計算機在地面探測問題數(shù)學建模中的應(yīng)用研究

劉 鋒

(雞西大學電氣與信息工程系,黑龍江雞西 158100)

計算機在地面探測問題數(shù)學建模中的應(yīng)用研究

劉 鋒

(雞西大學電氣與信息工程系,黑龍江雞西 158100)

對于地面探測問題,我們建立了相關(guān)的最小路徑數(shù)學模型,利用MATLAB數(shù)學軟件和 CAD制圖軟件求解并作圖,利用VB語言進行編程,模擬出整個探測過程?？紤]到實際情況,在探測過程中忽略了一些可能影響探測行進速度的因素,著重對行進路線的最小化進行了最優(yōu)分析。在給出現(xiàn)有問題答案的同時,還可利用該模型用盡可能少的人力和物力,在最短的時間內(nèi)完成對固定區(qū)域的全方位探測。

最小路徑分析;模糊數(shù)學模型;GPS定位儀;可行性方案

1 問題提出

5·12汶川大地震使震區(qū)地面交通和通訊系統(tǒng)嚴重癱瘓。救災(zāi)指揮部緊急派出多支小分隊,到各個指定區(qū)域執(zhí)行探測任務(wù),以確定需要救助的人員的準確位置。在其他場合也常有類似的探測任務(wù)。在這種緊急情況下需要解決的重要問題之一是:制定探測隊伍的行進路線,對預(yù)定區(qū)域進行快速的全面探測。通常,每個探測人員都帶有 GPS定位儀、步話機以及食物和生活用品等裝備。隊伍中還有一定數(shù)量的衛(wèi)星電話。GPS可以讓探測人員知道自己的方位。步話機可以相互進行通訊。衛(wèi)星電話用來向指揮部報告探測情況。

下面是一個簡化的探測問題。有一個平地矩形目標區(qū)域,大小為11 200m×7 200m,需要進行全境探測。假設(shè):出發(fā)點在區(qū)域中心;探測完成后需要進行集結(jié),集結(jié)點 (結(jié)束點)在左側(cè)短邊中點;每個人探測時的可探測半徑為 20m,探測時平均行進速度為0.6m/s;不需探測而只是行進時,平均速度為1.2m/s。每個人帶有 GPS定位儀、步話機,步話機通訊半徑為1 000m。探測隊伍若干人為一組,有一個組長,組長還擁有衛(wèi)星電話。每個人探測到目標,需要用步話機及時向組長報告,組長用衛(wèi)星電話向指揮部報告探測的最新結(jié)果。現(xiàn)在有如下問題需要解決:

(1)假定有一支 20人一組的探測隊伍,擁有 1臺衛(wèi)星電話。請設(shè)計一種你認為耗時最短的探測方式。按照你的方式,探測完整個區(qū)域的時間是多少?能否在 48h內(nèi)完成探測任務(wù)?如果不能完成,需要增加到多少人才可以完成。

(2)為了加快速度,探測隊伍有 50人,擁有 3臺衛(wèi)星電話,分成 3組進行探測。每組可獨立將探測情況報告給指揮部門。請設(shè)計一種你認為耗時最短的探測方式。按照你的探測方式,探測完整個區(qū)域的時間是多少?

2 模型假設(shè)與說明

2.1 模型假設(shè)

(1)假設(shè)在探測過程中不考慮余震、天氣、個人等因素對探測進程的影響;

(2)假設(shè)在探測過程中 GPS定位儀、步話機、衛(wèi)星電話等設(shè)備不出故障;

(3)假設(shè)在探測到某目標后無時間間隔繼續(xù)探測下一目標。

2.2 符號說明

Si(i=1,2,3,4…)S為各段路程,i為各段路程順序號;Ti(i=1,2,3,4…)T為各段路程探測或行進使用的時間,i為各段路程順序號;ti′(i=1,2,3,4…)甲組各段探測路徑所需時間;ti(i=1,2,3,4…)丙組各段探測路徑所需時間;V1探測時平均行進速度;V2不需探測只行進時平均速度;Ts為 B完成探測任務(wù)的時間;Tg為 B在拐彎處探測時間;T完成總?cè)蝿?wù)的時間;A探測隊伍中左側(cè)排頭;B探測隊伍中左側(cè)排頭;r每個人探測時的可探測半徑。

3 模型的建立與求解

3.1 問題一

考慮到每個人探測到目標,需要用步話機及時向組長報告,組長用衛(wèi)星電話向指揮部報告探測的最新結(jié)果,則在探測隊伍中每名探測隊員應(yīng)該與組長保持一定的距離 (原則上不能超過1 000m)我們可先將隊伍排成一排,組長位于中間位置,由于每名隊員的可探測的半徑為 r=20m,則此時隊伍排頭隊員與組長的距離為 380m<1 000m。為了對該平地矩形目標區(qū)域進行全境探測,我們可進行地毯式掃描探測。

隊伍在行進過程中的拐彎處,右端排頭 A與左端排頭 B的探測面積不同,則行進路程會存在一定差異。如果讓每名隊員始終以恒定的速度進行探測則可能會出現(xiàn)部分隊員由于行進太快,與組長失去聯(lián)絡(luò)等情況。因此我們假設(shè)在探測過程中組長隨時協(xié)調(diào)每名隊員的行進速度以保證所有隊員與組長的距離始終在步話機的通訊半徑1 000m的范圍內(nèi)。

分析探測行進路線 (如圖1),其中:粗實線表示探測隊伍中組長的探測行進路線,細實線表示左端排頭隊員 B的探測行進路線,20名隊員排成一排探測的距離是 800m,考慮行進過程中隊員之間探測速度的差異以及拐角區(qū)域等因素影響,為便于計算我們把探測目標區(qū)域等分成 14×9=126個800×800m2的矩形區(qū)域。

可以確定在探測過程中,隊伍左端排頭 B探測面積最大,耗時最長,因此我們只分析 B探測所用的時間 Ts,我們可根據(jù)探測路線將探測行程分成若干段,每段所用的時間為 Ti(i=1,2,3,4…)則有 :Ti=Si/Vi

(1)所有隊員以 V2=1.2m/s的速度從出發(fā)點到達指定探測開始位置,其中 B所用的時間

(2)隊伍排列完成后,所有隊員以 V1=0.6m/s的速度開始探測,為便于計算我們可根據(jù)探測路線將探測行程分成若干段,(如圖2)每段所用的時間為 Ti,

B在拐彎處會遇到探測拐角,因此要完成全境探測,B需要以 V1=0.6m/s的速度向左前方 45°進行探測然后以 V2=1.2m/s的速度原路返回 (如圖3)。

則每一處拐角所花的時間 Tg有:

B在全程中共有 14處相同的拐角,由此我們可算出 B探測任務(wù)所用的時間 Ts

原有的 20名隊員 (以組長為代表)以 V2=1.2m/s的速度從出發(fā)點到達如上指定開始位置,隊員 C處于探測隊伍的左端。組長以 V2=1.2m/s的速度向前行進 40m,然后以 Vi=0.6m/s的速度向前探測,同時隊員 C以 Vi=0.6m/s的速度探測 40×800m2的區(qū)域。當隊員 C完成 40×800m2的探測任務(wù)到達另一端時,組長已向前行進 800m,此刻隊員 C以V2=1.2m/s的速度追趕其他隊員。當隊員 C重新追上組長并處于探測隊伍的一端時,組長再以 V2=1.2m/s的速度向前行進 40m,然后以 V1=0.6m/s的速度向前探測,同時隊員C再以 V1=0.6m/s的速度探測 40×800m2的區(qū)域。當隊員C又一次完成 40×800m2的探測任務(wù)到達另一端時,組長又向前行進了 800m,此刻隊員 C還需以 V2=1.2m/s的速度追趕組長。依次循環(huán),直到探測任務(wù)完成。該數(shù)學模型的相關(guān)計算如下:

組長以V2=1.2m/s的速度向前行進 40m的距離所需的時間;隊員 C完成 40×800m2的區(qū)域探測任務(wù)到達另一端所需要的時間;ty時間內(nèi)組長向前行進了 800m;此時,組長與隊員 C的距離;此時隊員 C與組長的最遠距離為903.77(m)<1 000m,也能保證隊員 C用步話機及時向組長報告;隊員 C追上組長的時間;此時組長又向前行進了 800m;于是每個追趕循環(huán)過程,組長一共向前行進了 800+800+40=1 640m。在每一個追趕循環(huán)過程中次方案比上一方案節(jié)省的時間為。分析路線圖可知組長共向前行進100 800m,則整個過程中最多可有個追趕循環(huán)過程,則總共節(jié)省的時間。因為 48.43-0.56=47.87h<48h,所以上述方案可行,即增加一名隊員即可保證在 48h內(nèi)完成探測任務(wù)。

3.2 問題二

分組探測時仍可采用上題的數(shù)學模型,即隊員以并排方式,組長位于隊伍中間協(xié)調(diào)組員向前探測。根據(jù)線性規(guī)劃理論可將目標區(qū)域分成三塊,讓每組隊員分別完成探測任務(wù)并到達集結(jié)點的時間差盡可能小,經(jīng)分析可分為甲組 20人,乙組 20人,丙組 10人,其各組探測路徑如圖4。

下面對每組探測路徑所需時間進行數(shù)學計算:

(1)甲組。

在探測過程中,仍需要比較一組探測隊伍中左右兩端排頭組員的探測路徑長度,如上可只分析探測路徑最長的排頭組員的探測時間。經(jīng)分析甲組中右端排頭所需的時間最長,其各段探測路徑所需時間如下:

注:黑粗實線表示甲乙組(兩組對稱)探測隊伍中組長的探測行進路線,灰粗實線表示組探測隊伍中組長的探測行進路線,細虛線表示隊伍一端排頭隊員的探測行進路線。

(2)乙組。

由于乙組隊伍探測完成所分區(qū)域及路徑與甲組完全相同,并且甲乙兩組組員人數(shù)相同,所以乙組隊伍探測完成所分區(qū)域所需的時間

(3)丙組。

采用相同的分析方法分析丙組隊伍中右端排頭組員的探測路徑,其所需時間如下:

分析三組隊伍探測完成各自所分區(qū)域所需的時間甲組20.13h、乙組20.13h、丙組19.84h。此方案在丙組完成任務(wù)20.13-19.84=0.29(h)后,甲乙兩組同時完成探測任務(wù),即整個目標區(qū)域探測完成需要20.13h。最優(yōu)的探測方案應(yīng)為 3組隊伍同時完成任務(wù),鑒于0.29h相對于20.13比較短暫,且此方案探測路徑比較簡單,重復(fù)路線較少,因此,此方案可行。

4 模型的質(zhì)量分析

4.1 模型的優(yōu)點

(1)本模型利用函數(shù)及計算機編程方法直接對題中所給的數(shù)據(jù)進行處理;

(2)此模型簡潔實用,運行速度快,可操作性強,有較強的使用性和可預(yù)測性;

(3)建模的方法和思想對其他類似問題也適用,易于在多個領(lǐng)域推廣,當與類似問題結(jié)合時,僅需改變模型中的某些參數(shù)。

4.2 模型的缺點

本模型中忽略因素較多,組長需及時協(xié)調(diào)隊員的行進,工作量較大,探測任務(wù)未全部完成時,部分隊員已處于未工作狀態(tài)。

[1]薛定宇,陳陽泉.高等應(yīng)用數(shù)學問題的 MATLAB求解[M].北京:清華大學出版社,2004.

[2]何文章.大學數(shù)學實驗 [M].哈爾濱:哈爾濱工程大學出版社,1999.

[3]王兵團.數(shù)學建模基礎(chǔ)[M].北京:北京交通大學出版社,清華大學出版社,2004.

TP391

A

1674-6341(2010)01-0047-04

2009-12-02

劉鋒 (1980-),男,黑龍江密山人,講師,軟件教研室主任,碩士,從事軟件開發(fā)和數(shù)據(jù)庫方向研究。

責任編輯:柴造坡