判斷一類雙系統(tǒng)同時精確可觀測的充分條件

楊 威,李勝家

判斷一類雙系統(tǒng)同時精確可觀測的充分條件

楊 威,李勝家

(山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西太原030006)

利用反自伴算子生成系統(tǒng)是精確可觀測的Hautus條件,得到判斷如下雙系統(tǒng)同時精確可觀測的充分條件.

線性系統(tǒng);Hautus條件;同時精確可觀測性

彈性系統(tǒng)的振動控制和邊界控制是數(shù)學(xué)工作者和工程人員們一直以來所關(guān)心的一種重要的分布參數(shù)系統(tǒng)問題.近些年來,人們對于彈性系統(tǒng)的邊界控制進行了廣泛的研究,在分布參數(shù)邊界控制系統(tǒng)的精確可控性、可觀測性、穩(wěn)定性和最優(yōu)控制的研究中得取了一些很好的結(jié)果,見文獻[1-3].此外,在分布參數(shù)系統(tǒng)已得結(jié)論的基礎(chǔ)上,許多學(xué)者開始尋找雙系統(tǒng)乃至多系統(tǒng)同時可控和同時可觀測的判斷條件.本文考慮如下兩個無窮維抽象線性系統(tǒng)(A1,C1)和(A2,C2)的同時精確可觀測性,其狀態(tài)分別用z1和z2表示:

其中,“·”表示對時間t的微分,A1和A2分別是相應(yīng)狀態(tài)空間上強連續(xù)算子半群的生成元,C1和C2為相容性觀測算子.

同時精確可控性和可觀測性首先是由Russell在文[4]中所提出的,它也是Lions在文[5]第六章所研究的內(nèi)容.該問題主要討論如何判斷無窮維雙系統(tǒng)是同時精確可控和同時精確可觀測的.但是到目前為止還沒有一個能夠從本質(zhì)上判斷無窮維雙系統(tǒng)是同時精確可控和同時精確可觀測的充要條件,它仍然是一個公開問題.許多學(xué)者都對該問題進行了深入的研究,并且得到了一些比較好的結(jié)果,見文獻[6-8].本文利用反自伴算子生成系統(tǒng)是精確可觀測的Hautus條件,得到了判斷上述雙系統(tǒng)同時精確可觀測的充分條件.

1 主要定理及其應(yīng)用

假設(shè)X是Hilbert空間,算子A是空間X上強連續(xù)半群(T(t))t≥0的無窮小生成元.定義Hilbert空間X1=(D(A),‖·‖1),其中‖z‖1=‖(βI-A)z‖,β∈ρ(A)固定.在文[9]中,關(guān)于無窮維空間上反自伴算子生成系統(tǒng)是精確可觀測的Hautus條件為:設(shè)反自伴算子A在Hilbert空間X上生成C0-半群(T(t))t≥0, Y是Hilbert空間且算子C∈L(X1,Y)是對于半群(T(t))t≥0的相容性觀測算子,那么系統(tǒng)(A,C)是精確可觀測的當且僅當存在正常數(shù)M,m使得:

定理1 對于j∈{1,2},設(shè)反自伴算子Aj是Hilbert空間Xj上強連續(xù)半群(Tj(t))t≥0的無窮小生成元,Y是Hilbert空間且Cj∈L(Xj1,Y)是對于半群Tj的相容性觀測算子.設(shè)系統(tǒng)(A1,C1)和(A2,C2)都是精確可觀測的,如果系統(tǒng)還滿足對于任意的z1∈D(A1),z2∈D(A2),函數(shù)

在x=0處有φ′(0)≥0,那么一定存在時刻T0>0,使得雙系統(tǒng)(A1,C1)和(A2,C2)在任何時刻T>T0是同時精確可觀測的.

證明:由于系統(tǒng)(A1,C1)和(A2,C2)都是精確可觀測的,故存在Mi,mi>0(i=1,2),滿足:

定義:

為了說明雙系統(tǒng)(A1,C1)和(A2,C2)的同時精確可觀測性,只需證明系統(tǒng)(A,C)是精確可觀測的.利用(1), (2)兩式:對于任意的Φ∈H1(R),z1∈D(A1),z2∈D(A2),有:

即:

事實上,取M2=M21+M22,m2=2(m21+m22),并且利用(3),(4)式有:

由于對于任意的z1∈D(A1),z2∈D(A2),函數(shù)φ(x)=‖C1T1tz1+xC2T2tz2‖2在x=0處有φ′(0)≥0.所以有

即:對于任意的Φ∈H1(R),z1∈D(A1),z2∈D(A2),存在正常數(shù)M,m使(6)式成立.

下面給出(6)式左端的一個下界,由于算子A1,A2均是反自伴算子,故算子仍然為一個反自伴算子,故半群是一個酉群,因此:

其中

對ψ≠0且τ充分大時,就有Iτ(ψ)>0.因此,便得雙系統(tǒng)(A1,C1)和(A2,C2)同時精確可觀測不等式:

如果選取:

則當τ>Mπ時,Iτ(ψ)>0,故系統(tǒng)(A1,C1)和(A2,C2)在時刻T>T0=Mπ是同時精確可觀測的.

例1 考慮長度為π的彈性弦波動方程:定義狀態(tài)空間為X=H10(0,π)∩L2[0,π],在下述內(nèi)積的定義下,該空間為一個Hilbert空間:定義算子A:D(A)→X為:其中D(A)=[H2(0,π)∩H10(0,π)]×H10(0,π).用Z＊表示非零整數(shù),那么對于任意的n∈Z＊,記φn(x)=sin(nx).容易驗證下面一組向量(Φn)n∈Z＊:

為算子A的相應(yīng)于特征值λn=in,n∈Z＊的特征向量,并且構(gòu)成空間X的一組標準正交基.同時,算子A還生成空間X上的等距半群T(t):

其中,ψn(x)=cos(nx),?n∈Z＊.利用指數(shù)族{eint}n∈Z＊在L2[0,2π]中的正交性,可知:

因為φ-n=-φn且ψ-n=ψn,故有:

再利用(ψn)n≥0和(φn)n≥0在L2[0,π]中的正交性,有:

因此,可知算子C是相容性觀測算子且系統(tǒng)(9)在時刻T≥2π是精確可觀測的.同樣的方法,還是考慮系統(tǒng)(9),但此時選用的觀測算子為:

所以,仍然有算子～C是相容性觀測算子且系統(tǒng)(A,～C)在時刻T≥2π是精確可觀測的.

利用定理1可知:系統(tǒng)(A,C)和(A,～C)在T>2π的某個時刻以后是同時精確可觀測的.

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Sufficient Conditions for Judging Simultaneous Exact Observability of a Class of Two Systems

YANG Wei,LI Sheng-jia
(School of Mathematical Science,S hanxi University,Taiyuan030006,China)

By using of Hautus conditons for exact observability with a skew-adjoint generator,we obtain the sufficient conditons for simultaneous exact observability of the following two systems.

linear system;Hautus conditions;simultaneous exact observability

O177

A

0253-2395(2010)02-0169-04

2009-04-08

山西省自然科學(xué)基金(2007011002)

楊 威(1982-),男,山西大同人,助教,主要從事分布參數(shù)控制系統(tǒng)研究.E-mail:yangwei@sxu.edu.cn

文章編號:0253-2395(2010)02-0238-06