為四維速度.

(14)

(15)

式中Il(x)和Kl(x)分別為l階第一類和第二類虛宗量貝塞爾函數(shù),腳指標(biāo)i=0,1.

下面我們僅考慮物質(zhì)系統(tǒng)外部的引力場(chǎng).

將(13)和(14)式代入(10)式,我們有

(16)

其中

(17)

定義為Einstein引力場(chǎng)的多偶極矩.

同理,將(13)和(15)式代入(11)式,有質(zhì)標(biāo)量場(chǎng)可寫成

(18)

類似地,(13)和(15)式代入(12),可將有質(zhì)張量場(chǎng)寫成

(19)

其中

(20)

(21)

利用(16)、(18)和(19)式,將(21)式引力勢(shì)寫成球諧函數(shù)的展開形式

(22)

虛宗量貝塞爾函數(shù)Kl(x)為單調(diào)衰減函數(shù),x→∞時(shí),Kl(x)→0.因此,當(dāng)參數(shù)λ0和λ1趨于無窮,或r→∞,(22)式簡(jiǎn)化為

(23)

此為牛頓引力勢(shì)的多極矩展開表達(dá)式.

3 結(jié)論

參考文獻(xiàn):

[1] Faber S M, Gallagher J S.Masses and mass-to-light ratios of galaxies[J].Ann Rev Astron. Astrophys,1979,17:135-187.

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[4] 肖明,龍蕓,鄧永菊.曲率平方引力場(chǎng)方程的靜態(tài)軸對(duì)稱解[J].湖北大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008,30(3):257-259.

[5] Chen Yi han, Shao Chang gui. Precession of orbiting gyroscope in higher-order gravitational field caused by rotating body[J].Intern J of Theor Phys,2002,41(7):1377-1387.