對稱空間中的重合點(diǎn)和公共不動點(diǎn)定理

李付成,谷 峰*

(1.杭州師范大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，浙江 杭州 310036;2.杭州師范大學(xué) 理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

1 引言和預(yù)備知識

該文的主要目的，是在沒有連續(xù)性的要求下，得到一些關(guān)于更一般的壓縮條件下的重合點(diǎn)和公共不動點(diǎn)的定理.在壓縮條件中給出了一個非度量函數(shù)d，其中d有如下性質(zhì)：序列{xn}收斂到x當(dāng)且僅當(dāng)d(xn,x)→0.在此選擇對稱空間也就是半度量空間作為文章的基本空間.

下面給出一些定義.

定義1[2]集合X上的一個對稱是一個非負(fù)實(shí)函數(shù)d:X×X→[0,∞)，滿足?x,y∈X，有

(i)d(x,y)=0?x=y;

(ii)d(x,y)=d(y,x).

如果d是集合X上的對稱，那么對x∈U和ε>0，記B(x,ε)={y∈X:d(x,y)<ε}.X上的一個拓?fù)洇?d)定義為：U∈τ(d)當(dāng)且僅當(dāng)對每個x∈X,存在ε>0使得B(x,ε)?U.一個集合S?X是b∈X的一個鄰域當(dāng)且僅當(dāng)存在U∈τ(d)使得b∈U?S.如果對每個x∈X和每個ε>0，B(x,ε)都是x在拓?fù)洇?d)中的一個鄰域，則稱對稱d是一個半度量.

定義2[2]一個半度量空間X是一個拓?fù)淇臻g，其拓?fù)洇?d)由X上的半度量d生成.在后面，對稱空間亦即半度量空間將表示為(X,d).

對稱和半度量之間的區(qū)別是明顯的，因?yàn)楹苋菀椎臉?gòu)建一個對稱d使得B(x,ε)不是x在τ(d)中的一個鄰域.對于X上的一個對稱d，下面的兩個公理由Wilson[11]給出：

(W3)給定{xn}?X，x,y∈X，如果d(xn,x)→0且d(xn,y)→0，則x=y；

(W4)給定{xn},{yn}?X，x∈X，如果d(xn,x)→0且d(xn,yn)→0，則d(yn,x)→0.

易知，對于一個半度量d，如果τ(d)是Hausdorff的，則(W3)成立.

定義3[4]在對稱(半度量)空間(X,d)中，一對自映像(f,g)被稱為是相容的，如果

定義4[5]在對稱(半度量)空間(X,d)中，自映像對(f,g)稱為是弱相容的(或重合點(diǎn)可交換)，如果從fx=gx可推得fgx=gfx.

在文章中，引進(jìn)一個新的(Ag)型弱相容映像的概念如下.

定義6在對稱(半度量)空間(X,d)中，自映像對(f,g)稱為是(Ag)型弱相容的，如果從fx=gx可推得ffx=gfx.

注1由定義可知(Ag)型相容映像一定是(Ag)型弱相容映像.反之不真，例子如下：

例1令(X,d)=([0,10],|·|)，定義f,g:[0,10]→[0,10]如下：

顯然，f(x)=g(x)當(dāng)且僅當(dāng)x=0，且映像對是(Ag)型弱相容的，這是因?yàn)?/p>

ff(0)=f(0)=0,gf(0)=g(0)=0.

故映像對(f,g)不是(Ag)型相容映像.

文章的目的是在對稱(半度量)空間的框架中，證明了幾個新的重合點(diǎn)和公共不動點(diǎn)定理，所得結(jié)果改進(jìn)和推廣了文獻(xiàn)[1-3]中的相關(guān)結(jié)果，同時也給出了驗(yàn)證和說明該結(jié)果的實(shí)際例子.

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)(X,d)是一個滿足條件(W3)的對稱(半度量)空間(τ(d)是Hausdorff拓?fù)?.f和g是X上的自映像，且滿足以下條件

(i)f和g滿足性質(zhì)(E-A)；

(ii)對于所有的x,y∈X,x≠y，有

(1)

其中1≤k<2,0≤α,β<1.如果f(X)是X的一個d-閉(τ(d)-閉)子集，則f和g有重合點(diǎn).

證明首先，需要指出的是,半度量空間(X,d)中的序列{xn}關(guān)于拓?fù)洇?d)收斂到點(diǎn)x當(dāng)且僅當(dāng)d(xn,x)→0.為了證明它，假設(shè)xn→x(關(guān)于拓?fù)洇?d))，ε>0.因?yàn)锽(x,ε)是x的一個鄰域，則存在U∈τ(d)使得x∈U?B(x,ε).由假設(shè)xn→x，所以存在一個自然數(shù)m∈N，當(dāng)n≥m時，有xn∈U?B(x,ε).故當(dāng)n≥m時，有d(xn,x)<ε.即d(xn,x)→0.反之由τ(d)的定義顯然可得.

令n→∞且兩邊取極限，有

矛盾，故f(a)=g(a)，即a是f和g的一個重合點(diǎn).定理1得證.

注2在定理1中，令α=β=0，則得文獻(xiàn)[2]中的定理2.1.

下面是定理1的一個變形.

定理2如果定理1中f(X)的d-閉性(τ(d)-閉性)由g(X)的d-閉性(τ(d)-閉性)性所取替，且g(X)?f(X)，其它的條件不變，則定理1的結(jié)論仍然成立.

令n→∞，得

矛盾，故g(a)=g(b)=f(b)，這便證明了b是f和g的一個重合點(diǎn).證畢.

注3在定理2中，令α=β=0，則得文獻(xiàn)[2]中的定理2.2.

定理1和定理2保證了重合點(diǎn)而不是公共不動點(diǎn)的存在性，鑒于此，可將壓縮條件(1)稍加修改，將得到公共不動點(diǎn)的存在性定理如下.

定理3在定理1和2的假設(shè)下，如果f和g是弱相容映像對，并且壓縮條件(1)由下面的壓縮條件所取代：對所有的x,y∈X,x≠y，有

(2)

其中1≤k<2，0≤α,β<1，則f和g有唯一的公共不動點(diǎn).

證明由定理1和2知，f和g有一個重合點(diǎn)a，即f(a)=g(a).由于f和g是弱相容映像，從而fg(a)=gf(a)，進(jìn)而有fg(a)=ff(a)=gg(a)=gf(a).現(xiàn)在證明gg(a)=g(a)，若不然，則根據(jù)式(2)可得

矛盾.因此ga=gga=fga=ffa=gfa，即ga是f和g的公共不動點(diǎn).

下證f和g的公共不動點(diǎn)唯一.事實(shí)上，設(shè)t1和t2是f和g的公共不動點(diǎn)，即f(t1)=g(t1)=t1和f(t2)=g(t2)=t，且t1≠t2，則由壓縮條件(2)可得

矛盾.故必有t1=t2，即f和g的公共不動點(diǎn)是唯一的.

注4在定理3中，令α=β=0，則得文獻(xiàn)[2]中的定理2.3.

定理3也改進(jìn)和推廣了Aamri-Moutawakil[1]以及Pant-Pant[3]的相關(guān)結(jié)果.

定理4在定理1和2的假設(shè)下，如果f和g是(Ag)型弱相容映像對，并且壓縮條件(1)由式(2)所代替，其中1≤k<2，0≤α,β<1，則f和g有唯一的公共不動點(diǎn).

證明利用(Ag)型弱相容映像的定義，類似定理3的方法不難證明.略去.

注5定理4從兩個方面改進(jìn)了文[2]中定理2.3：

1)用(Ag)型弱相容的條件代替弱相容條件；

2)定理4的壓縮條件中取α=β=0的特殊情況則為文[2]中定理2.3的條件.

下面給出一個例子，目的是說明假設(shè)的有效性和文章結(jié)果普遍性.以下例子給出了一個滿足文章定理假設(shè)的非度量壓縮條件.

例2令X=[0,1]，定義X上的對稱d(x,y)=(x-y)2,?x,y∈X.定義f,g:X→X如下：

顯然f(X)={0}∪[1/3,2/3]在X上是d-閉的.由于序列{1/3-1/n}?[0,1]滿足

所以映像對(f,g)滿足性質(zhì)(E-A).又f(x)=g(x)當(dāng)且僅當(dāng)x=1/3，而且

f(1/3)=g(1/3)=1/3?fg(1/3)=gf(1/3)=ff(1/3)=1/3，

因此映像對(f,g)是弱相容的，也是(Ag)型弱相容的.

通過常規(guī)的計算可以說明壓縮條件(2)對每個x,y∈X,x≠y都成立.由于由d生成的拓?fù)涠x在區(qū)間[0,1]上,它是Hausdorff空間并且自然滿足條件W3，這樣就滿足了定理3和4的全部條件,1/3是f和g的唯一公共不動點(diǎn).這里有一點(diǎn)需要說明的是d不是一個度量,因?yàn)閐(0,1)=1>1/9+4/9=d(0,1/3)+d(1/3,1)，這樣所有可用的度量公共不動點(diǎn)定理就不能應(yīng)用到該例題中.注意到無論是f還是g在唯一的公共不動點(diǎn)1/3處都是不連續(xù)的.

這里可以觀察到的是例2還滿足定理1和定理2的條件,因?yàn)間(X)={1/3,1/2}?{0}∪[1/3,1/2]=f(X)及g(X)是d-封閉的.最后,還需要說明的是條件W3也是至關(guān)重要的,因?yàn)樗_保了收斂序列極限的唯一性.不難找出一個可以導(dǎo)出非Hausdorff拓?fù)涞膶ΨQ度量，比如T1-拓?fù)?它允許一個序列收斂到不止一個極限點(diǎn)(例:X=R，d(x,y)=1/|x-y|,當(dāng)x≠y且d(x,y)=0時，其中xn=n,n∈N).

[1] Aamri M, Moutawakil DI. Some new common fixed point theorems under strict con-tractive conditions[J]. J Math Anal Appl,2002,270:181-188.

[2] Imdad M, Javid Ali, Ladlay Khan. Coincidence and common fixed point theorems in symmetric spaces[J]. J Math Anal Appl,2006,320：352-360.

[3] Pant R P, Pant V. Common fixed points under strict contractive conditions[J]. J Math Anal Appl,2000,248:327-332.

[4] Jungck G. Compatible mappings and common fixed points[J]. Int J Math Math Sci,1986,9(4)：771-779.

[5] Jungck G, Moon K B, Park S,etal. On generalization of the Mier-Keeler type contraction maps[J]. J Math Anal Appl,1993,180：221-222.

[6] Jachymski J. Common fixed point theorems for some families of maps[J]. Indian J Pure Appl Math,1994,25：925-937.

[7] Jungck G. Common fixed points for noncontinuous non-self maps on nonmetric spaces[J]. Far East J Math Sci,1996,4(2):199-225.

[8] Pant R P. Common fixed points of sequence of mappings[J]. Ganita,1996,47:43-49.

[9] Pant R P. Common fixed points of contractive maps[J]. J Math Anal Appl,1998,226:251-258.

[10] Pant R P. R-weak commutativity and common fixed points[J]. Soochow J Math,1999,25:37-42.

[11] Wilson W A. On semi-metric spaces[J]. Amer J Math,1931,53:361-373.