雙向S-屬性粗糙集及其性質(zhì)

郭志林

雙向S-屬性粗糙集及其性質(zhì)

郭志林

(商丘師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,河南商丘476000)

針對S-粗糙集中元素的動態(tài)特性,在屬性集及屬性測度理論基礎(chǔ)上,提出了雙向S-屬性粗糙集的概念,討論了雙向S-屬性粗糙集的性質(zhì),并就雙向S-屬性粗糙集的精度進行了討論.

雙向S-粗糙集;屬性集;屬性測度;粗糙集;粗糙度

Pawlak粗糙集模型[1,2]的一個局限性是它所處理的分類必須是完全正確的或是肯定的.因為它是嚴(yán)格按照等價類來分類的,因而它的分類是精確的,即“包含”或“不包含”,而沒有某種程度上的“包含”或“屬于”,所以粗糙集擴展模型的研究已成為粗糙集理論新的研究熱點[3,4].Z.Pawlak粗糙集只是研究了系統(tǒng)的靜態(tài)特性.針對具有動態(tài)特性的集合X?U,史開泉教授在文[5]中提出了S-粗糙集(singular rough sets),給出了S-粗糙集的兩類結(jié)構(gòu),對S-粗糙集的特性和應(yīng)用給出了進一步的討論[5-9].在粗糙集模型中,論域U上的任意一個經(jīng)典集合A不一定能用知識庫(U,R)中的知識來精確的描述,這時就用A關(guān)于(U,R)的一對上下近似來描述.但在實際生活中人們涉及的知識或概念往往是模糊的不確定的,我們只能確定它具有某些屬性.這樣,對于對象空間U的一個對象x和屬性集R上的屬性集合A,我們不能簡單地說x是“絕對”屬于A還是不屬于A,而只能說x在多大程度上屬于A.這時用它的屬性來描述就顯得非常方便.本文根據(jù)程乾生教授提出的屬性數(shù)學(xué)[10,11]的有關(guān)概念,結(jié)合元素的動態(tài)特性,在文獻[12]的基礎(chǔ)上,提出了雙向S-屬性粗糙集的概念,建立了雙向S-屬性粗糙集的數(shù)學(xué)模型,就滿足不同屬性測度要求的屬性集,給出帶參數(shù)α,β[13]的雙向S-屬性粗糙集模型.并討論了雙向S-屬性粗糙集的性質(zhì).

1 預(yù)備知識

1.1 雙向S-粗糙集

定義1.1.1[5]給定U,F是定義在U上的元素遷移族,稱X＊＊?U是U上的雙向奇異集合(t wo direction singular sets),簡稱雙向S-集合,如果f,ˉf∈F,而且

其中X′=X{x|x∈X,ˉf(x)=u∈X}稱作X的虧集,={x|x∈X,ˉf(x)=u∈X}是X?U的ˉf-萎縮.

這里,X是Z.Pawlak粗糙集(R-(X),R-(X)中的集合,X?U;“萎縮”一詞的意義是:集合X中的元素得到刪除,X變成,中元素的個數(shù)少于X中元素個數(shù),Card()

定義1.1.2[5]設(shè)X＊＊是U上的雙向S-集合,稱(R,F)o(X＊＊)是X＊＊的下近似,如果

稱(R,F)o(X＊＊)是的X＊＊上近似,如果稱集合對((R,F)o(X＊＊),(R,F)o(X＊＊))是X＊＊?U的雙向奇異粗糙集(two direction singular rough sets),簡稱雙向S-粗糙集.

稱bnR(X＊＊)是X＊＊?U的邊界,而且

關(guān)于雙向S-粗糙集的意義及應(yīng)用請參考文獻[5-9].

1.2 屬性集與屬性可測空間

定義1.2.1[10,11]設(shè)U是研究對象的全體,稱為對象空間,X為U中元素的某類屬性,稱為屬性空間或最大屬性集,屬性空間X的任一子集A稱為屬性集.

屬性集A與普通集合具有類似的運算法則,詳細(xì)內(nèi)容請參考文獻[10,11].定義1.2.2[10,11]設(shè)R為X上的一些屬性集所組成的集合,如果R滿足(1)如果A∈R,則ˉA∈R;(2)如果A∈R,B∈R,則A∪B∈R,那么,稱R為屬性代數(shù),如果屬性代數(shù)R還滿足:?Ai∈R,i=1,2,…,有∪iAi∈R,則稱R為屬性σ代數(shù),稱(X,R)為屬性可測空間.

定義1.2.3[10,11]設(shè)x為X中的一個元素,A為一個屬性集,μA(x)表示“x具有屬性A”的程度,稱為x∈A的屬性測度(0≤μA(x)≤1).

定義1.2.4[10,11]設(shè)(X,R)為屬性可測空間,稱μ(x)為(X,R)上的屬性測度,如果

(1)μA(x)≥0,?A∈R;(2)μX(x)=1;(3)若Ai∈R,Ai∩Aj=?(i≠j),則μ

μ(x))為屬性測度空間.

2 雙向S-屬性粗糙集

設(shè)U為對象空間,(X,R,μ(x))為屬性測度空間.X＊＊是R?X上的雙向S-集合,按定義,?x∈U,0≤μx(X＊＊)≤1.若μx(X＊＊)=0,則認(rèn)為x完全不屬于X＊＊,若μx(X＊＊)=1,則認(rèn)為x完全屬于X＊＊,若0<μx(X＊＊)<1,則說x依測度μx(X＊＊)屬于X＊＊,這時在完全屬于X＊＊和完全不屬于X＊＊之間呈現(xiàn)出一種中間的過度狀態(tài).有時,我們需要研究滿足一定的屬性測度要求的屬性集的性質(zhì),由此,我們給出帶參數(shù)α,β[13]的雙向S-屬性粗糙集模型.

定義2.1 設(shè)U為對象空間,(X,R,μ(x))為屬性測度空間. X＊＊是R?X上的雙向S-集合,則X＊＊關(guān)

其中[x]R為元素x在屬性R下的等價類.若XR＊＊(x)=XˉR＊＊(x),則稱X＊＊是可定義的,否則稱X＊＊是屬性粗糙集(attribute rough sets),稱XˉR＊＊(x)是X＊＊關(guān)于(X,R,μ(x))的正域,稱～XˉR＊＊(x)是關(guān)于(X,R,μ(x))的負(fù)域,稱XˉR＊＊(x)∩(～XˉR＊＊(x))為X＊＊的邊界(～XˉR＊＊(x)為XˉR＊＊(x)的補集).

當(dāng)屬性R比較明確時,我們將下標(biāo)R取掉,XR＊＊(x)簡記為X＊＊,XˉR＊＊(x)簡記為Xˉ＊＊.

定理2.1 設(shè)(X,R,μ(x))為屬性測度空間.X＊＊,Y＊＊是R?X上的雙向S-集合,由定義2.1給出的下近似和上近似具有下列性質(zhì):

證明 我們只證明前半部分性質(zhì),后半部分性質(zhì)類似可證明.

(1)顯然.

(6)由定義2.1,顯然.

定義2.2 設(shè)(X,R,μ(x))為屬性測度空間,X＊＊是R?X上的雙向S-集合,定義X＊＊關(guān)于(X,R,μ(x))的粗糙度為ρR(X＊＊),如果

當(dāng)|ˉX＊＊|=0時,約定ρR(X＊＊)=0;

顯然,0≤ρR(X＊＊)≤1,0≤ηR(X＊＊)≤1.

若X＊＊是可定義的,則ρR(X＊＊)=0,ηR(X＊＊)=1.

定義2.3 設(shè)U為對象空間,(X,R,μ(x))為屬性測度空間. X＊＊是R?X上的雙向S-集合,則X＊＊關(guān)于屬性測度空間(X,R,μ(x))依參數(shù)0≤β<α≤1的下近似(R,F)o(X＊(α＊))和上近似(R,F)o(X＊(β＊))分別定義為

若(R,F)o(X＊(α＊))=(R,F)o(X＊(β＊)),則稱X＊＊關(guān)于屬性測度空間(X,R,μ(x))依參數(shù)α,β是可定義的,否則稱X＊＊是不可定義的或依參數(shù)α,β的屬性粗糙集.

X＊＊關(guān)于屬性空間(X,R,μ(x))依參數(shù)α,β的正域、負(fù)域和邊界分別定義為

(R,F)o(X＊(α＊))可以解釋為U中肯定屬于屬性集X＊＊的屬性測度不小于α的那些對象的全體,(R,F)o(X＊(β＊))可解釋為U中可能屬于屬性集X＊＊的屬性測度不小于β的那些對象的全體.顯然

這樣,(R,F)o(X＊(α＊))又可以解釋為U中肯定屬于屬性集X＊＊的屬性測度不小于α的那些對象所在屬性類的并集,(R,F)o(X＊(β＊))可解釋為U中可能屬于屬性集X＊＊的屬性測度不小于β的那些對象所在屬性類的并集.

定義2.4 設(shè)U為對象空間,(X,R,μ(x))為屬性測度空間.X＊＊是R?X上的雙向S-集合,對于0≤β<α≤1,定義X＊＊關(guān)于參數(shù)α,β的粗糙度ρ(X＊＊,α,β)為

當(dāng)|(R,F)o(X＊(β＊))|=0時,約定ρ(X＊＊,α,β)=0.

定理2.2 當(dāng)X＊＊為經(jīng)典集合時,?α,β∈(0,1],(R,F)o(X＊(α＊))和(R,F)o(X＊(β＊))分別退化為X＊＊在Pawlak意義下關(guān)于(U,R)的下近似RX＊＊和上近似RˉX＊＊.

證明 ?α∈(0,1],由于X＊＊是經(jīng)典集合,因此μX＊＊(x)∈{0,1},從而

同理可證(R,F)o(X＊(β＊))=RˉX＊＊.

3 雙向S-屬性粗糙集的性質(zhì)

性質(zhì)3.1 設(shè)(X,R,μ(x))為屬性測度空間.X＊＊,Y＊＊是R?X上的雙向S-集合,則對于參數(shù)0≤β<α≤1有

證明 由定義2.3和定理2.1直接可得.

由定義2.3容易得到

性質(zhì)3.2 (1)0≤ρ(X＊＊,α,β)≤1,

(2)若β固定,則ρ(X＊＊,α,β)隨α增加而增加,若α固定,則ρ(X＊＊,α,β)隨β增加而減少.

性質(zhì)3.3 設(shè)U為對象空間,(X,R,μ(x))為屬性測度空間.X＊＊,Y＊＊是R?X上的雙向S-集合,且X＊＊?Y＊＊,0≤β<α≤1,則

(1)若(R,F)o(X＊(β＊))=(R,F)o(Y＊(β＊)),則ρ(Y＊＊,α,β)≤ρ(X＊＊,α,β),

(2)若(R,F)o(X＊(α＊))=(R,F)o(Y＊(α＊)),則ρ(X＊＊,α,β)≤ρ(Y＊＊,α,β).

證明 由性質(zhì)3.1(4)知(R,F)o(X＊＊(α))?(R,F)o(Y＊＊(α))且(R,F)o(X＊＊(β))?(R,F)o(Y＊＊(β))

從而由定義2.4即得(1),(2)成立.

性質(zhì)3.3說明由X＊＊?Y＊＊不能簡單的判別ρ(X＊＊,α,β)和ρ(Y＊＊,α,β)的大小.

性質(zhì)3.4 設(shè)U為對象空間,(X,R,μ(x))為屬性測度空間.X＊＊,Y＊＊是R?X上的雙向S-集合,0≤β< α≤1,則

證明 由性質(zhì)3.1知

由于對于任意的有限集A,B有

從而

設(shè)S也是X上的一些屬性集所組成的集合,其構(gòu)成的屬性測度空間為(X,S,μ(x)).若雙向S-集合X＊＊關(guān)于屬性測度空間(X,S,μ(x))的上、下近似分別記為(x)和(x),依參數(shù)0≤β<α≤1的下近似和上近似分別記為(R,F)(X)和(R,F)(X),記ρS(X＊＊,α,β)和ρR(X＊＊,α,β)分別為X＊＊關(guān)于屬性測度空間(X,S,μ(x))和(X,R,μ(x))中關(guān)于α,β的粗糙度,則有

性質(zhì)3.5 若S?R.X＊＊是S?R?X上的雙向S-集合,0≤β<α≤1,則

性質(zhì)3.6 若S?R,X＊＊是S?R?X上的雙向S-集合,則

(1)ρS(X＊＊)≤ρR(X＊＊),

(2)ρS(X＊＊,α,β)≤ρR(X＊＊,α,β).

(2)由性質(zhì)3.5(2)有,

從而由定義2.4,

性質(zhì)3.6說明劃分越細(xì),所得近似的粗糙度越小.由此,我們可以通過調(diào)整參數(shù)α,β的取值,或是通過對對象空間劃分的加細(xì)來減少屬性集合的粗糙度,從而使問題的解決更靈活更貼近實際.

4 結(jié)束語

本文針對雙向S-粗糙集的動態(tài)特征,將雙向S-粗糙集與屬性可測理論結(jié)合起來,得到了雙向S-屬性粗糙集模型及依參量的雙向S-屬性粗糙集模型,并對參量的不同取值討論了粗糙度的不同變化情況,從而說明雙向S-粗糙集是對Pawlak粗糙集和S-粗糙集的進一步完善和補充,為動態(tài)屬性決策提供了理論論據(jù).限于篇幅,我們將在后繼文章中繼續(xù)討論不同參數(shù)α,β對雙向S-屬性粗糙集的影響以及這種模型下集合的相對可辨別性、屬性的近似依賴性等.

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Two-direction Singular Attribute Rough Sets and It′s Properties

GUO Zhi-lin
(Departm ent ofM athematics,Shangqiu Nor mal College,Shangqiu476000,China)

Considering the dynamic characteristics of the elements in rough sets,two direction singular attribute rough setsmodel is presented based on the theory of attribute sets and attribute measure.Moreover,the properties of the two direction singular attribute rough sets,the precision of it is discussed.

t wo direction singular rough sets;attribute sets;attribute measure;rough sets;roughnessmeasure

O159

A

2009-12-01;

2010-09-05

河南省自然科學(xué)基金(092102210152);河南省政府政策研究招標(biāo)課題(B373)

郭志林(1963-),男,回族,副教授,研究方向為粗糙集理論及應(yīng)用.E-mail:guozhilin112@126.com