對離差的幾點(diǎn)認(rèn)識和思考

陳香蓮 李 燕

(1,2.昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)系 新疆 昌吉 831100)

對離差的幾點(diǎn)認(rèn)識和思考

陳香蓮1李 燕2

(1,2.昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)系 新疆 昌吉 831100)

空間解析幾何課程中,離差是空間平面部分的一個(gè)教學(xué)難點(diǎn),由于離差不是本課程的主要基本概念,故許多初學(xué)者均沒有給予充分的認(rèn)識。本文對“離差”作一些簡單的探討,希望對初學(xué)者有一定的幫助。

離差;解析幾何

0 點(diǎn)與平面的離差概念

定義 1[1]:如果自點(diǎn)M0到平面π引垂線,其垂足為 Q,那么向量平面π和單位向量的射影叫做點(diǎn)M0與平面π間的離差,記做δ=射影 1所示)。

圖1

特別的,當(dāng)平面π過原點(diǎn) O時(shí),取以原點(diǎn) O為始點(diǎn)與平面π垂直的任一個(gè)單位向量作為單位法向量于是,當(dāng),有δ >0;當(dāng),有δ<0;當(dāng)點(diǎn)M0∈π即點(diǎn)M0在平面π上時(shí) ,有δ =0。

1 引進(jìn)“離差”概念的必要性

《解析幾何》(呂林根)教材中,在討論點(diǎn)與平面的位置關(guān)系時(shí)引入了“離差”的概念,并且“離差”與點(diǎn)與平面的距離有密切聯(lián)系。顯然,離差的絕對值,就是點(diǎn)M0與平面π間的距離 d。但是,點(diǎn)到平面的“距離”只能刻畫點(diǎn)到平面的遠(yuǎn)近,而不能區(qū)分兩點(diǎn)在平面的同側(cè)還是異側(cè)。為了判斷點(diǎn)與平面的位置關(guān)系,“離差”的引進(jìn)就很有必要;并且,利用“離差”還可以解決平面劃分空間的問題,同時(shí)給出了三元一次方程的幾何意義[3]。

2 離差的應(yīng)用

由離差的定義,利用離差可以方便的解決以下相關(guān)的幾何問題。

2.1 判斷兩點(diǎn)在同一平面的同側(cè)還是異側(cè)

例 1求點(diǎn)M(1,2,3)和平面 2x-2y+z-3=0的離差和距離。

在定義 1中,平面π不過原點(diǎn) O,則當(dāng) 向,即點(diǎn)M0與原點(diǎn)在平面π異側(cè)時(shí),有δ>0;當(dāng)向,即點(diǎn)M0與原點(diǎn)在平面π同側(cè)時(shí),有δ<0;當(dāng)點(diǎn)M0∈π即點(diǎn)M0在平面π上時(shí),有δ=0。于是,我們可以判斷兩點(diǎn)在同一平面的同側(cè)還是異側(cè)。

例 2 確定點(diǎn) p1(1,2,3)和 p2(2,1,5)相對于平面 5x-6y+z-5=0的位置。

解設(shè)F(x,y,x)=5x-6y+z-5,

因?yàn)镕(1,2,3)=5-12+3-5<0,F(2,1,5)=10-6+5-5>0

所以點(diǎn) p1(1,2,3)和 p2(2,1,5)在平面 5x-6y+z-5=0的兩側(cè)。□

解此題的關(guān)鍵是掌握“離差”的意義:對于平面π同側(cè)的點(diǎn),δ的符號相同;對于平面π異側(cè)的點(diǎn),δ的符號相反。另外,在解題方法上,因只是考慮符號問題,故不必求出δ的具體值,只需判斷其符號即可,簡化運(yùn)算量。

2.2 求兩平面所組成的二面角的平分面

顯然,這樣的平分面有兩個(gè)。從距離的角度都滿足 d1=d2的幾何條件,只有運(yùn)用離差的概念才能把它們區(qū)分開,其中一平分面滿足條件δ1=δ2,另一平分面滿足δ1=-δ2。

例 3試求由平面π1:2x-y+2z-3=0和π2:3x+2y-6z-1=0所構(gòu)成的二面角的角平分面的方程,在此二面角內(nèi)有點(diǎn)M(1,2,-3)。

分析:二面角的角平分面有兩個(gè)。設(shè) P(x,y,z)為角平分面上任意一點(diǎn),設(shè)點(diǎn) P到π1的距離 d1=p,到π2的距離 d2;則點(diǎn) P到π1的離差δ1=±p,到π2的離差δ2。因?yàn)?P點(diǎn)與M點(diǎn)在同一個(gè)二面角內(nèi),因此 P點(diǎn)與平面π1和π2離差的符號與點(diǎn)M與平面π1和π2離差的符號情況相同。

設(shè) P(x,y,z)為所求角平分面上任意一點(diǎn)

化簡得:23x-y-4z-24=0,即為所求的角平分面的方程?！?/p>

解題的關(guān)鍵是因?yàn)?P點(diǎn)與M點(diǎn)在同一個(gè)二面角內(nèi),因此 P點(diǎn)與平面和離差的符號與點(diǎn)M與平面和離差的符號相同。這正是引入“離差”的意義所在。

解 (1)化π1和π2的方程為法式方程

(2)設(shè) P(x,y,z)是含原點(diǎn)的二面角的平分面上任意一點(diǎn)。則有點(diǎn) P與平面的離差δ1=;點(diǎn) P與平面的離差δ2=;又因?yàn)辄c(diǎn) P與原點(diǎn)在同側(cè),點(diǎn) P與原點(diǎn)在同側(cè) 故δ1=δ2;即

化簡得:x+z=0,即為所求的鈍角平分面的方程。

(3)設(shè) p(x,y,z)是不含原點(diǎn)的二面角的平分面上任意一點(diǎn)。同理分析可得δ1=-δ2;即

化簡得:x-y-z-1=0,即為所求的銳角平分面的方程?！?/p>

3 小結(jié)

以上我們僅僅列舉了利用“離差”解決的部分幾何問題,但利用“離差”可以解決的幾何問題還有很多,例如,利用“離差”,我們還可以判斷給定兩點(diǎn)M和 N在由兩相交平面所構(gòu)成的同一個(gè)二面角內(nèi),還是分別在相鄰的二面角內(nèi),或是在對頂?shù)亩娼莾?nèi)?關(guān)于此方面的應(yīng)用可參見文獻(xiàn)[4]?？傊?在學(xué)習(xí)中充分理解“離差”概念及其幾何意義,善于靈活運(yùn)用,便可有效的解決許多相關(guān)的幾何問題。

[1][2][3] 呂林根,許子道等.解析幾何 (第四版)[M].北京:高等教育出版社,2006.

[4] 楊文茂,李全黃.空間解析幾何習(xí)題集[M].武漢大學(xué)出版社,2003:83-84.

O182.2

A

1671-6469(2010)03-0093-03?

2010-04-13

昌吉學(xué)院研究生科研啟動基金項(xiàng)目(09SSQD019)

陳香蓮 (1965-),女,安徽濉溪縣人,昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)系,副教授,研究方向:基礎(chǔ)數(shù)學(xué)及圖論及其應(yīng)用。

(責(zé)任編輯:代琴)