高次非線性薛定諤微分方程的新精確解

董長(zhǎng)紫

（隴東學(xué)院 數(shù)學(xué)系，甘肅 慶陽(yáng) 745000）

非線性薛定諤方程是數(shù)學(xué)物理中一類重要的非線性演化方程。在量子力學(xué)、非線性光學(xué)、電磁學(xué)、等離子體理論、固體物理及玻色-愛因斯坦凝聚等眾多領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。關(guān)于非線性微分方程的求解，已出現(xiàn)了許多精巧的方法。如齊次平衡法[1,2]、雙曲函數(shù)展開法[3,4]、Jacobi橢圓函數(shù)展開法[5,6]、Riccati方程映射法[7]、行波解法[8]等等。2005年，趙敦[9]給出了解非線性偏微分方程精確解的一種有效的方法——直接截?cái)喾?。本文將以直接截?cái)喾榛A(chǔ)，結(jié)合Jacobi橢圓函數(shù)，構(gòu)造方程(1)含橢圓函數(shù)的精確解。

對(duì)于給出的偏微分方程：假設(shè)方程(2)有如下形式的解：

其中 k1,k2,?1,?2均是要被確定的參數(shù)?，F(xiàn)在，只需要處理普通的微分方程：

第一步：假設(shè)φ()ξ有以下的形式：

其中aij， p ， q， r 均是待確定的參數(shù)，指數(shù)τ的值則可以通過(guò)平衡方程(4)中的最高次非線性項(xiàng)和最高次的偏微分項(xiàng)的次數(shù)而確定。 f(ξ)， g(ξ)滿足以下橢圓函數(shù)的條件：

Jacobi橢圓函數(shù)具有一些非常重要的性質(zhì)：

（1）三角函數(shù)的性質(zhì)

（2）Jacobi橢圓函數(shù)的微分

（3）當(dāng)k→0時(shí)，Jacobi橢圓函數(shù)退化為三角函數(shù)

（4）當(dāng)k→1時(shí)，Jacobi橢圓函數(shù)退化為三雙曲函數(shù)

關(guān)于Jacobi橢圓函數(shù)更多的了解，可參閱[6,7]。

第二步：將(5)、(6)代入(4)，則可得到關(guān)于f(ξ)和g(ξ)的多項(xiàng)式；

第三步：令 fi(ξ) gj(ξ)的系數(shù)和在第二步得到的方程的常數(shù)項(xiàng)為0，則可以得到一個(gè)代數(shù)方程組；

第四步：對(duì)于 i +j=0,1,2,…n，解在第三步中得到的代數(shù)系統(tǒng)，而得到所設(shè)參數(shù)的值；

根據(jù)方程(5)、(3)而得到φ(ξ)和方程(2)的精確解。

本文主要討論 (1)的精確解。首先做一個(gè)變換，假設(shè)：

將(7)式代入(1)式并整理其實(shí)部和虛部可得：

對(duì)(8)式兩邊關(guān)于ξ進(jìn)行積分，且積分常數(shù)為0，則有：

比較 (9)(10)式，它們有相同的解，則其系數(shù)應(yīng)滿足：

根據(jù)上式，可得：

因此，可以將求解原方程(1)精確解的問(wèn)題，轉(zhuǎn)換為求解方程(10)的解。為了計(jì)算方便，令：

則方程(10)可以簡(jiǎn)化為：

利用奇次平衡法，平衡φ''(ξ)和φ(ξ )3的次數(shù)，則可得τ =1?，F(xiàn)在來(lái)尋找方程(11)具有以下形式的精確解：

將方程(12)、(6)式代入 (11)，得到關(guān)于f(ξ)和g(ξ)的方程，令其系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)為 0，可得一個(gè)關(guān)于a， b， c， r ，p， q ， k1， ?1的方程組，解其方程組可得以下主要結(jié)果：

則當(dāng) αγ1( k2-1)＞0時(shí)，根據(jù)橢圓函數(shù)的性質(zhì)有：

則當(dāng)α γ1＜0時(shí)，根據(jù)橢圓函數(shù)的性質(zhì)有：

則當(dāng)α γ1＜0時(shí)，根據(jù)橢圓函數(shù)的性質(zhì)有：

則當(dāng)αγ1＞0時(shí)，根據(jù)橢圓函數(shù)的性質(zhì)有：

本文根據(jù)直接截?cái)喾癑acobi橢圓函數(shù)的性質(zhì)，得到了高次非線性薛定諤方程的新的 Jacobi橢圓函數(shù)解?？梢钥吹剑酥苯臃ū纫阎囊话愕姆椒▽?duì)于得到一些具有特殊形式的精確解更直觀且更有效。但是，如果方程不存在假設(shè)形式的解，此方法將無(wú)能為力。需要說(shuō)明的是，此方法不但適用于其它非線性波動(dòng)方程，對(duì)于解常微分方程也適用。