準(zhǔn)完全重構(gòu)余弦調(diào)制濾波器組的最優(yōu)化設(shè)計(jì)*

(解放軍信息工程大學(xué) 信息工程學(xué)院，鄭州 450002)

1 引 言

完全重構(gòu)(PR)濾波器組和準(zhǔn)完全重構(gòu)(NPR)濾波器組在信號(hào)處理中有著非常重要的應(yīng)用。余弦調(diào)制濾波器組(CMFBs)是濾波器組中比較高效的一種，其設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜度相對(duì)較低，并且具有極好的頻率選擇性。PR或者NPR系統(tǒng)的設(shè)計(jì)通常是通過非線性約束優(yōu)化的迭代算法實(shí)現(xiàn)。當(dāng)變量和約束的數(shù)目增加時(shí)，最優(yōu)化算法對(duì)原型濾波器的初始值相當(dāng)敏感。因此,需要對(duì)原型濾波器的設(shè)計(jì)方法和初始值的選取原則進(jìn)行深入研究，以獲得更快的迭代收斂速度和更好的性能[1]。

設(shè)計(jì)高阻帶衰減的原型濾波器是設(shè)計(jì)PR濾波器組的難點(diǎn)。事實(shí)上，即便是能夠得到滿足要求的原型濾波器，其設(shè)計(jì)過程也相對(duì)較為復(fù)雜。為滿足完全重構(gòu)和高阻帶衰減的要求，原型濾波器的階數(shù)通常會(huì)很大[2]。而原型濾波器階數(shù)的增加在一定程度上增大了待優(yōu)化的參數(shù)個(gè)數(shù)，同時(shí)加大了非線性優(yōu)化的難度。如果適當(dāng)放寬完全重構(gòu)的條件，使用NPR濾波器組，則用較少階數(shù)的原型濾波器即可獲得高的阻帶衰減。在重構(gòu)誤差可以接受的前提下，能使NPR濾波器組的運(yùn)算量明顯降低。NPR濾波器組具有更廣泛的實(shí)用性,因此本文主要研究NPR濾波器組的設(shè)計(jì)問題。

在NPR濾波器組的設(shè)計(jì)方面，大多數(shù)的設(shè)計(jì)方法把重點(diǎn)放在了使用線性相位原型濾波器組的NPR CMFBs上。文獻(xiàn)[3]中提出了一種低時(shí)延的NPR CMFBs的設(shè)計(jì)方法，在較少信道時(shí)能獲得較小的濾波器長度。文獻(xiàn)[4]提出了一種基于二階錐規(guī)劃的CMFBs設(shè)計(jì)算法。文獻(xiàn)[5]采用了單參數(shù)優(yōu)化的方法選擇合適的等波紋原型濾波器設(shè)計(jì)CMFBs。本文在這些方法的基礎(chǔ)上研究了使用過渡帶具有平方根余弦滾降特性的原型濾波器設(shè)計(jì)NPR CMFBs的方法。這種原型濾波器是線性相位原型濾波器的一種改進(jìn)。使用這種原型濾波器，可以更好的滿足NPR CMFBs所需的幅度平坦條件，從而設(shè)計(jì)出具有低重構(gòu)誤差的濾波器組。本文把濾波器組的設(shè)計(jì)問題歸結(jié)為一個(gè)凸極小極大最優(yōu)化問題，用二階錐規(guī)劃算法可以得到最優(yōu)化解[6]。設(shè)計(jì)結(jié)果表明本方法設(shè)計(jì)的NPR CMFBs的重構(gòu)誤差更小，并且有較大的阻帶衰減。由于使用了平方根余弦滾降原型濾波器，濾波器組第一個(gè)和最后一個(gè)分析濾波器的通帶波紋得到了有效的抑制。而這往往是普通的CMFBs設(shè)計(jì)方法中難以避免的問題[7]。

2 設(shè)計(jì)原理

CMFBs的原型濾波器的頻率響應(yīng)可以寫作

P(ejω)=PM(ejω)e-jωD/2

式中,D/2是濾波器的設(shè)計(jì)群時(shí)延。對(duì)于一個(gè)M通道的NPR CMFBs，分析濾波器通過調(diào)制原型濾波器獲得：

(1)

(2)

式中,k=0，1，…，M-1;n=0,1，…,N-1;p(n)是原型濾波器的沖激響應(yīng);N是原型濾波器的長度;D/2是系統(tǒng)時(shí)延。

要使得濾波器組重構(gòu)有意義，必須保證其有正常的頻帶選擇性，即通帶平坦特性和阻帶衰減特性。系統(tǒng)的傳輸函數(shù)[8]：

(3)

通過使|T0(ejω)|盡可能地接近一個(gè)常量可以使重構(gòu)的幅度衰減達(dá)到最小。假設(shè)通帶的波紋足夠小，則分析濾波器的通帶|T0(ejω)|值會(huì)接近常量，這一點(diǎn)容易滿足。所以，我們主要考慮其過渡帶。又因?yàn)閁k(ejω)和Vk(ejω)是P(ejω)頻移的結(jié)果，我們只需要再加上一個(gè)保證其平坦性的約束條件[9]

|P(ejω)|2+|P(ej(2ωc-ω))|2=1

(4)

(5)

(6)

式中，D/2是系統(tǒng)的時(shí)延，Δω=ωs-ωp是過渡帶寬，ω∈[-π,0]的理想響應(yīng)Pd(ejω)=Pd(e-jω)。該濾波器的過渡帶滿足平方根余弦滾降特性。ω∈[ωp,ωs]時(shí)有：

|P(ejω)|2+|P(ej(2ωc-ω))|2=

(7)

所以，使用這種原型濾波器，能夠滿足式(2)的平坦性條件。從設(shè)計(jì)實(shí)例可以看出，原型濾波器的平方根余弦滾降特性對(duì)于減小重構(gòu)誤差、抑制分析濾波器的通帶波紋十分有效。

3 SOCP法設(shè)計(jì)原型濾波器的方法

本文的原型濾波器的設(shè)計(jì)問題可以SOCP算法來實(shí)現(xiàn)[10]。不失一般性，我們把復(fù)雜的設(shè)計(jì)問題看作是如下的極小極大判斷準(zhǔn)則：

Minimizeδ

Subject toW(ω)|P(ejω)-Pd(ejω)|≤δ

(8)

式中，-π≤ω≤π；δ是衡量最大波紋的一個(gè)補(bǔ)充變量；W(ω)是一個(gè)正的加權(quán)函數(shù)，用來調(diào)整不同頻率的擬合緊密程度。為簡化符號(hào)，原型濾波器的頻率響應(yīng)記為

(9)

式中，p=[p(0),p(1),…,p(N-1)]T是一個(gè)變量向量，c(ω)=[1,cos (ω),…,cos ((N-1)ω)]T，s(ω)=[1,sin (ω),…,sin ((N-1)ω)]T。設(shè)Pd(ejω)的實(shí)部和虛部分別為PR_d(ω)和PI_d(ω)，則式(8)可以進(jìn)一步簡化為

Minimizeδ

(10)

式中，aR(ω)=W(ω)[pTc(ω)-PR_d(ω)]，-π≤ω≤π，aI(ω)=W(ω)[pTs(ω)+PI_d(ω)]。要計(jì)算濾波器的頻率響應(yīng)，先需要將濾波器的連續(xù)頻率響應(yīng)離散化。離散化點(diǎn)數(shù)越多，設(shè)計(jì)精度越高，不過運(yùn)算量也越大，因此在離散點(diǎn)數(shù)和計(jì)算量之間要折衷考慮。假設(shè)頻率上的采樣點(diǎn)為ωi(1≤i≤L)，這些頻率點(diǎn)可以均勻或非均勻間隔,求解濾波器設(shè)計(jì)問題就是求解如下的標(biāo)準(zhǔn)SOCP問題:

MinimizebTy

Subject tobTy≥‖ci-Fiy‖2

(11)

式中，

ON是一個(gè)N行的零向量，‖·‖2表示歐式范數(shù)。這是一個(gè)凸最優(yōu)化的問題，所以如果解存在的話可以保證一定是最優(yōu)解。變量y的維數(shù)是N+1，采用約束的數(shù)目是L+1 ，約束越多得到的解越接近理想值，但是如果L>N，約束條件的冗余過多，可能造成算法不能收斂，所以一般取L=N。

用該方法設(shè)計(jì)的原型濾波器如圖1所示，其中階數(shù)N=512，理想截止頻率ωc=π/32，過渡帶寬Δω=π/64。設(shè)計(jì)過程中SOCP問題的求解采用了Matlab7.9和內(nèi)點(diǎn)算法工具包SeDuMi1.21[11]。

圖1 SOCP法設(shè)計(jì)的原型濾波器Fig.1 Prototype filter designed by SOCP

4 NPR CMFBs的設(shè)計(jì)步驟和設(shè)計(jì)實(shí)例

原型濾波器的過渡帶寬、通帶波紋、阻帶衰減和濾波器階數(shù)需要折衷的考慮。一般通過優(yōu)化過渡帶寬和CMFBs的波紋可以進(jìn)一步的提高NPR CMFBs的性能。式(4)的低通濾波器可以用上述SOCP算法設(shè)計(jì)。

設(shè)計(jì)過程中，使濾波器的設(shè)計(jì)誤差ε最小即可保證通帶波紋最小，對(duì)于給定的原型濾波器阻帶衰減ds和設(shè)計(jì)誤差ε0，可以通過反復(fù)調(diào)整通帶過渡帶寬和階數(shù)N獲得最佳的原型濾波器。設(shè)系統(tǒng)預(yù)設(shè)的階數(shù)初始值是N0，最大允許的過渡帶寬為Δω0。如果N0階的濾波器滿足設(shè)計(jì)誤差和阻帶衰減的要求，則采用N0階的濾波器，并調(diào)整過渡帶寬Δω使其最??；如果N0階的濾波器不能滿足設(shè)計(jì)誤差和阻帶衰減的要求，則采用過渡帶寬Δω0，并調(diào)整階數(shù)N使其最小。調(diào)整時(shí)采用二分法進(jìn)行搜索，算法在調(diào)整步進(jìn)ωstep或Nstep小于某個(gè)門限的時(shí)候停止迭代。

設(shè)計(jì)步驟描述如下：

(1)用給定的N0、Δω0、D設(shè)計(jì)式(6)的濾波器。計(jì)算重構(gòu)誤差ε和衰減d；

(2)如果步驟1的結(jié)果滿足d>ds和ε<ε0，執(zhí)行步驟3～4，否則執(zhí)行步驟5～7；

(3)固定N=N0，令ωstep=Δω；

(5)固定Δω=Δω0，令N=2N，設(shè)計(jì)式(6)的濾波器。重復(fù)執(zhí)行直至誤差ε和衰減d滿足d>ds和ε<ε0；

圖2 余弦調(diào)制濾波器組分析濾波器Fig.2 Analysis filters of CMFBs

實(shí)驗(yàn)表明，使用本方法可得到滿意的結(jié)果。圖2、圖3是用本文方法設(shè)計(jì)的濾波器組與使用文獻(xiàn)[5]中單參數(shù)優(yōu)化法設(shè)計(jì)的濾波器組的比較,兩種方法取相同的階數(shù)、過渡帶寬和子帶數(shù)等參數(shù)：N=512，Δω=π/64，M=16 。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出,用本文方法能得到更小的重構(gòu)誤差和更大的阻帶衰減。圖4是用本方法設(shè)計(jì)的128信道的NPR CMFBs。實(shí)驗(yàn)表明,本方法在子帶數(shù)目較大時(shí)依然能夠獲得滿意的設(shè)計(jì)結(jié)果。

圖3 余弦調(diào)制濾波器組的重構(gòu)誤差Fig.3 Reconstruction error of CMFBs

圖4 128信道的余弦調(diào)制濾波器組Fig.4 128-Channel NPR CMFBs

5 結(jié)束語

本文研究了采用過渡帶具有平方根余弦滾降特性的原型濾波器來設(shè)計(jì)NPR CMFBs的方法。這種原形濾波器采用了二階錐規(guī)劃算法進(jìn)行最優(yōu)化設(shè)計(jì)。與使用普通的原型濾波器相比,用這種方法設(shè)計(jì)NPR余弦調(diào)制濾波器組，能獲得更小的重構(gòu)誤差和更大的阻帶衰減。

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