p-群與Abel群的判定

楊 艷

(襄樊學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北 襄樊 441053)

p-群與Abel群的判定

楊 艷

(襄樊學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北 襄樊 441053)

p-群是有限群中非常重要的一類(lèi)群，這一點(diǎn)在sylow定理中就得以體現(xiàn)，而pn階群總是冪零的，因此對(duì)pn階群和交換群的關(guān)系可以從兩個(gè)方面考慮：1)pn階的群在什么情況下是交換的，并找出相應(yīng)的類(lèi)型，2)通過(guò)研究群G的sylow子群以判斷群G的交換性.

sylow子群；冪零群；p-群；Abel群

群論中，依照群的交換性對(duì)群進(jìn)行分類(lèi)是很自然也很重要的問(wèn)題，因此可以把群分為Abel群和非Abel群. 而Abel群的理論作為群論的一個(gè)分支本身也具有相當(dāng)豐富的內(nèi)容，就像Laszlo Fuchs說(shuō)過(guò)的，群論中很少有性質(zhì)能夠像交換性這樣具有深遠(yuǎn)的影響. 事實(shí)上，群論中非常重要的一些概念，如可解、冪零等都是由交換性衍生而來(lái)的[1-3].

國(guó)內(nèi)外對(duì)于Abel群的研究一直沒(méi)有停止過(guò)，這其中包括對(duì)交換性的判定、Abel群的自同構(gòu)、自由群、有限p-群、可解群、冪零群等諸多問(wèn)題. Hall. P、Higman. G、Kulikov. L. Ya、Robison. D. J. S等人對(duì)這些問(wèn)題就進(jìn)行過(guò)深入的研究，并取得了很好的結(jié)果[4-5].

給出一個(gè)群G，判斷它是否為Abel群甚至是循環(huán)群、有限生成Abel群等是很基礎(chǔ)也是很重要的理論.對(duì)于不同形式的群，因?yàn)樗哂械男再|(zhì)的獨(dú)特性，通常會(huì)找出一些相對(duì)應(yīng)的特別的方法. 同時(shí)，也可以從不同的角度對(duì)其進(jìn)行判斷，比如它的一些特殊子群、有限群的階、它的自同構(gòu)群的結(jié)構(gòu)等. 這部分內(nèi)容在Abel群理論中是很豐富的.

1 關(guān)于p-群的交換性

引理1 非平凡的有限p-群的中心是非平凡的.

定理1 有限p-群是冪零的.

證明：令G是一個(gè)有限p-群，且|G|>1，則由引理1可知Z(G)>1， 因此我們可以對(duì)群的階作歸納，即知G/Z(G)是冪零的.

然后做一個(gè)自然同態(tài)，

這樣可以找到一個(gè)G的一個(gè)中心列：

定理2 若|G|=p2，則G是Abel群，其中p是素?cái)?shù).

證明：由引理1可知|Z(G)|=p或p2，因此|G/Z(G)|=p或1，即G/Z(G)是循環(huán)群，設(shè)G/Z(G)=gZ(G)，由此G=g,Z(G)，即G是Abel的.

但當(dāng)|G|=pn,n≥3時(shí)，此定理不一定成立.

例：對(duì)稱群D8={T,T2,T3,T4,ST,ST2,ST3,ST4}，其中T4=1,S2=1,ST=T?1S，顯然|D8|=23，但不是交換群.

接下來(lái)重點(diǎn)考察p3階群的情形.

若群G的階為p3且G為交換群，則G一定與以下群同構(gòu)

1) G?Zp3，此時(shí)G為循環(huán)群；

2) G?Zp2⊕Zp;

3) G?Zp⊕Zp⊕Zp

定理3 若群G的階為p3且G為非交換群，則G一定與以下群同構(gòu)：

1) 當(dāng)p=2時(shí)

證明：任取G的正規(guī)子群N，則因?yàn)閨G/N|≤p2，G/N為交換群，得

再注意到G中必?zé)op3階元素，可以分下面兩種情形.

設(shè)G中有p2階元素a，這時(shí)a是G的極大子群，即aG，因?yàn)閍p是a的特征子群，所以apG，由前面的分析知G'=ap

1111取i滿足ik≡1(mod p)，令b=b1i，則有

于是G有關(guān)系

b1的階不為p. 因?yàn)閎1p∈a，可令b1p=akp，如果p≠2，則由

這時(shí)以b代b1，得G有如下關(guān)系式

G中無(wú)p2階元素.

若p=2，由G的指數(shù)為2可知G一定是交換群.

令c=[a,b]，這時(shí)有

2 Sylow子群與群的交換性

引理2 設(shè)G為有限群，A為G的極大交換子群，則A=CG(A).

證明：若CG(A)>A，取x∈CG(A)，令B=x,A，則B交換且B>A，，矛盾于A的選取，故A=CG(A).

引理3 G為冪零群，若H

定理4 設(shè)G冪零，則G交換當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)每個(gè)sylow子群的極大子群A有CG(A)=NG(A)

證明：必要性顯然成立，下面證明充分性.

設(shè)P為G的任一sylow子群，A為P的極大子群.則由CG(A)=NG(A)，可知A交換. 若P不交換，則A為P的極大交換子群，由引理2，A=CP(A)=NP(A). 再由引理3，知P=A，矛盾，故P交換，又G冪零，由P的任意性，G交換.

[1] ROSE JOHN S. A Course on Group Theory[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1978.

[2] DEREK J S ROBINSON, GEHRING F W, AXLER SHELDON. A Course in the Theory of Groups[M]. New York: Springer, 1995.

[3] WARFIELD R B. Nilpotent Groups[M]. Berlin: Springer, 1976.

[4] LASZLO FUCHS. .Abelian groups in Hungary [J]. Rocky Mountain J. Math., 2002, 32(4):1181-1195.

[5] CURRAN M J. The automorphism group of a non split metacyclic p-group[J]. Arch. Math. (Basel), 2008, 90(6): 483–489.

Judgment of p-Group and Abel Group

YANG Yan
(School of Mathematical and Computer Sciences, Xiangfan University, Xiangfan 441053, China)

p-subgroup of a finite group is a very important group which can be seen in Sylow theorem . And we know that p-group is nilpotent, so the relation of p-group and Abel group can be considered from two aspects. One is when p-group is abelian. The other is to judge the group is abelian or not through the study of sylow-subgroup of a group.

Sylow subgroup; Nilpotent group; p-group; Abel group

O157

A

1009-2854(2010)11-0017-03

(責(zé)任編輯：饒 超)

2010-10-27

應(yīng)用數(shù)學(xué)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放基金資助

楊 艷(1981— ), 女, 湖北襄樊人, 襄樊學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院講師.