加權(quán)總體最小二乘在三維激光標靶擬合中的應用＊

陳瑋嫻 陳 義 袁 慶 葛旭明

(1)同濟大學測量與國土信息工程系,上海 200092

2)現(xiàn)代工程測量國家測繪局重點實驗室,上海 200092)

加權(quán)總體最小二乘在三維激光標靶擬合中的應用＊

陳瑋嫻1)陳 義1,2)袁 慶1)葛旭明1)

(1)同濟大學測量與國土信息工程系,上海 200092

2)現(xiàn)代工程測量國家測繪局重點實驗室,上海 200092)

針對平面標靶和球標靶擬合中最小二乘方法和總體最小二乘方法存在的問題,提出了一種加權(quán)總體最小二乘的擬合方法,根據(jù)點云激光反射強度以及對系數(shù)陣A列向量部分修正引入權(quán)陣 P、PX、P0,建立較LS方法和TLS方法更加合理的模型,并給出相應的迭代算法。經(jīng)實例計算證明加權(quán)總體最小二乘方法更加合理,可以獲得更高精度的參數(shù)解。

點云;EI V模型;標靶擬合;總體最小二乘;加權(quán)總體最小二乘

1 引言

標靶是由高反射率材料制成用來擬合點云特征點的反射標志,一般分為平面標靶和球標靶。在地面三維激光中它起兩個作用：1)為多視點云模型的拼接提供同名公共點;2)把其他測量手段獲得的控制點坐標引入到點云模型中。對于平面標靶,根據(jù)“Halo效應”,Lichti[1]等人提出求標靶平均反射強度中心來確定標靶幾何中心。該估算方法基于激光掃描方向與標靶平面絕對垂直的假設(shè)。而實際常常是不垂直掃描,且當掃描方向與標靶垂直方向夾角大于 60°時會產(chǎn)生無法識別靶標中心的情況[2]。官云蘭[3]提出穩(wěn)健標靶定位方法,建立高斯-馬爾科夫(G-M)模型,采用LS方法擬合平面,再進行靶心定位,可以避免不垂直掃描時產(chǎn)生的識別錯誤,但所建立的 G-M模型中未考慮到系數(shù)矩陣A的誤差。對于球標靶,通常建立 G-M模型,用 LS方法擬合半個球面點云,得到球標靶的幾何中心[4]。魯鐵定等人[5]提出基于 TLS方法球標靶定位方法,該方法在假定球面點云等精度獲取的情況下建立的變量中的誤差模型 (Error-In-Variables,EI V)[6,7]對系數(shù)陣 A和觀測向量 Y進行改正[8,9],能較好地解決系數(shù)矩陣和觀測向量存在誤差的問題。然而在實際中,由于入射角的不同導致獲取的點云激光反射強度不同,反射強度越高點位精度越高,因而擬合點云時需根據(jù)反射強度考慮每個點的擬合權(quán)重。同時系數(shù)陣A中某些固定的常數(shù)列是不需要修改的,加入權(quán)陣可以修改系數(shù)陣A的數(shù)據(jù)列,而不修改常數(shù)列。本文在官云蘭的點云平面擬合和魯鐵定的球面擬合的方法基礎(chǔ)上,引入加權(quán)總體最小二乘 (WTLS)的擬合方法,在 EI V模型的基礎(chǔ)上根據(jù)點云激光反射強度不同的特性引入觀測值權(quán)陣 P和行向量權(quán)陣 PX;根據(jù)系數(shù)矩陣A的部分列修改引入列向量權(quán)陣 P0。經(jīng)實驗計算,該方法能得到更加合理的模型和更高精度的參數(shù)解。

2 函數(shù)模型及解法

2.1 LS、TLS、W TLS函數(shù)模型

經(jīng)預處理后得到一組標靶點云的三維坐標(xi, yi,zi),(i=1,2,…,n)。相應的空間平面方程為:

式中,a、b、c為平面參數(shù)。對于球標靶,由于從任何方向掃描均可獲得半個球面點云,從點云數(shù)據(jù)中擬合球體得到球心坐標和球半徑即可完成球標靶定位,相應的球面方程為:

式中,a0、b0、c0為球心坐標,r為球半徑,球面方程展開形式為:

LS估計準則：

式中,Y為 n×1維觀測值向量,X為m×1維待估參數(shù),A為 n×m維的系數(shù)矩陣,e為觀測向量的隨機誤差,In為單位陣?？紤]系數(shù)矩陣 A含有誤差的等權(quán) EI V模型為：

式中,EA為系數(shù)矩陣 A的隨機誤差,在 LS方法中EA≡0。Q=In,QA=Im?In=Inm,Qx=In,Q0=Im是單位權(quán)陣,“?”為“kronecker積”(M?N=[mijN], M=[mij])[10],“vec”為矩陣列向量化算子。TLS估計準則：

考慮系數(shù)矩陣A含有誤差的加權(quán) EI V模型：

平面方程寫成矩陣形式：

球面方程寫成矩陣形式:

2.2 W TLS權(quán)陣的定義

圖 1 激光反射強度[4]Fig.1 Laser reflection intensity[4]

假設(shè)點云在 x、y、z3個方向等精度獲取。對于平面標靶的系數(shù)陣列向量和觀測值,有σx=σy= σz,得到平面擬合的權(quán)陣如下:

對于球標靶,擬合模型較平面標靶復雜,根據(jù)系數(shù)陣列向量和觀測值的關(guān)系,提出 3種定權(quán)方法。

方法二:認為系數(shù)陣行向量之間等精度且與觀測值向量無關(guān),則 P0、P的形式不變,Px形式為:

方法三:認為系數(shù)陣行向量之間權(quán)值由反射強度決定且與觀測值向量無關(guān),則 P0、P的形式不變, Px形式為:

2.3 W TLS算法及精度估計

迭代法求解過程[10-13]：

3 實例分析

采用 Faro large scanner對圖 2場景進行掃描得到 3個平面標靶和 3個球標靶 (球半徑設(shè)計為0.072 5 m)的點云數(shù)據(jù)。圖 3是其中一個平面標靶和一個球面標靶的原始點云。手動刪除大量冗余掃描點云數(shù)據(jù),通過轉(zhuǎn)換關(guān)系將每個點的反射強度轉(zhuǎn)換為(0～1)之間的數(shù)值,根據(jù)標靶的反射率 0.5≤E′≤0.68設(shè)置相應閾值,消除噪聲。對于平面標靶,為了避免由于直線平行與某坐標軸而出現(xiàn)數(shù)值問題[14],先求出 3個坐標分量的最大值和最小值Δx、Δy、Δz,再確定平面方程形式。按式 (9)組成觀測方程,按式(11)組成權(quán)陣,根據(jù)式 (16)～(22)求解。對于球標靶按式(10)組成觀測方程,分別按式(12)～(14)3種方法組成權(quán)陣,根據(jù)式 (16)～ (22)求解。利用上述WTLS方法求解待估參數(shù),并與 TLS方法和LS進行比較得到的結(jié)果如表 1和表2。擬合結(jié)果如圖 4和 5,觀測值殘差和系數(shù)陣殘差如圖 6,圖 5(c)和圖 6(f)的WTLS方法依據(jù)方法三定權(quán)。

由表 1可以看出,平面擬合中WTLS方法擬合的單位權(quán)中誤差要小于 LS方法和 TLS方法,精度相對LS方法和 TLS方法平均分別提高 60.1%和57.9%。由表 2可以看出,球面擬合中 LS、TLS、WTLS方法擬合球半徑與設(shè)計半徑相近,WTLS方法擬合球面的單位權(quán)中誤差要小于LS方法和 TLS方法,依方法三定權(quán)的WTLS方法(WTLS3)求得的精度高于方法一 (WTLS1)和方法二 (WTLS2),且WTLS3方法相對 LS方法和 TLS方法分別提高76.0%和 27.3%。由圖 6(c)、(d)、(e)、(f)可以看出,TLS和WTLS方法同時改正觀測值和系數(shù)陣,殘差分布在觀測值和系數(shù)陣中,而LS方法擬合的殘差僅存在觀測值中 (圖 6(a)、(b))。在 TLS和WTLS方法中引入陣固定了系數(shù)陣中的常數(shù)列,即圖 6(e)、(f)中系數(shù)陣常數(shù)列殘差為 0。同時比較圖 6(c)、(e)和 (d)、(f),可以看出WTLS方法引入陣擬合殘差更好。在靶標擬合中WTLS方法建立的模型較 LS方法和 TLS方法更為合理,得到更高精度參數(shù)解。

圖2 掃描場景Fig.2 Scanning scenes

圖3 平面標靶、球標靶點云Fig.3 Point cloud of plane and sphere targets

表 1 平面標靶擬合參數(shù)及精度(單位:m)Tab.1 Fitti ng results of plane targets(un it:m)

表 2 球標靶擬合參數(shù)及精度(單位:m)Tab.2 Fitti ng results of some sphere targets(un it:m)

圖4 平面標靶LS、TLS、WTLS方法擬合結(jié)果Fig.4 Fitting results of a plane targetswith LS、TLS andWTLSmethods

圖5 球標靶LS、TLS、WTLS方法擬合結(jié)果Fig.5 Fitting results of a sphere targetwith LS、TLS andWTLSmethods

4 結(jié)語

1)在平面和球面點云擬合中,考慮到平面方程和球面方程中由實測數(shù)據(jù)組成的系數(shù)矩陣 A含有誤差,從而建立 EI V模型對系數(shù)陣A和觀測向量的誤差同時進行最小化約束,該處理方法比認為系數(shù)陣無誤差的LS處理方法更加合理。

2)在WTLS方法中引入列向量權(quán)陣,可以起到部分修改系數(shù)陣A列向量的作用,即修改A的數(shù)據(jù)列而不修改常數(shù)列,得到了更加普遍適用的模型。

3)根據(jù)每個點的激光反射強度定權(quán),引入觀測值權(quán)陣 P和系數(shù)陣行向量權(quán)陣 Px。在球標靶擬合模型中給出 P、Px3種定權(quán)方法,并加以比較。比較結(jié)果認為,合理的定權(quán)可以使WTLS方法擬合平面標靶擬合精度提高近 60%,球標靶的擬合精度較TLS方法提高近 30%,所以WTLS方法能夠得到更高精度的參數(shù)解。

圖6 觀測值及系數(shù)陣殘差Fig.6 Observations and residuals of plane and sphere targetswith LS、TLS andWTLSmethods

1 LichtiD D,et al.Benchmark tests on a three-dimensional laser scanning system[J].Geomatics Research Australasia, 2000,72：1-24.

2 朱凌.地面三維激光掃描標靶研究[J].激光雜志,2008, 29：33-35.(Zhu Ling.The research on terrestrial laser scanning target[J].Laser Journal,2008,29：33-35)

3 官云蘭.地面三維激光掃描數(shù)據(jù)處理中的若干問題研究[D].同濟大學,2008.(Guan Yunlan.Some problems of the processing of terrestrial laser scanning[D].Tongji University,2008)

4 張毅.地面三維激光掃描點云數(shù)據(jù)處理方法研究[D].武漢大學,2008.(Zhang Yi.Research on point cloud processing of terrestrial laser scanning[D].Wuhan University, 2008)

5 魯鐵定,等.基于整體最小二乘的地面激光掃描標靶球定位方法[J].大地測量與地球動力學,2009,(4)：102-105.(Lu Tieding,et al.Sphere target fixing of point cloud data based on TLS[J].Journal of Geodesy and Geodynamics,2009,(4)：102-105)

6 Golub H G and Van Loan F C.An analysis of the total least squares problem[J].SI AM Journal on Numerical Analysis, 1980,17(6)：883-893.

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8 陳義,陸玨,鄭波.總體最小二乘方法在空間后方交會中的應用[J].武漢大學報 (信息科學版),2008,32：1 271-1 274(Chen Yi,Lu Jue and Zhen Bo.Application of total least squares to resection space[J].Geomatices and Infor mation Science ofWuhan University,2008,32：1 271-1 274)

9 陸玨,陳義,鄭波.總體最小二乘方法在坐標轉(zhuǎn)換中的應用[J].大地測量與地球動力學,2008,(5)：77-81.(Lu Jue,Chen Yi and Zhen Bo.Applying total least squares to three-dimensional datum transformation[J].Journal of Geodesy and Geodynamics,2008,(5)：77-81)

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12 SchaffrinB andW ieserA.Onweighted total least-squares adjustment for linear regression[J].Journal of Geodesy, 2008,82：415-421.

13 Schaffrin B.A note on constrained total least-squares estimation[J].Linear Algebra and Its Applications,2006, 417：245-258.

14 王解先,季凱敏.工業(yè)測量擬合[M].北京：測繪出版社, 2008.(Wang Jiexian and Ji Kai min. Industrial measurement fitting[M].Beijing：Surveying and Mapping Press, 2008)

APPL ICATI ON OF W EIGHTED TOTAL LEAST-SQUARES TO TARGET FITTING OF THREE-D IM ENSIONAL LASER SCANNING

ChenWeixian1),Chen Yi1,2),Yuan Qing1)and Ge Xuming1)

(1)Departm ent of Surveying and Geo-Infor m atics,Tongji University,Shanghai 200092 2)Key Laboratory of M odern Engineering Surveying,SBSM,Shanghai 200092)

According to the different laser reflection intensity of each cloud point and correcting partsof the coefficientmatrixAcolumn vectors,the weighted total least-square(WTLS)methods in the plane target and sphere target fitting of the terrestrial laser scanning is introduced,a more reasonable model than the least-square(LS) methods and the total least-square(TLS)methods is established,and the corresponding iterative algorithm is given. The calculated example proves that the model ismore reasonable indeed and the more accurate parameters solution can be obtained withWTLS.

point cloud;Error-In-Variables(EI V)model;target fitting;total least-square(TLS);weighted total least-square(WTLS)

1671-5942(2010)05-0090-07

2010-05-31

陳瑋嫻,女,1987年生,碩士,研究方向：大地測量與測量工程專業(yè)數(shù)據(jù)處理.E-mail：15531422@qq.com

P207

A