構(gòu)造輔助函數(shù)法在《數(shù)學(xué)分析》中的應(yīng)用

李景琴

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

構(gòu)造輔助函數(shù)法在《數(shù)學(xué)分析》中的應(yīng)用

李景琴

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

本文主要討論了如何用構(gòu)造輔助函數(shù)法解決《數(shù)學(xué)分析》中的有關(guān)問(wèn)題.

輔助函數(shù)；方程；不等式；恒等式；有界；一致連續(xù)

構(gòu)造輔助函數(shù)法是在《數(shù)學(xué)分析》中解題經(jīng)常用到的方法，它能將問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，使隱含條件變得明顯、具體.所謂構(gòu)造輔助函數(shù)就是在解題中，依據(jù)題設(shè)和結(jié)論，構(gòu)造出一個(gè)新的函數(shù)，把結(jié)論轉(zhuǎn)化為研究該函數(shù)的性質(zhì)，以此達(dá)到解題的目的.下面舉例說(shuō)明如何用構(gòu)造輔助函數(shù)法解決《數(shù)學(xué)分析》中的有關(guān)問(wèn)題.

1 在判別方程根的存在性中的應(yīng)用

在判別方程根的存在性時(shí)，主要依據(jù)是零點(diǎn)存在定理和羅爾定理.

1.1 應(yīng)用零點(diǎn)存在定理判別方程根的情況時(shí)，將方程一端化為零，令另一端為某一函數(shù)，構(gòu)造出輔助函數(shù).

例1證明方程x=asinx+b(a,b＞0)至少有一個(gè)不超過(guò)a+b的正實(shí)根.

證明 方程可化為x-asinx-b=0

令f(x)=x-asinx-b，則f(x)在[0,a+b]上連續(xù)，且

f(0)=-b＜0,f(a+b)=(a+b)-asin(a+b)-b=a[1-sin(a+b)]≥0

（?。┤鬴(a+b)=0，則ξ=a+b是方程f(x)=0的根；

（ⅱ）若f(a+b)＞0，則根據(jù)零點(diǎn)存在定理，至少?ξ∈(0, a+b)，使f(ξ)=0,即方程f(x)=0至少有一個(gè)小于a+b的正實(shí)根ξ.

由（?。ⅲáⅲ┛芍?，方程x=asinx+b(a,b＞0)至少有一個(gè)不超過(guò)a+b的正實(shí)根.

證明 令 F(x)=5(x-2)(x-3)+7(x-1)(x-3)+16(x-1)(x-2)

則F(x)在[1，2]與[2，3]上都連續(xù).

又因?yàn)镕(1)=10＞0,F(2)=-7＜0,F(3)=32＞0，

所以F(x)=0在（1，2）內(nèi)至少有一實(shí)根，在（2，3）內(nèi)也至少有一實(shí)根.

則f(x)=0在（1，2）內(nèi)至少有一實(shí)根，在（2，3）內(nèi)也至少有一實(shí)根，

證明方程C0+C1x+…+Cnxn=0在（0,1）內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.

即方程C0+C1x+…+Cnxn=0在（0,1）內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.

2 在證明不等式中的應(yīng)用

用輔助函數(shù)證明不等式，常用的方法有：①利用函數(shù)的單調(diào)性；②利用拉格朗日中值定理；③利用函數(shù)的凸凹性. 2.1利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式

證明 （ⅰ）令f(x)=sinx-x，則f'(x)=cosx-1≤0，所以f(x)在[0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減.所以當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＜f(0)=0，所以sinx＜x.

2.2 利用拉格朗日中值定理證明不等式

形如c≤f(a)-f(b)≤d的不等式，可構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)，使f(x)在[a,b]上滿足拉格朗日中值定理的條件，再通過(guò)適當(dāng)變形，使結(jié)論得證.

2.3 利用函數(shù)的凸凹性證明不等式

3 在證明恒等式中的應(yīng)用

所以f(x)=C，C為確定常數(shù)，

4 在證明函數(shù)有界中的應(yīng)用

由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)知，若f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有界.在某一開(kāi)區(qū)間內(nèi)有界，可把此開(kāi)區(qū)間內(nèi)的函數(shù)連續(xù)延拓為閉區(qū)間的函數(shù)，構(gòu)造出輔助函數(shù).

例8設(shè)f(x)在[a,b]上有定義，除第一類間斷點(diǎn)c∈(a,b)外都連續(xù)，則f(x)在[a,b]上有界.

所以g(x)在[a,c]上連續(xù)，根據(jù)有界性定理，g(x)在[a,c]上有界，

從而f(x)在[a,c）內(nèi)有界，即存在M1＞0，使得|f(x)|≤M1x∈[a,c)

所以h(x)在[c,b]上連續(xù)，根據(jù)有界性定理，h(x)在[c,b]上有界，從而f(x)在(c,b]內(nèi)有界，即存在M2＞0，使得|f(x)|≤M2x∈(c,b]

令M=max{M1,M2,|G|}，則|f(x)≤M x∈[a,b]故f(x)在[a,b]上有界.

5 在證明函數(shù)一致連續(xù)性的應(yīng)用

在證明函數(shù)一致連續(xù)性時(shí)，構(gòu)造輔助函數(shù)常用的方法是連續(xù)延拓法.

從而對(duì)于?x1,x2∈[A,+∞)，有|f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)-G|+|f(x2) -G|＜ε

所以f(x)在[A,+∞)上一致連續(xù).

故f(x)在(a,+∞)內(nèi)一致連續(xù).

輔助函數(shù)的應(yīng)用是廣泛的，形式也多種多樣.在實(shí)際應(yīng)用中不同的題構(gòu)造輔助函數(shù)的方法不同，同一題還可以構(gòu)造不同的輔助函數(shù).

〔1〕華東師范大學(xué).數(shù)學(xué)分析.人民教育出版社，1980.

〔2〕劉玉蓮.數(shù)學(xué)分析.高等教育出版社，1991.

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1673-260X（2010）09-0001-02