Hyers-Ulam-Rassias的穩(wěn)定性

李兵麗,肖建斌

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)研究所,浙江杭州310018)

0 引 言

在文獻(xiàn)1中首先提出了有關(guān)群同態(tài)的穩(wěn)定性問(wèn)題,在文獻(xiàn)2中討論了Banach空間中Ulam提出的部分問(wèn)題。在1978年,Rassias把文獻(xiàn)2中的結(jié)果推廣到賦范空間中。文獻(xiàn)3中,考慮Banach空間中Jensen方程的Hyers-Ulam-Rassias穩(wěn)定性。文獻(xiàn)4中,把文獻(xiàn)3中的結(jié)果分q＜1和q＞1兩種情況進(jìn)行推廣。本世紀(jì)更多的學(xué)者研究的是二次,三次,混合型等可加賦范方程的Hyers-Ulam-Rassias穩(wěn)定性。本文主要研究p-Banach空間中,一類Jensen方程在q＜1時(shí)Hyers-Ulam-Rassias的穩(wěn)定性,并給出了穩(wěn)定性條件,然后是一些推論。

1 方程在q＜1時(shí)Hyers-Ulam-Rassias穩(wěn)定性

定義1 令X是實(shí)線性空間。擬范數(shù)是X上的一個(gè)實(shí)值函數(shù),滿足:

(1)對(duì)?x∈X,‖x‖≥0,且‖x‖ =0當(dāng)且僅當(dāng)x=0;(2)對(duì)?λ∈R,?x∈X,有‖λx‖ =|λ|‖x‖;(3)對(duì)?x,y∈X,存在常數(shù)K≥1,使得‖x‖+‖y‖≤K(‖x‖+‖y‖)。

若‖?‖是X上的擬范數(shù),稱(X,‖?‖)是擬賦范空間。擬Banach空間是完備的擬賦范空間。

若0＜p≤1,‖x+y‖p≤‖x‖p+‖y‖p,則擬范數(shù)‖?‖叫做p-范數(shù)。在這種情況下,擬 Banach空間也稱p-Banach空間[6]。

令Y表示Banach空間。記G為Abelian群。令E是G的子集,對(duì)?x∈E,使得對(duì)任意的正整數(shù)n,有nx∈E。假設(shè)x∈E{0}時(shí),2x≠0且3x≠0。對(duì)?x,y∈E{0},φ:(E{0}×(E{0})→[0,∞)是映射且滿足 :(x,y)=

先給出兩個(gè)已經(jīng)被證明的定理。

定理1 令 q＞0且q≠1。令δ≥0,給定θ≥0。V表示賦范空間。假設(shè)映射:f:V→Y,對(duì)?x,y∈V,滿足‖2f((x+y)/2)-f(x)-f(y)‖≤δ+θ(‖x‖p+‖y‖p)。在q＞1時(shí),令上面不等式中 f(0)=0,δ=0。則存在唯一可加映射F:V→Y,對(duì) ?x∈V,當(dāng) q＜1時(shí),滿足 ‖f(x)-F(x)‖ ≤δ‖f(0)‖+‖x‖q;當(dāng)q＞1時(shí),滿足‖f(x)-F(x)‖ ≤

定理2 令 f:E→Y是一個(gè)映射,對(duì)?x,y∈E{0},(x+y)/2∈E,f滿足:

則存在唯一的映射 T:E→Y,使得對(duì)?x,y∈E{0},x+y∈E,有 T(x+y)=T(x)+T(y);對(duì)x∈E{0},有:‖f(x)-T(x)‖ ≤3-1((-x,3x)+(x,-x))[4]。

在下文中,記X 是p-Banach空間,其范數(shù)表示為‖?‖x,其中0＜p≤1。對(duì)?x,y∈E{0},φ:(E{0}×E{0}→[0,∞)是映射且滿足(x,y)

定理3 令 f:E→X是一個(gè)映射,f(0)=0,對(duì)?x,y∈E{0},(x+y)/2∈E,f滿足:

則存在唯一的映射 T:E→X,使得對(duì)?x,y∈E{0},x+y∈E,有:

對(duì) x∈E{0},有:

證明 當(dāng)x∈E{0}時(shí),令y=-x,代入式2中,得:

同樣,在式2中用-x代替x,3x代替y,得:

結(jié)合式5和式6,得:

在X中,序列{3-nf(3nx)}是Cauchy序列。對(duì)?x∈X,對(duì)任意非負(fù)整數(shù)n,m,且n≥m,有)。根據(jù)的定義得到x))=0。因?yàn)閄是p-Banach空間,則序列{3-nf(3nx)}收斂于X中。所以對(duì)?x∈X,可以定義映射T:E→Y,且滿足:T(x)=

當(dāng) n→∞時(shí),對(duì)式8左右兩邊分別取極限,得‖f(x)-T(x)‖≤3-p((-x,3x)+(x,-x))。

根據(jù) T的定義,有3nT(x)=t(3nx),T(0)=0成立。對(duì)?x∈E{0},有:

對(duì)?x,y∈E,x+y∈E,根據(jù)T的定義和式9,得 T(x+y)=2-1(T(2x+T(2y))=T(x)+T(y)。

因此,映射T:E→X滿足式3。存在性得證。

令映射 T′:E→X,滿足式3和式4。得‖T(x)-T′(x)‖=‖3-nT(3nx)-3-nT′(3nx)‖≤2×3-(n+1)p((-3nx,3nx)+(3nx,-3nx))。所以?x∈E,T(x)=T′(x)。唯一性得證。

定理4 令V是向量空間,E是V的子集,且滿足下面條件:

(1)對(duì)?x∈E,|r|≥1有rx∈E;(2)若x是V中的非零元,則存在n∈N,使得 nx∈E;(3)0∈E。對(duì)?x,y∈E{0},(x+y)/2∈E,映射 f:E→X,其中 f(0)=0,滿足‖f(x)-T(x)‖≤φ(x,y)。那么存在唯一可加的映射 T:V→X,使得對(duì) ?x∈E{0},有‖f(x)-T(x)‖≤3-p((x,-x)+(-x,3x))。

證明 根據(jù)條件1,3,可得存在唯一映射 T′:E→X滿足定理3中的式3。對(duì)?x∈V,存在nx∈N,使得nxx∈E。可定義映射 T:V→X,當(dāng)x∈E時(shí),T(x)=T′(x);當(dāng)x?E時(shí),T(x)=T′(nxx)/nx。

對(duì)?x,y∈V,根據(jù)條件1,2,選定n∈N,使得nx,ny,n(x+y)∈E,則‖T(x+y)-T(x)-T(y)‖=‖T′(n(x+y))-T(nx)-T(ny)‖/n=0。證畢。

2 幾個(gè)推論

應(yīng)用定理4可以推出下面結(jié)論。

推論1 令V是賦范空間,固定0≤a≤3。令映射 Ψ:(a,∞)→R+,對(duì)?t,s＞a,有 Ψ(ts)≤Ψ(t)Ψ(s),且 Ψ(3)/3＜1 。對(duì)?x,y∈V,有‖x‖ ＞a,‖y‖＞a。令映射 f:V →X,對(duì)?x,y∈V,f滿足:

‖2f((x+y)/2)-f(x)-f(y)‖≤Ψ(‖x‖)+Ψ(‖y‖)。則存在唯一可加映射 T:V→X,對(duì)x∈V,有:‖f(x)-T(x)

推論2 令V是賦范空間,0＜q＜1,0≤a＜3。令映射 f:V→X,?x,y∈V,‖x‖＞a,‖y‖＞a,有‖2f((x+y)/2)-f(x)-f(y)‖≤‖x‖q+‖y‖q。則存在唯一可加映射 T:V→X,對(duì)x∈V,‖x‖＞a,有:‖f(x)-T(x)

證明 定義 Ψ:(a,∞)→R+,Ψ(t)=tq,應(yīng)用推論1就可以得出。

[1] Ulam SM.Problems in Modern Mathematics[M].New York:Dover Publications,1960:63-74.

[2] Hyers DH.On the stability of the linear functionalequation[J].Proc NatSci,1941,27(4):222-224.

[3] Jung SM.Hyers-Ulam-Rassias stability of Jensen's equation and its application[J].Proc Amer Math Soc,1998,126(11):3 137-3 143.

[4] Lee YH,Jun KW.A generalization of the Hyers-Ulam-Rassias stability of Jensen's equation[J].Math AnalAppl,1999,23(8):305-315.

[5] Park Choonkil.Hyers-Ulam-Rassias of homomorphisms in quasi-Banach algebra[J].Sciences Mathematics,2008,32(2):87-96.

[6] Benyamini Y,Lindenstrauss J.Geometric Nonlinear Functional Analysis[M].New York:AmerMath Soc,2000:445-448.