Banach空間中一階非線性微分方程組的終值問(wèn)題解的存在性

張海燕

（宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 宿州234000）

Banach空間中一階非線性微分方程組的終值問(wèn)題解的存在性

張海燕

（宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 宿州234000）

用Mnch不動(dòng)點(diǎn)定理，研究了Banach空間中一階微分方程組的終值問(wèn)題，在較寬松的條件下獲得了解的新存在性定理，改進(jìn)和推廣了某些已知的結(jié)果.

Banach空間；終值問(wèn)題；Mnch不動(dòng)點(diǎn)定理；非緊性測(cè)度

1 引言

有關(guān)一階非線性常微分方程終值問(wèn)題，文獻(xiàn)［1－2］在實(shí)空間對(duì)終值問(wèn)題作了基礎(chǔ)性討論，文獻(xiàn)［3－4］利用錐理論結(jié)合上下解方法將其推廣到Banach空間中，得到了更為一般的結(jié)果，文獻(xiàn)［5］在一定的緊型條件下，對(duì)系數(shù)加以限制，利用Sadovskii不動(dòng)點(diǎn)定理給出了其解的存在性定理，他們所用的限制性條件都較為嚴(yán)格，對(duì)先驗(yàn)估計(jì)和非緊性測(cè)度估計(jì)有較強(qiáng)的要求.而且對(duì)于Banach空間方程組的終值問(wèn)題至今未有很好的結(jié)果，受文獻(xiàn)［1－6］啟發(fā)，本文去掉了上述一些較強(qiáng)的限制性條件，在較寬松的條件下，利用Mnch不動(dòng)點(diǎn)定理，獲得了Banach空間一階微分方程組的終值問(wèn)題解的存在性定理.

令（E，‖·‖）是 Banach空間，J＝［0，＋∞），R＋＝（0，＋∞），f，g∈C［J×E×E，E］，u∞∈E且有界.本文考察Banach空間E中一階非線性微分方程組的終值問(wèn)題（TVP）：

2 預(yù)備知識(shí)和引理

易知（BC［J，E］，‖·‖B）為Banach空間.令X＝BC［J，E］×BC［J，E］，定義范數(shù)

可證X在范數(shù)‖（u，v）‖X下為一Banach空間.定義算子A：X→X如下：

其中

對(duì)Banach空間中的有界集C，用α（C）表示Kuratowski非緊性測(cè)度.有關(guān)非緊性測(cè)度的詳細(xì)定義及性質(zhì)參見文獻(xiàn)［7］.另記Br＝｛u∈BC［J，E］｜‖u‖≤r｝（r＞0）.

下面給出幾個(gè)我們需要用到的引理：

引理1［8］設(shè)m（t），γ（t）∈C［J，R＋］，，若，t∈J，其中K≥0，M＞0，則，t∈J.

引理2［5］設(shè)B＝｛un（t）｝?C［J，E］，若存在ρ（t）∈L［J，R＋］，使得‖un（t）‖＜ρ（t）（n＝1，2，…），則α（B（t）），在R＋上可積，并且

引理3［9］（Mnch定理）設(shè)E是Banach空間，Ω?E是有界開集，θ∈Ω，A：E→E是一個(gè)連續(xù)算子，且滿足下列條件：

（1）x≠λAx，?λ∈［0，1］，x∈?Ω；

3 主要定理

為方便敘述，先列出下列假設(shè)：

‖f（t，u，v）‖≤a1（t）＋a2（t）‖u‖＋a3（t）‖v‖，

‖g（t，u，v）‖≤b1（t）＋b2（t）‖u‖＋b3（t）‖v‖；

（H2）?t∈J和H1，H2?Br，存在ci（t），di（t）∈C［J，R＋］，，使得

α（f（t，H1，H2））≤c1（t）α（H1）＋c2（t）α（H2），

α（g（t，H1，H2））≤d1（t）α（H1）＋d2（t）α（H2）.

定理3.1 假設(shè)條件（H1）－（H2）成立，則TVP（1）在BC［J，E］∪C1［J，E］×BC［J，E］∪C1［J，E］中至少有一個(gè)解.

證明 由算子 A的定義易知（u，v）∈BC［J，E］∪C1［J，E］×BC［J，E］∪C1［J，E］是TVP（1）的解等價(jià)于（u，v）∈X是算子A的不動(dòng)點(diǎn).類似于文［6］的證明方法，容易證明A是連續(xù)算子.下面證明算子A至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

首先證明Ω0＝｛（u，v）∈X｜（u，v）＝λA（u，v），0≤λ≤1｝是X中的有界集.

事實(shí)上，任給（u，v）∈Ω0，則存在0≤λ≤1，使得

當(dāng)t∈J＝［0，＋∞）時(shí)，由（5）－（7）式及假設(shè)（H1）得

令

則m（t）∈C［J，R＋］，于是結(jié)合（8）（9）式得

故由引理1知：

因此，‖u‖B＋‖v‖B≤M，t∈J，即‖（u，v）‖X≤M，故Ω0是X中的有界集.

取R＞M，令Ω＝｛（u，v）∈BC［J，E］｜‖（u，v）‖X＜R｝，則Ω為X中的有界開集.并且（θ，θ）∈Ω，對(duì)任何（u，v）∈?Ω，（u，v）≠λA（u，v），?λ∈［0，1］.即引理3的條件（1）滿足.

則

由（5）（6）式和假設(shè)（H1）容易證明Ai（H1×H2）（i＝1，2）

在區(qū)間J上是等度連續(xù)的，從而由（10）式推出Hi（i＝1，2）

在區(qū)間J上是等度連續(xù)的.令

由非緊性測(cè)度的性質(zhì)，算子A的定義，假設(shè)（H1），（H2）和（10）及引理2，我們有

于是由引理1知，w（t）＝0，t∈J，于是α（Hi（t））＝0（i＝1，2），t∈J.即Hi（i＝1，2）是BC［J，E］中的相對(duì)緊集，由（10）可知，H是X中的相對(duì)緊集，引理3的條件（2）滿足.故由引理3知，A在Ω內(nèi)至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

從而TVP（1）在BC［J，E］∩C1［J，E］×BC［J，E］∩C1［J，E］中至少有一個(gè)解.證畢.

注1 當(dāng)E＝R1時(shí)，本文定理1的結(jié)論仍然成立，因此本文推廣了［1－2］中的結(jié)果.

注2 文［5］在使用Sadovskii不動(dòng)點(diǎn)定理研究TVP（1）時(shí)，使用了先驗(yàn)估計(jì)的限制性條件：

本文去掉了上述的限制性條件，利用不動(dòng)點(diǎn)定理獲得了方程組的終值問(wèn)題解的存在性定理，對(duì)于單個(gè)方程情形也是成立的.

注3 文［6］在研究無(wú)窮區(qū)間方程組解的存在性時(shí)，要求f（t，H1，H2），g（t，H1，H2）在Br上是相對(duì)緊的，這是非常強(qiáng)的要求.本文條件相對(duì)弱得多.

注4 本文方法不同于文［1－6］，且去掉了文獻(xiàn)中的先驗(yàn)估計(jì)和緊性條件，在較寬松的條件下得到了無(wú)窮區(qū)間解的存在性定理.

4 應(yīng)用

考慮一階非線性微分方程組的終值問(wèn)題：

結(jié)論 終值問(wèn)題（11）至少有一個(gè)解.

證 令

其中

而

顯然f，g∈C［J×E×E，E］.

對(duì)?x，y∈E，

即

類似文［10］中例題的方法容易知，存在c1（t）＝e－2t，c2（t）＝e－3t，d1（t）＝e－4t，d2（t）＝e－5t.且，，使得對(duì)任何t∈J，有界集H1，H2?E，

α（f（t，H1，H2）＜c1（t）α（H1）＋c2（t）α（H2），α（g（t，H1，H2）＜d1（t）α（H1）＋d2（t）α（H2），故條件（H2）滿足.由定理1即知結(jié)論成立.

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［7］郭大鈞.非線性泛函分析［M］.濟(jì)南：山東科技出版社，2001.

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［10］Zhang Xingqiu.Infinte boundary value problems for first order differential in a Banach［J］.Math.Appl，2005，18（1）：153－160.

Existence of Solutions of Terminal Value Problems for Nonlinear First Order Differential Equations Systems in Banach Spaces

Zhang Haiyan
（School of Mathematics and Statistics，Suzhou University，Suzhou 234000，China）

By using Mnch fixed theorem，we study existence of solutions of terminal value problems for nonlinear first order differential equations systems in Banach spaces.Under weaker conditions，the new existence theorem is obtained and some known results have been improved.

Banach spaces；terminal value problems；Mnch fixed point theorem；measure of noncompactness

0177.91

：A

：1673－1794（2010）05－0004－03

張海燕（1980－），女，講師，碩士，研究方向：應(yīng)用非線性泛函分析。

高校省級(jí)自然科學(xué)項(xiàng)目（KJ2010B226），宿州學(xué)院自然科學(xué)基金（2009yzk17）

2010－07－22