分塊矩陣在矩陣證明題中的應(yīng)用

趙中華

南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院 南京 210046

分塊矩陣在矩陣證明題中的應(yīng)用

趙中華

南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院 南京 210046

結(jié)合矩陣中的一些結(jié)論，討論分塊矩陣在矩陣證明題中的應(yīng)用。例題說(shuō)明分塊的方法是矩陣證明題中較簡(jiǎn)捷、有效的方法。

分塊矩陣；秩；初等變換

Author’s address Institute of Applied Maths, Nanjing Univ. of Finance & Economics, Nanjing, China 210046

在高等代數(shù)中，矩陣分塊的方法對(duì)矩陣證明題來(lái)說(shuō)是一種很好的方法。本文結(jié)合矩陣的初等變換、矩陣秩的有關(guān)性質(zhì)，對(duì)相關(guān)矩陣進(jìn)行分塊或構(gòu)造相關(guān)的分塊矩陣，討論分塊矩陣在證明題型中的應(yīng)用。

先以常用的2×2的分塊矩陣為例，給出幾個(gè)與分塊矩陣相關(guān)的定義與性質(zhì)。

由定義1可得，分塊初等矩陣具有以下形式：

其中P、Q分別是m階和n階可逆方陣。

注：在使用分塊初等矩陣乘法時(shí)，要注意所作分塊必須使得分塊乘法的運(yùn)算能進(jìn)行。

由定義1，給出分塊初等矩陣的性質(zhì)。

性質(zhì)1：對(duì)分塊矩陣進(jìn)行一次行（列）初等變換，相當(dāng)于左（右）乘一個(gè)相應(yīng)的分塊初等矩陣。

性質(zhì)2：分塊初等矩陣是可逆矩陣，分塊初等變換不改變矩陣的秩。

性質(zhì)3：對(duì)一個(gè)分塊矩陣左（右）乘一個(gè)分塊初等矩陣，不改變?cè)謮K矩陣的秩。

1 分塊矩陣在秩的證明題中的應(yīng)用

證明方法：利用分塊初等矩陣的性質(zhì)和秩的性質(zhì)。秩的2個(gè)性質(zhì)：

1.1 在秩的不等式證明中的應(yīng)用

例11 設(shè) A=As×n, B=Bn×m。

證明：r( A) +r( B ) ?n ≤r( A B ) ≤ min{r( A), r( B)}。

故r( A B ) ≤r( C ) =r( A)。

注：本例中，若AB=0， 則r ( A)+ r(B)≤n。

1.2 在秩的等式證明中的應(yīng)用

例22 A設(shè)為n階方陣，證明：

即：r(E+A)+r(E?A)=r(E?A2)+r (E)=r(E?A2)+n

∴r(E+A)+r (E?A)=n?A2=E

2 分塊矩陣在矩陣存在性問(wèn)題中的應(yīng)用

證明方法：利用矩陣秩的化簡(jiǎn)結(jié)論。

例33 設(shè) B = Bm×n，且 r( B )=n。

證明：存在 A = An×m，且 r( A )=n，使 ABB = En。

3 分塊矩陣在矩陣分解中的應(yīng)用

證明方法：利用矩陣秩的化簡(jiǎn)結(jié)論。

例44 證明：任一方陣A都可寫為A=BC，其B2=B，C可逆。

證明 設(shè) rAr =)( ，則存在n階可逆矩陣P，Q，使

例5（滿秩分解） 證明：對(duì)任意m×n階矩陣A，設(shè) r( A )=r，則有A=H L，其中 H=Hm×r, L=Lr×n，且r(H)= r (L)=r 。

4 分塊矩陣在矩陣行列式相關(guān)問(wèn)題中的應(yīng)用

證明方法：利用分塊矩陣的初等變換及行列式的運(yùn)算。

例66 設(shè) A=Am×n,B=Bn×m,m≥n。

注：此題也可轉(zhuǎn)化為證明秩的問(wèn)題r(λEm?AABB)=m ?n+r (En?BBAA)。

5 分塊矩陣在矩陣求逆問(wèn)題中的應(yīng)用

證明方法：利用分塊矩陣的初等變換及分塊矩陣求逆的方法及結(jié)論。

所以，由分塊矩陣的逆，可得：

在高等代數(shù)中，利用分塊的方法證明矩陣問(wèn)題的題目還有很多，這里只是列舉了其中的一些加以討論。并且，有的例題也有其他的證明方法，這里不再一一給出。另外，分塊的方法與齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)相結(jié)合（一般是系數(shù)矩陣的列分塊），也可以解決一些問(wèn)題。例如，“若AB就可以用齊次方程組解的結(jié)構(gòu)來(lái)證明?？傊梢陨侠涌梢钥闯?，矩陣分塊在矩陣證明題中是一種較簡(jiǎn)捷、有效的方法。

[1]李守金,郭秀剛,牟樹杰.分塊矩陣的初等變換在行列式中的應(yīng)用[J].中國(guó)教育技術(shù)裝備,2009(11):91-94

[2]雷英果.分塊矩陣及其應(yīng)用[J].工科數(shù)學(xué),1998,14(4):150-154

[3]王品超.高等代數(shù)新方法[M]].濟(jì)南:山東教育出版社,1989

Application of Block Matrix in Proof of Matrix

//Zhao Zhonghua

The paper discusses the application of block matrix in the proof of matrix, combined with the conclusions of matrix. Examples show that the way of block is more effective and succinct in the proof of matrix.

block matrix; rank; primary transformation

O241.6

B

1671-489X(2010)09-0052-03

10.3969 /j.issn.1671-489X.2010.09.052

作者：碩士，講師。