平面控制網(wǎng)四參數(shù)法坐標轉(zhuǎn)換與殘差內(nèi)插

楊國清，張予東

(鄭州測繪學校，河南鄭州450015)

式中，VX、VY為重合點的改正數(shù)，遍取與i點相鄰的重合點。式中的權(quán)P有以下兩種取法

1)綜合考慮非重合點與重合點的幾何分布定權(quán)。

平面控制網(wǎng)四參數(shù)法坐標轉(zhuǎn)換與殘差內(nèi)插

楊國清，張予東

(鄭州測繪學校，河南鄭州450015)

詳細推導平面控制網(wǎng)四參數(shù)法坐標轉(zhuǎn)換的實用公式，提出新的殘差內(nèi)插方法，并給出算例加以驗證。

四參數(shù)法坐標轉(zhuǎn)換;殘差內(nèi)插;2000國家大地坐標系

經(jīng)國務院批準，國家測繪局發(fā)布公告，我國從2008年7月1日起，啟用2000國家大地坐標系。這一公告的發(fā)布，意味著大量的地方控制網(wǎng)要從原來的1954北京坐標系或1980西安坐標系轉(zhuǎn)換到2000國家大地坐標系內(nèi)。中小城市和一般工程測量控制網(wǎng)坐標轉(zhuǎn)換主要采用平面直角坐標四參數(shù)轉(zhuǎn)換模型。本文介紹這種模型進行坐標轉(zhuǎn)換的具體做法，以及涉及的殘差內(nèi)插問題。

一、轉(zhuǎn)換參數(shù)的計算

平面直角坐標四參數(shù)轉(zhuǎn)換模型的4個參數(shù)為：兩個坐標平移參數(shù)X0、Y0，一個旋轉(zhuǎn)參數(shù)ε，一個尺度參數(shù)k。

坐標轉(zhuǎn)換的原始矩陣為

式中，X、Y為新坐標系下的坐標;x、y為舊坐標系下的坐標;X0，Y0為原始坐標平移參數(shù);ε為舊坐標軸旋轉(zhuǎn)至新坐標軸的角度，以坐標方位角增大的方向為正，反向為負;k為新坐標系與舊坐標系的尺度比。

將上式改寫為

式中，x0、y0為參與參數(shù)計算的重合點舊坐標中值，有這里的“［］”表示對括號內(nèi)的表達式從1到n取總和。n為參與參數(shù)計算的重合點數(shù)，重合點是指既有舊坐標，又有新坐標的點。對于一個具體的坐標變換問題，尺度比例系數(shù)k和旋轉(zhuǎn)參數(shù)ε是一個確定的數(shù)，因而式(2)右邊前兩項之和也是一個常量，令

式中，X0、Y0為縱橫坐標平移參數(shù)，同時也是重合點新坐標中值(后面會證明)。則式(2)變?yōu)?/p>

將式(4)寫成

令

則式(5)變?yōu)?/p>

這里的X0、Y0、a、b是4個待定參數(shù)，當a，b確定之后，有

設選中了n個新舊坐標重合點，可據(jù)式(7)列出2n個方程，當n＞2時，方程個數(shù)大于4，只能采用最小二乘法求解式中的參數(shù)。直接根據(jù)式(7)寫出2n個誤差方程

由式(9)可組成法方程。因為有

最后組成的法方程為

式中，D=［(Δx)2+(Δy)2］。解得

若要計算尺度比k和旋轉(zhuǎn)參數(shù)ε，可按式(8)計算。

二、精度評定

1)轉(zhuǎn)換系數(shù)精度評定

2)重合點坐標轉(zhuǎn)換精度

三、關于重合點的選擇和剔除

在實際工作中，一般“新網(wǎng)”是用衛(wèi)星大地測量方法獲得的國家大地網(wǎng)，而“舊網(wǎng)”多是傳統(tǒng)控制網(wǎng)或地方以及工程單位所做的控制網(wǎng)。因而一般認為新網(wǎng)精度高，舊網(wǎng)精度低。按這種理解，可以把轉(zhuǎn)換參數(shù)計算中的殘差V看做是由舊坐標的誤差造成的。如果參與轉(zhuǎn)換計算的某重合點的坐標殘差V較大(國家測繪局《啟用2000國家大地坐標系實施方案》附件《現(xiàn)有測繪成果轉(zhuǎn)換到2000國家大地坐標系技術(shù)指南》中規(guī)定：大于3倍中誤差)則應剔除該點，再選擇另一點重新進行轉(zhuǎn)換參數(shù)的計算。很顯然，即使V沒有大于3倍中誤差的，也應該通過多次換點試算，以獲得最優(yōu)轉(zhuǎn)換參數(shù)。

當轉(zhuǎn)換參數(shù)計算出后，還要用分布均勻的另外6個新舊坐標重合點對坐標轉(zhuǎn)換精度進行檢核。如果檢核不合格，應仔細分析研究，確定合理的處理方案。

四、殘差配賦

對于所有重合點來說，不管它是否參與轉(zhuǎn)換參數(shù)的計算，直接采用其在新網(wǎng)中的坐標，這相當于將重合點的舊坐標用參數(shù)進行坐標轉(zhuǎn)換后又加了一個改正數(shù)。由此可見，用所獲得的轉(zhuǎn)換參數(shù)對舊網(wǎng)的非重合點進行坐標轉(zhuǎn)換也應該有其相應的“改正數(shù)”。一般來說，當所有重合點(包括參與參數(shù)計算的重合點和未參與參數(shù)計算而當做檢核點的重合點)的轉(zhuǎn)換殘差都較小時，可不考慮給舊網(wǎng)的非重合點計算改正數(shù)。這種情況較少，大多數(shù)情況下重合點的殘差不可忽略，應該給非重合點加坐標轉(zhuǎn)換改正數(shù)，可通過內(nèi)插法計算。非重合點i的坐標轉(zhuǎn)換改正數(shù)可采用以下的加權(quán)插值計算式計算

式中，VX、VY為重合點的改正數(shù)，遍取與i點相鄰的重合點。式中的權(quán)P有以下兩種取法

1)綜合考慮非重合點與重合點的幾何分布定權(quán)。

式中，Dij為非重合點i至所取相鄰重合點j的距離; β左與β右為Dij邊兩邊的角度，以弧度或度為單位。如后面算例中，8號點為需要內(nèi)插的點，計算時取用的重合點為1、4、5、7點，與D8，4相應的β左為184°，β右為485°。

實踐證明，該定權(quán)法插值效果相對較好，明顯優(yōu)于現(xiàn)今一些GPS軟件中采用的簡單的以距離平方的倒數(shù)作權(quán)的做法。

2)簡單的以非重合點與重合點的距離的1.5次方的倒數(shù)作權(quán)。

此種定權(quán)法，計算稍簡單，但插值效果不及前一種。

五、算 例

某控制網(wǎng)有新舊坐標重合點7個。其中1～5點參與參數(shù)計算，6、7點做檢驗點。另有8、9兩點作非重合點坐標轉(zhuǎn)換計算例。

1.轉(zhuǎn)換公式參數(shù)計算

參數(shù)計算見表1。由表中計算得到的實用轉(zhuǎn)換公式為

2.精度評定

重合點坐標轉(zhuǎn)換精度見表1。

3.檢 驗

如表2所示。6、7號點也是重合點，未參加轉(zhuǎn)換參數(shù)計算，而作為檢驗點。

4.非重合點坐標轉(zhuǎn)換計算

如表2所示。8、9號點為非重合點轉(zhuǎn)換計算例。表中“轉(zhuǎn)換值X”和“轉(zhuǎn)換值Y”為根據(jù)轉(zhuǎn)換公式計算的直接轉(zhuǎn)換值，“采用值X”，“采用值Y”為加過改正數(shù)后的坐標采用值。

重合點的改正數(shù)由已知值減去轉(zhuǎn)換值獲得。非重合點的轉(zhuǎn)換改正數(shù)是用加權(quán)內(nèi)插法計算的。采用的是考慮采樣點幾何分布的式(15)定權(quán)。其中：8號點內(nèi)插計算改正數(shù)時，取用了1、4、5、7號重合點的改正數(shù)。9號點內(nèi)插計算改正數(shù)時，取用了2、3、6號重合點的改正數(shù)。

The Four-coefficient Coordinates Transformation for Horizontal Control Networks and Residuals Interpolation

YANG Guoqing，ZHANG Yudong

表1 控制網(wǎng)坐標轉(zhuǎn)換的參數(shù)計算

表2 控制網(wǎng)坐標轉(zhuǎn)換檢驗和非重合點坐標轉(zhuǎn)換計算

略)

0494-0911(2010)11-0048-03

P221

B

2010-09-09

楊國清(1952—)，男，湖北黃岡人，高級講師，主要從事測量教學工作。