基于粒子群算法的電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)負(fù)荷分配研究

徐中華 ，馬 龍 ，楊 寧 ，呂培淑

（1.山東電力核電建設(shè)集團(tuán)公司，山東 濟(jì)南 250001；2.山東電力超高壓公司，山東 濟(jì)南 250021；3.山東電力集團(tuán)公司，山東 濟(jì)南 250001；4.青島市平度仁兆中學(xué)，山東 青島 266001）

0 引言

電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)負(fù)荷分配 （Economic Load Dispatch,ELD）的目標(biāo)是在不改變現(xiàn)有設(shè)備的條件下，在系統(tǒng)內(nèi)合理分配各臺(tái)發(fā)電機(jī)組所承擔(dān)的負(fù)荷，以使總的發(fā)電費(fèi)用最低。當(dāng)所有機(jī)組都在最經(jīng)濟(jì)狀態(tài)下運(yùn)行時(shí)可以帶來(lái)巨大的經(jīng)濟(jì)效益，它是經(jīng)濟(jì)調(diào)度中非常重要的問(wèn)題，是電力系統(tǒng)中一類典型的優(yōu)化問(wèn)題。

傳統(tǒng)的解決ELD的方法包括等微增率法，拉格朗日松弛法等經(jīng)典數(shù)學(xué)方法，這些算法要求應(yīng)用對(duì)象有良好的數(shù)學(xué)特性，而實(shí)際的經(jīng)濟(jì)負(fù)荷分配問(wèn)題具有高維性、非凸性、離散性和非線性等特點(diǎn)，這使得經(jīng)典數(shù)學(xué)方法處理ELD問(wèn)題效果不理想［1］。近年來(lái)，隨著人工智能技術(shù)不斷發(fā)展，混沌優(yōu)化算法［2］、遺傳算法［3］等智能算法被廣泛應(yīng)用于 ELD 問(wèn)題的求解中，取得了一定的效果。

由美國(guó)的Kenny和Eberhart在1995年提出的粒子群優(yōu)化算法［4］（particle swarm optimization PSO）是一種源于對(duì)鳥(niǎo)群捕食的行為研究的進(jìn)化計(jì)算技術(shù)。與其他智能優(yōu)化算法相比，粒子群優(yōu)化算法有以下幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)：首先，算法具有很好的普適性，可以適應(yīng)很多不同的應(yīng)用環(huán)境；其次，算法的分布式能力很強(qiáng)，這是由于粒子群算法是進(jìn)化算法中的一種，進(jìn)化算法普遍具有這樣的特點(diǎn)；第三，算法能夠快速收斂；第四，粒子群算法可以很容易的與其他算法混合以進(jìn)行改進(jìn)，從而提高算法的性能。PSO算法已被應(yīng)用于很多研究中［5-6］。本文將PSO算法應(yīng)用于ELD問(wèn)題的研究中，通過(guò)對(duì)實(shí)際經(jīng)濟(jì)負(fù)荷分配算例進(jìn)行仿真，驗(yàn)證了該方法的有效性。

1 電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)負(fù)荷分配的數(shù)學(xué)模型

1.1 目標(biāo)函數(shù)

ELD問(wèn)題在數(shù)學(xué)上可以表示為滿足若干個(gè)等式約束和不等式約束的非線性規(guī)劃問(wèn)題，就是使價(jià)值函數(shù)最小，其價(jià)值函數(shù)為

式中：C為價(jià)值函數(shù)；n為系統(tǒng)內(nèi)發(fā)電機(jī)總數(shù)；為第Pi臺(tái)發(fā)電機(jī)的有功功率；Fi（Pi）為第 Pi臺(tái)發(fā)電機(jī)發(fā)出有功功率 時(shí)，單位時(shí)間所需的能源耗量，即耗量特性。

發(fā)電機(jī)耗量特性曲線常用發(fā)電機(jī)有功功率的二次函數(shù)近似表示，即

式中，ai、bi、ci為常數(shù)。

1.2 約束條件

經(jīng)濟(jì)負(fù)荷分配的約束條件主要考慮發(fā)電機(jī)的運(yùn)行約束條件和功率平衡約束條件。

1）發(fā)電機(jī)的運(yùn)行約束條件

式中，Pimin，Pimax分別為第i臺(tái)發(fā)電機(jī)有功功率的最小值和最大值。

2）功率平衡約束條件

式中，PL為系統(tǒng)內(nèi)的總負(fù)荷;PS為系統(tǒng)的總網(wǎng)損。

1.3 發(fā)電機(jī)耗量曲線的閥點(diǎn)效應(yīng)

在實(shí)際中，在機(jī)組熱運(yùn)行測(cè)試階段，發(fā)電機(jī)的有功功率從最小值緩慢增加到最大值的過(guò)程中，機(jī)組的耗量曲線是起伏的，相當(dāng)于在機(jī)組的耗量曲線上疊加1個(gè)脈動(dòng)效果。造成這種起伏的原因是汽輪機(jī)的調(diào)節(jié)汽門隨著發(fā)電有功功率的增大而依次開(kāi)放所形成的，當(dāng)上一級(jí)汽門已全開(kāi)而下一級(jí)汽門剛開(kāi)時(shí)，蒸汽的流通會(huì)因節(jié)流效應(yīng)產(chǎn)生損失，而導(dǎo)致耗量增大，曲線向上凸起，這種現(xiàn)象稱為閥點(diǎn)效應(yīng)。

閥點(diǎn)效應(yīng)可以表示為

式中，gi、hi為常數(shù)。

2 粒子群算法

粒子群優(yōu)化算法是一種源于對(duì)鳥(niǎo)群捕食的行為研究的進(jìn)化計(jì)算技術(shù)。PSO中，每個(gè)優(yōu)化問(wèn)題的解都是搜索空間中的一只鳥(niǎo)，稱之為“粒子”。所有的粒子都有一個(gè)由被優(yōu)化的函數(shù)決定的適應(yīng)值，每個(gè)粒子還有一個(gè)速度決定他們飛翔的方向和距離。然后粒子們就追隨當(dāng)前的最優(yōu)粒子在解空間中搜索。

PSO算法初始化為一群隨機(jī)粒子，即隨機(jī)解，然后通過(guò)疊代找到最優(yōu)解。在每一次疊代中，粒子通過(guò)跟蹤兩個(gè)“極值”來(lái)更新自己。第一個(gè)就是粒子本身所找到的最優(yōu)解。這個(gè)解叫做個(gè)體極值pBest.另一個(gè)極值是整個(gè)種群目前找到的最優(yōu)解。這個(gè)極值是全局極值gBest。另外也可以不用整個(gè)種群而只是用其中一部分作為粒子的鄰居，那么在所有鄰居中的極值就是局部極值。在找到這兩個(gè)最優(yōu)值時(shí),粒子根據(jù)一定的公式來(lái)更新自己的速度和位置。

在PSO中，假設(shè)由N個(gè)粒子搜索Q維空間，每個(gè)粒子的位置可表示為：xi=（xi1，xi2，…，xiQ），速度可表示為 vi=（vi1，vi2，…，xiQ）。 粒子需要跟蹤的兩個(gè)極值是單個(gè)粒子的歷史最優(yōu)位置Pi和所有粒子的全局最優(yōu)位置Pg，找到這兩個(gè)位置后，粒子更新自己的位置，其更新公式為

式中，ω是保持原來(lái)速度的系數(shù)，稱為慣性權(quán)重；c1是粒子跟蹤自己歷史最優(yōu)值的權(quán)重系數(shù)，它體現(xiàn)了粒子對(duì)自身的認(rèn)知能力；c2是粒子跟蹤群體最優(yōu)值的權(quán)重系數(shù)，它體現(xiàn)了粒子對(duì)整個(gè)群體知識(shí)的認(rèn)知能力；μ、η 是［0，1］區(qū)間內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)；ρ是對(duì)位置更新時(shí)，與速度有關(guān)的一個(gè)系數(shù)，稱為約束因子，通常設(shè)置為1。

粒子群算法的基本流程如圖1所示。

如圖1所示，粒子群算法步驟如下：

1）初始化群體微粒（群體規(guī)模為N），包括隨機(jī)位置和速度，并將每個(gè)粒子的原始位置設(shè)置為原始速度設(shè)置為。

2）求出每個(gè)微粒的適應(yīng)值。

3）對(duì)每個(gè)微粒，將其適應(yīng)值與其經(jīng)過(guò)的最好位置xi（Pi）時(shí)的適應(yīng)值作比較，如果較好，則將其作為當(dāng)前的最好位置 xi（Pi）。

4）根據(jù)公式（7）-（9）更新微粒的速度和位置。

5）檢查各變量是否溢出各自的取值范圍。如果高于其上限值，或低于其下限值，則用相應(yīng)的邊界值替代。

圖1 粒子群算法流程圖

6）根據(jù)終止條件判定是否終止迭代。如果滿足終止條件則終止迭代，否則返回（2）繼續(xù)迭代過(guò)程。

3 算例及仿真結(jié)果比較

本文仿真算例采用文獻(xiàn)［2］的3機(jī)6母線系統(tǒng)實(shí)際算例，發(fā)電機(jī)承擔(dān)的總負(fù)荷為500 MW，考慮閥點(diǎn)效應(yīng)，不考慮系統(tǒng)的網(wǎng)損。各發(fā)電機(jī)的耗量特性及有功功率極限值如表1所示。

表1 各發(fā)電機(jī)耗量特性及有功功率極限值

采用PSO算法進(jìn)行仿真，各參數(shù)分別為：粒子數(shù)目N=40，迭代次數(shù)為kmax=100，慣性權(quán)重w=0.729，c1=c2=1.4962，r1、r2為 0到 1之間的隨機(jī)數(shù)。仿真結(jié)果如表2所示。

比較表2中數(shù)據(jù)可以看出，與ELD的傳統(tǒng)算法相比，采用PSO算法后，總費(fèi)用減少34.60$，總費(fèi)用改善程度明顯?？梢?jiàn)PSO算法是具有一定的優(yōu)勢(shì)的。

表2 PSO算法的算例仿真結(jié)果

4 結(jié)束語(yǔ)

本文將粒子群算法用于電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)負(fù)荷分配中，取得了以下結(jié)論：1）粒子群算法是一種源于對(duì)鳥(niǎo)群捕食的行為研究的進(jìn)化計(jì)算技術(shù)，具有全局優(yōu)化能力強(qiáng)、收斂性好和編程實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)。2）將粒子群算法用于電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)負(fù)荷分配中，可有效解決經(jīng)濟(jì)負(fù)荷分配問(wèn)題，從仿真情況看，可獲得較滿意的解，為粒子群優(yōu)化算法的進(jìn)一步實(shí)用化奠定了基礎(chǔ)。

［1］AI-Sumait， J.S.AL-Othman，A.K.； Sykulski； J.K.Application of pattern search method to power system valve-point economic load dispatch ［J］.International Journal of Electrical Power and Energy Systems,2007,29（10）:720-730

［2］唐巍，李殿璞.電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)負(fù)荷分配的混沌優(yōu)化方法［J］.中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2000（10）：36-40.

［3］何大闊，王福利，毛志忠,等.遺傳算法在電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)負(fù)荷分配中的應(yīng)用［J］.系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2007，19（4）:890-892,900.

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［5］楊波，趙遵廉，陳允平，等.一種求解最優(yōu)潮流問(wèn)題的改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法［J］,電網(wǎng)技術(shù)，2006，30（11）：6-10.

［6］沈廣，陳允平，劉棟.改進(jìn)離散粒子群算法在冷負(fù)荷啟動(dòng)的配電網(wǎng)饋線恢復(fù)中的應(yīng)用［J］，電網(wǎng)技術(shù)，2006，30（7）：55-58.