一類對(duì)偶框架小波的刻畫和構(gòu)造

李萬(wàn)社，鄭李娥

（陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西西安710062）

一類對(duì)偶框架小波的刻畫和構(gòu)造

李萬(wàn)社，鄭李娥

（陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西西安710062）

從尺度函數(shù)出發(fā)，利用框架多分辨分析（FMRA），借助于濾波器，在L2（Rd）中構(gòu)造了一對(duì)以整系數(shù)可逆矩陣A為伸縮因子的對(duì)偶框架小波，并找到了正交Parseval框架小波濾波器滿足的一個(gè)充分條件.

框架多分辨分析；尺度函數(shù)；小波框架；對(duì)偶；濾波器

0 引言

在過(guò)去的20多年里，小波分析作為一種新發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)分析方法，無(wú)論是在理論上還是應(yīng)用上都得到了廣泛的研究.現(xiàn)在，小波分析已被應(yīng)用到信號(hào)分析、圖像處理、醫(yī)學(xué)成像與診斷、微分方程、控制論等眾多領(lǐng)域.

Duffin和Schaeffer 1952年在非調(diào)和富氏級(jí)數(shù)的研究中首先引入了框架的概念，框架的冗余使得低精度下獲得的小波系數(shù)能在相對(duì)高的精度下重建原始信號(hào)，一般情況下信號(hào)的表示不唯一，這使得框架的研究有了更廣泛的現(xiàn)實(shí)意義.Daubechies、Chui等眾多學(xué)者在理論和應(yīng)用方面對(duì)小波框架進(jìn)行了深入而細(xì)致的研究[1-9].多分辨分析在框架的構(gòu)造中有著非常重要的作用，研究者研究了框架多分辨分析的重要性質(zhì)，詳細(xì)地刻畫了框架多分辨分析的譜的有關(guān)理論[10-11].Daubechies等人[2]討論了用多分辨分析構(gòu)造框架小波，并給出了快速算法，張之華[4]則在對(duì)偶框架多分辨分析的基礎(chǔ)上討論了擬雙正交框架小波的構(gòu)造.Bownik[5]討論了n維歐幾里得空間上平方可積函數(shù)空間中的仿射系統(tǒng)，對(duì)其性質(zhì)進(jìn)行了描述.Bhatt等人[8]對(duì)正交框架進(jìn)行了探討,并利用濾波器構(gòu)造向量值小波變換，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)多帶數(shù)據(jù)的處理.本文從框架多分辨分析入手，對(duì)對(duì)偶框架小波特別是Parseval框架小波進(jìn)行了深入的刻畫，給出了構(gòu)造對(duì)偶框架的矩陣方法.

1 預(yù)備知識(shí)

在進(jìn)行進(jìn)一步討論之前，我們先介紹一下文中所需的基本符號(hào)、概念和一些已有的結(jié)論.R表示全體實(shí)數(shù)集，Z表示全體整數(shù)集，N表示正整數(shù)集，Rd表示d維歐幾里得空間，L2（Rd）表示Rd上所有平方可積函數(shù)構(gòu)成的空間.I和O分別表示適當(dāng)階數(shù)的單位矩陣和零矩陣.exp表示自然對(duì)數(shù)的底，i表示復(fù)數(shù)的虛數(shù)部分.

定義1 設(shè)H是一個(gè)可分的希爾伯特空間，{xj}j∈Z?H,若存在常數(shù)C1，C2＞0，使

則稱{xj}j∈Z是空間H的框架.若式（1）中第二個(gè)不等式成立，則稱{xj}j∈Z是空間H的一個(gè)Bessel序列.

定義2 設(shè){xj}j∈Z，{~xj}j∈Z是空間H的兩個(gè)框架，如果對(duì)于f∈H，

成立，則稱{xj，}j∈Z是空間H的對(duì)偶框架.如果空間中一個(gè)框架的對(duì)偶框架是其本身，則稱它是Parseval框架.

定義3 假設(shè){xj}j∈Z，{yj}j∈Z是空間H的兩個(gè)框架，如果對(duì)于f∈H，

成立，我們說(shuō)這兩個(gè)框架正交.

設(shè)伸縮矩陣（所有特征值的絕對(duì)值都大于1的矩陣）A是d×d的整系數(shù)可逆矩陣，且det

A=p，矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣記為B，記T*=Zd/AZd，T=Zd/BZd，則商群T*、T的階都為p.

定義4 設(shè){Vj}是L2（Rd）中的閉子空間序列，且滿足下列條件：

則稱{Vj}是L2（Rd）的一個(gè)框架多分辨分析（FMRA），函數(shù)φ稱為尺度函數(shù).若存在W0，使{ψl（·-n），l=1，2，…，r}是W0的框架（其中V0⊕W0=V1），稱是小波函數(shù).如果在上述定義中，將4）中的“框架”改為“Riesz基”，則稱{Vj}是L2（Rd）的一個(gè)多分辨分析（MRA）.

對(duì)于f∈L1（Rd）∩L2（Rd），定義其Fourier變換如下：

式中“*”表示內(nèi)積運(yùn)算，接下來(lái)我們定義兩個(gè)酉算子：

記ψl，m，n=DmTnψl，l=1，2，…，r，m∈Z，n∈Zd，若{ψl，m，n}是L2（Rd）的小波框架，稱是相應(yīng)的框架小波.若是L2（Rd）中的對(duì)偶小波框架，則稱是對(duì)偶框架小波.若是L2（Rd）中的正交小波框架，則稱{ψl，是正交框架小波.

引理1[10]假設(shè)φ∈L2（Rd），令（其中span表示生成的線性空間，閉包是在φ∈L2（Rd）中所取），那么{Vj}是尺度函數(shù)為φ的FMRA當(dāng)且僅當(dāng)：

2）存在某加細(xì)濾波器m0∈L2（Rd），滿足（Bξ）=m0（ξ）（ξ），對(duì)幾乎所有ξ∈Rd；

引理2[5]假設(shè){ψl，m，n}，是空間L2（Rd）的兩個(gè)Bessel序列，并且滿足：對(duì)所有f，g∈L2（Rd）.則是對(duì)偶框架小波.

引理3[5]假設(shè)生成L2（Rd）兩個(gè)小波框架，則這兩個(gè)框架正交當(dāng)且僅當(dāng)

下面兩個(gè)式子成立：

2 對(duì)偶框架小波的構(gòu)造

記Ωφ＝supp[φ，φ]（其中supp表示支撐集），則：

?f∈L2（Rd），定義平移算子τv（v∈T）：τvf=f（·+ηv），其中，η=2πB-1，B-1表示矩陣B的逆矩陣.

可以得到下面的定理.

定理1假設(shè)A是伸縮矩陣，φ和φ~是尺度函數(shù)，且Ωφ=Ωφ~=Ω，m0、是相應(yīng)的加細(xì)濾波器.設(shè)ml，~ml（l=1，2，…，r）是以2πZd為周期的有界函數(shù)，定義如下：

記矩陣

若{ψl，m，n}，都是Bessel序列，滿足*M=diag（τv（χΩ））v∈T（其中M*表示矩陣M的轉(zhuǎn)置矩陣），則是對(duì)偶框架小波.

下證：

設(shè)

將式（11）代入式（10），再作Fourier逆變換，得：

從而?j∈Z，?f∈L2（Rd），有：

對(duì)于L＜0，定義算子TL：L2（Rd）→L2（Rd），TLf=fL，?f∈L2（Rd）.如果我們能夠證明，

對(duì)于L2（Rd）中由帶限函數(shù)組成的稠密子集中所有函數(shù)h：成立，則fL→0（L→-∞）.現(xiàn)在取稠密子集，使函數(shù)h的Fourier變換連續(xù)，有緊支撐且在0的某鄰域內(nèi)為0，有：

其中C是{φL，n}的框架界.而：

推論1假設(shè){Vj，φ}是一個(gè)FMRA，supp[φ，φ]=Ω，m0是相應(yīng)的加細(xì)濾波器，設(shè)ml（l=1，2，…，r）是以2πZd為周期的有界函數(shù)，M如式（7）、（8）所定義.如果{ψl，m，n}是L2（Rd）中Bessel序列，滿足M*M=Ip，則是L2（Rd）中Parseval框架小波.

定理2假設(shè)φ∈L2（Rd），且滿足引理1中尺度函數(shù)的條件，m（ξ）是相應(yīng)的加細(xì)濾波器.設(shè)ml，是以2πZd為周期的有界函數(shù)，如式（7）所定義，記如果：則是正交Parseval框架小波.

3 結(jié)語(yǔ)

本文從框架多分辨分析（FMRA）出發(fā)，運(yùn)用矩陣?yán)碚?、群論以及框架的有關(guān)理論，選取合適的尺度函數(shù)和適當(dāng)?shù)臑V波器，在L2（Rd）中討論了對(duì)偶框架的一些性質(zhì)，給出了用矩陣方法構(gòu)造對(duì)偶框架小波的方法.最后還討論了Parseval框架的構(gòu)造，并找到了構(gòu)造正交Parseval框架小波的矩陣擴(kuò)充方法.

[1] Daubechies I.小波十講[M].李建平，楊萬(wàn)年，譯.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2004.

[2] Daubechies I，Han B，Ron A，et al.Framelets：MRA-based constructions of wavelet frames[J].Appl Comput Harmon Anal，2003，14（1）：1-46.

[3] Chui C K.小波分析導(dǎo)論[M].程正興，譯.西安：西安交通大學(xué)出版社，1995：91-99.

[4]張之華.一對(duì)擬雙正交框架小波[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2008，51（1）：81-90.

[5] Bownik M.A characterizationof affine dualframesin L2（Rn）[J].Appl Comput Harmon Anal，2000，8（1）：203-221.

[6] Li S.A theory of generalized multiresolution structure and pseudoframes of translates[J].J Fourier Anal Appl，2001，7（1）：23-40.

[7] Bakic D，Krishtal I，Wilson E N.Parseval frames waveletswith-dilations[J].Appl Comput Harmon Anal，2005，19（2）：386-431.

[8] Bhatt G，Johnson B D，Weber E.Orthogonal wavelet frames and vector-valued wavelet transforms[J].Appl Comput Harmon Anal，2007，23（1）：215-234.

[9] Zhang Z，Saito N.Constructions of periodic wavelet frames using extension principles[J].Appl Comput Harmon Anal，2009，27（1）：12-23.

[10] Kim H O，Kim R Y，Lim J K.On the spectrums of frame multiresolution analysis[J].J Math Anal Appl，2005，305（2）：528-545.

[11] 辛友明.框架多分辨分析譜的研究[J].華東師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，45（5）：59-65.

Characterization and Construction of Some Dual Frame Wavelets

LI Wan-she，ZHENG Li-e
(College of Mathematics and Information Science，Shaanxi Normal university，Xi’an 710062，Shaanxi，China)

Motivated by the notion of frame multiresolution analysis,with the help of filters,a pair of dual frame wavelets in L2（Rd）with dilated matrix A which entries are all integers from a scaling function are constructed.Furthermore,a sufficient condition satisfied by the filters of orthogonal Parseval frame wavelet is shown.

frame multiresolution analysis；scaling function；wavelet frame；dual；filter bank

O 174.2

A

1001-4217（2010）03-0005-08

2010-03-16

李萬(wàn)社（1963-），男，陜西西安人，教授，博士.研究方向：小波分析及分形理論.E-mail：liwsh@snnu.edu.cn

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10571113）