帶相依利率含副索賠風險模型中的幾個破產(chǎn)問題

易亞利

(1.玉林師范學院 數(shù)學與計算機科學系，廣西 玉林 537000；2.湖北大學 數(shù)學與計算機科學學院，湖北 武漢 430062)

0 引言

經(jīng)典的風險理論模型分為離散型和連續(xù)型，經(jīng)典離散型風險模型的總索賠過程服從的是復合二項分布，經(jīng)典連續(xù)型風險模型的總索賠過程服從復合泊松過程，Lundberg和Cramér在該模型下得到了眾所周知的Lundberg不等式和Cramér-Lundberg近似公式.在求取保費和破產(chǎn)概率的數(shù)據(jù)等具體的經(jīng)濟應用中我們常?？紤]的是離散模型，同時利率往往是一個不可忽略的經(jīng)濟因素，文獻[1]研究了常利率下的風險模型，并用鞅方法和遞推方法給出了終極破產(chǎn)概率的上界.文獻[2]等討論了利率是獨立同分布的風險模型中的系列破產(chǎn)問題.利率在現(xiàn)實生活中常常不是獨立同分布的，某時段的利率通常與它前面時刻的利率有著一定的關(guān)系，有相依利率的風險模型逐漸成為精算界研究的熱點.同時由于突發(fā)事件如地震、火災導致的財產(chǎn)索賠(主索賠)往往連帶著醫(yī)療等其他索賠(副索賠)，因此有必要研究含副索賠的風險模型.本文中考慮了利率{In,n≥1}滿足一階自回歸結(jié)構(gòu)且?guī)Ц彼髻r的風險模型，得到了其終極破產(chǎn)概率和破產(chǎn)前瞬時贏余分布的上界，為保險公司的實際經(jīng)營提供了相應的理論依據(jù).

假設(shè)在第n時間段有非負的利率In(n≥1),且{In,n≥1}滿足一階自回歸結(jié)構(gòu)

In=αIn-1+Mn， n=1,2,…

(1)

其中0≤α<1,I0=i0≥0為一常數(shù)，{Mn,n≥1}為相互獨立同分布的非負隨機變量序列.易知

In=αni0+αn-1M1+…+αMn-1+Mn, n=1,2,….

若保險公司在每個時段初就收到保費Xk，則到第n個時段末的總盈余

(2)

用ψ(u,i)表示初始盈余為u，初始利率為i0的終極破產(chǎn)概率，ψn(u,i0)表示初始盈余為u，初始利率為i0，破產(chǎn)時刻不超過n的概率，則

定義保險公司的破產(chǎn)時刻為T=inf{n:n>0,Un<0}，并約定infΦ=+∞；用T(u,i0)表示初始盈余為u，初始利率為i0的破產(chǎn)時刻.Fn(u,z,i0)表示初始盈余為u，初始利率為i0，破產(chǎn)時刻為n的條件下，破產(chǎn)前一刻盈余不超過z的概率；F(u,z,i0)表示初始盈余為u，初始利率為i0，破產(chǎn)前一刻盈余不超過z的概率，即

1 終極破產(chǎn)概率的遞推公式

首先利用遞推方法得到以上模型中ψn(u,i0)的一個遞推公式，由該公式可以對第n時段的破產(chǎn)概率進行數(shù)值計算，同時也是求取終極破產(chǎn)概率上界的理論基礎(chǔ).

定理1 對于?n≥1及u≥0,有

(3)

(4)

其中ψ0(u,i0)=I(u≤0).

定理1的證明記h=αi0+m，先證明(3)式.

當n=1時，由(2)式有

U1=(u+X1)(1+I1)-W1=(u+X1)(1+αi0+M1)-W1

(5)

由ψ0(u,i0)的定義知(3)式顯然成立.

給定W1=w,X1=x，M1=m，則當0≤w≤(u+x)(1+h)時，有U1>0，故由(2)式有

從而對于一般的n，有

2 終極破產(chǎn)概率和破產(chǎn)前瞬時贏余分布的上界

在有利率的情況下，得到保險公司破產(chǎn)概率的精確解很困難，因此我們轉(zhuǎn)而研究其終極破產(chǎn)概率的上界問題.

定理2 設(shè)B(x)是一個NWU函數(shù)[1]，Λ是一個非負函數(shù)，若B及Λ滿足

(6)

(7)

定理2的證明首先用數(shù)學歸納法證明對?n=1,2,…，有

(8)

由(6)式可得

(9)

當n=1時，由(9)式有

因為B為NWU函數(shù)，故

假設(shè)當n=k時(8)式成立，則當n=k+1時，由(3)式和(9)式有

此外，當?0≤w≤(u+x)(1+h)時，由函數(shù)B(·)的假設(shè)，可知

故得到

綜上所述，對一切n≥1，有(8)式成立，再在(8)式兩邊令n→∞，即得(6)式，定理2得證.

(10)

則有

(11)

其中β如定理2中所定義.

推論2 如果W(w)為一NWUC分布函數(shù)，則有ψ(u,i0)≤Ee-R(u+X1)(1+αi0+M1).

注1 當α=0時，模型(2)成為利率獨立同分布的模型；當α=0，p=0時，模型(2)成為利率獨立同分布且無副索賠的情形，此時定理2即為文獻[1]中的定理4.1.

注2 在經(jīng)典風險模型中，初始贏余為u的終極破產(chǎn)概率φ(u)滿足Lundberg上界，即當EX1>EW1時，若存在常數(shù)γ滿足Ee-γ(X1-W1)=1,則φ(u)≤e-γu.稱γ為經(jīng)典風險模型中的Lundberg系數(shù)，該系數(shù)的大小決定了破產(chǎn)概率的大小.類似地，(10)式中的R為模型(2)的Lundberg系數(shù).下面的定理將兩者的大小作了比較.

定理3的證明考慮函數(shù)g(r)=Ee-r(X1-W1)-1,易知g(0)=0,g′(0)<0,g″(r)≥0,故g(r)是一個凸函數(shù).由(10)式有

1=Ee-R(X1(1+αi0+M1)-W1)≤Ee-R(X1-W1),

即g(R)=Ee-R(X1-W1)-1≥0,又因為g(γ)=0,由函數(shù)g(r)的性質(zhì)可得R≥γ.特別地,如果X1和M1均不退化到0,顯然有R>γ.定理3得證.

破產(chǎn)前瞬時贏余的分布是衡量保險公司破產(chǎn)嚴重性的一個重要指標，有助于保險公司事先采取防范措施避免出現(xiàn)財務困境.

定理4 如果存在一個常數(shù)R>0滿足Ee-R(X1(1+M1)-W1)=1,

那么

F(u,z,i0)≤βe-R[u(1+αi0)-z]E(e-RuM1)τ(u,i0)+ψ1(u,i0)I(u≤z)，

定理4的證明先證Fn(u,z,i0)≤βe-R[u(1+αi0)-z]E(e-RuM1)

(12)

注3 (12)式中的ψ1(u,i0)可由定理1直接計算得到.

參考文獻：

[1] Cai J.Discrete time risk models under rates of interest [J].Probability in Engineering and Information Sciences,2002,16:309-324.

[2] Cai J.Ruin probobalities with dependent rates of interest [J].Appl Prob,2002,39:312-323.

[3] Yuan K C,Guo J Y.Ruin probability for time-correlated claims in the compound binomial model [J].Insurance:Mathematics and Economics,2001,29:47-57.

[4] Helene C,David L T,Etienne M.Ruin probobilities in the discrete time renewal risk model [J].Insurance:Mathematics and Economics,2006,38:309-323.

[5] 孫立娟，顧嵐.離散時間保險風險模型的破產(chǎn)問題[J].應用概率統(tǒng)計，2002,18(3):293-299.

[6] Gao Q B,Wu Y H,Zhu C H.Ruin probability in risk models with dependent rates of interest[J].Statistics and Probability Letters,2007,77:761-768.