基于諧波平衡法的帶冠葉片接觸碰撞減振特性研究

盧緒祥, 黃樹(shù)紅, 劉正強(qiáng), 李錄平, 鄧曉湖

(1.華中科技大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院,武漢430074;2.長(zhǎng)沙理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院,長(zhǎng)沙410114)

采用帶冠阻尼結(jié)構(gòu)以及將葉片設(shè)計(jì)成不調(diào)頻葉片是目前提高汽輪機(jī)葉片可靠性最有效、最可行的技術(shù)之一.無(wú)論是長(zhǎng)葉片或短葉片,采用帶冠阻尼結(jié)構(gòu)已成為發(fā)展趨勢(shì)[1-3].但不同長(zhǎng)度的帶冠葉片在工作狀態(tài)下所受到的作用力性質(zhì)不同,葉片的變形情況差別較大,因此,帶冠阻尼結(jié)構(gòu)的減振機(jī)理也不完全相同.目前,共有兩種類(lèi)型的帶冠結(jié)構(gòu)：一種是適用于中長(zhǎng)葉片的緊配型結(jié)構(gòu),依靠摩擦阻尼減振,對(duì)該類(lèi)結(jié)構(gòu)的干摩擦阻尼減振機(jī)理的研究已逐漸趨于成熟[4-6];另一種是適用于中短葉片的間隙型結(jié)構(gòu),該類(lèi)結(jié)構(gòu)依靠碰撞阻尼減振,由于碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)非線性,對(duì)該類(lèi)結(jié)構(gòu)減振機(jī)理的理論研究難度大,試驗(yàn)成為主要研究手段,目前對(duì)其減振機(jī)理和減振效果的研究還處于初步探索階段,相關(guān)研究工作正逐步展開(kāi)[7-10].

汽輪機(jī)帶冠葉片冠間的接觸碰撞運(yùn)動(dòng)非常復(fù)雜,具有典型的非線性特征,很難確定非線性項(xiàng)的函數(shù)關(guān)系,因此目前尚未得出物理概念明確的簡(jiǎn)化模型,也難以形成實(shí)用的設(shè)計(jì)程序,這方面的研究并不深入,通常需進(jìn)行一定簡(jiǎn)化.李劍釗等[8]將冠間的接觸碰撞等效為有間隙的干摩擦阻尼模型,切向上采用庫(kù)侖摩擦力,但未考慮非線性阻尼力的作用.筆者將冠間接觸碰撞簡(jiǎn)化為法向正壓力(與法向相對(duì)位移呈線性關(guān)系)和切向滯后滑移摩擦力共同作用的力學(xué)模型,建立了含間隙的等效彈簧-干摩擦阻尼模型,通過(guò)對(duì)其振動(dòng)方程的響應(yīng)求解,分析了相關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)碰撞振動(dòng)的影響,并與相關(guān)文獻(xiàn)得出的試驗(yàn)結(jié)論進(jìn)行對(duì)比,以驗(yàn)證本文所提出模型的準(zhǔn)確性.

1 帶冠葉片三自由度運(yùn)動(dòng)方程的建立

1.1 冠間接觸碰撞的力學(xué)模型

通常,整圈帶冠葉片冠間接觸碰撞的響應(yīng)分析計(jì)算量大且比較復(fù)雜,而單個(gè)葉片或成組葉片的振動(dòng)響應(yīng)可以較全面地反映整圈葉片的特性,因此通常采用成組葉片(如兩葉片、三葉片組)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行理論分析或試驗(yàn)研究[8-9,11].汽輪機(jī)自帶冠葉片冠間的接觸碰撞運(yùn)動(dòng)非常復(fù)雜,當(dāng)冠間的相對(duì)位移大于冠間間隙值時(shí),冠間的接觸碰撞起作用,此時(shí)冠間接觸面間產(chǎn)生斜面碰撞和滑移的聯(lián)合作用,在接觸面上,法向運(yùn)動(dòng)引起正壓力的變化,切向運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致兩個(gè)表面處于粘著、滑動(dòng)和脫離等狀態(tài),具有典型的非線性特性.為便于研究,通常對(duì)冠間的接觸碰撞進(jìn)行一定簡(jiǎn)化,可將葉冠接觸階段看作是正壓力變化的宏觀滑移模型.

帶冠葉片冠間結(jié)構(gòu)參數(shù)見(jiàn)圖1.設(shè)冠間接觸面間的切向相對(duì)運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),相對(duì)振動(dòng)可表示為：

式中：B為冠間穩(wěn)態(tài)相對(duì)振動(dòng)的幅值;ω為激振頻率;φ為相位差.

葉片主振動(dòng)方向的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)可表示為：

式中：A為葉片主振動(dòng)的振幅.

圖1 冠間結(jié)構(gòu)參數(shù)示意圖Fig.1 Schematic diagram of structu ral param eters betw een sh roud s

當(dāng)葉冠接觸面發(fā)生碰撞接觸時(shí),接觸面上的法向正壓力N是變化的,且為冠間法向相對(duì)位移的線性函數(shù),可表示為：

式中：kh為彈性力學(xué)中的赫茲接觸剛度;α為冠間接觸角,即冠間接觸面與葉片振動(dòng)方向的夾角;d為冠間接觸面間的法向間隙.

注意到接觸面相對(duì)振動(dòng)與葉片主振動(dòng)間的關(guān)系Δu=u sin α,則式(3)可變?yōu)椋?/p>

假設(shè)冠間在接觸碰撞后一直處于粘著或滑移摩擦狀態(tài),為簡(jiǎn)化運(yùn)算并較好地反映冠間阻尼特性和減振效果,通常對(duì)該運(yùn)動(dòng)狀態(tài)采用宏觀滯后滑移摩擦模型(圖2)進(jìn)行研究.

圖2 正壓力變化時(shí)力與相對(duì)位移的遲滯回線Fig.2 Hysteretic loops of forces vs.relative displacements under variation of normal fo rce

冠間接觸碰撞的切向接觸力可表示為：

式中：μ為接觸面摩擦系數(shù);k d為接觸面剪切剛度;θ為響應(yīng)與力之間的相位差.

式(5)為分段函數(shù),采用諧波平衡法(Harmonic Balance Method,簡(jiǎn)稱(chēng)HBM)將該非線性摩擦力線性化得：

同樣,對(duì)接觸面上的正壓力按照傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)可得：

式中：F k、F c是對(duì)F d進(jìn)行諧波變換(傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi))時(shí)的系數(shù)項(xiàng);P k、P c是對(duì)N進(jìn)行諧波變換(傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi))時(shí)的系數(shù)項(xiàng);f k、f c分別是F d的等效剛度和等效阻尼;pk、pc分別是N的等效剛度和等效阻尼.

綜合考慮冠間接觸面上的摩擦力和正壓力,并結(jié)合葉片切向振動(dòng)的動(dòng)力響應(yīng)和方向,得到葉冠冠間接觸面產(chǎn)生的等效剛度和等效阻尼：

1.2 帶冠葉片三自由度的運(yùn)動(dòng)方程

運(yùn)行實(shí)踐證明：汽輪機(jī)葉片需避免的最危險(xiǎn)的共振振型有切向A型(主要是A0和A1型)、切向B0型振動(dòng);另外,汽輪機(jī)帶冠葉片碰撞減振結(jié)構(gòu)通常適用于中短葉片[6].因此,可將汽輪機(jī)帶冠葉片簡(jiǎn)化為三自由度集總參數(shù)模型(圖3).

圖3 阻尼葉片三自由度集總參數(shù)模型Fig.3 Three degree-of-freedom lumped-param eter modelof damped b lades

根據(jù)廣義坐標(biāo)的Lagrange方程,可獲得反映帶冠葉片振動(dòng)特性的三自由度運(yùn)動(dòng)方程：

式中：c1、c2和c3為葉片材料的阻尼系數(shù);k1、k2和k3為剛度系數(shù);F1、F2和F3分別為均布的汽流激振力在三集中質(zhì)量上的分量.

2 帶冠葉片的模擬參數(shù)及數(shù)值求解

以長(zhǎng)沙理工大學(xué)振動(dòng)與噪聲實(shí)驗(yàn)室汽輪機(jī)帶冠葉片減振實(shí)驗(yàn)臺(tái)的葉片為研究對(duì)象.葉片的相關(guān)參數(shù)分別為：葉片長(zhǎng)度l=400mm,密度 ρ=7 850 kg/m3,葉片寬度b=50 mm,葉片厚度h=10 mm,彈性模量E=2.05×105M Pa,泊松比υ=0.3,阻尼比 ζ=0.02,切向/法向剛度比k d/k h=2(1-υ)/(2-υ),各激振力F1=F 2=2F3=100/3 N.

由運(yùn)動(dòng)方程可知,各集中質(zhì)量塊上的廣義坐標(biāo)量是相互耦合的,很難用解析方法進(jìn)行求解,因此,對(duì)該模型的運(yùn)動(dòng)微分方程采用具有良好計(jì)算精度和穩(wěn)定性的龍格-庫(kù)塔法進(jìn)行數(shù)值求解.在求解方程時(shí),先賦予一初始B值,求出等效剛度和等效阻尼,再代入式(15)求解,得出系統(tǒng)的響應(yīng)幅值,該幅值與B相比,經(jīng)過(guò)反復(fù)迭代,直到精度誤差達(dá)到要求為止.通過(guò)數(shù)值計(jì)算,得到不同冠間結(jié)構(gòu)參數(shù)(如冠間間隙d、冠間接觸角α和冠間法向接觸剛度kh等)對(duì)碰撞減振特性的影響規(guī)律.

3 數(shù)值模擬結(jié)果與分析

3.1 碰撞對(duì)帶冠葉片振動(dòng)特性的影響

汽輪機(jī)帶冠葉片無(wú)接觸碰撞作用時(shí),葉片作自由振動(dòng).當(dāng)存在冠間相互接觸碰撞作用時(shí),由于冠間的相互約束作用和碰撞阻尼作用,使得帶冠葉片的共振頻率和振幅都發(fā)生改變.

圖4為在有、無(wú)碰撞作用時(shí)葉片不同節(jié)點(diǎn)處的頻率響應(yīng)曲線,其中 d=0.1 mm,α=π/6,k h=108N/m.由圖4可知,在無(wú)冠間接觸碰撞作用時(shí),該葉片的一階振動(dòng)頻率為 39 H z,二階振動(dòng)頻率為 91 H z.當(dāng)存在冠間接觸碰撞作用時(shí),帶冠葉片的最大共振幅值約為自由振動(dòng)時(shí)的1/10,說(shuō)明汽輪機(jī)帶冠葉片冠間的碰撞減振結(jié)構(gòu)具有很好的減振效果,且對(duì)一階彎曲振型的減振效果明顯好于對(duì)二階彎曲振型的減振效果.同時(shí),由于冠間的相互約束作用,使得共振頻率右移,且出現(xiàn)了A型振動(dòng)向B型振動(dòng)的轉(zhuǎn)換,這種由于阻尼結(jié)構(gòu)約束作用而引起的共振頻率的偏移是設(shè)計(jì)和分析中需要解決的問(wèn)題.這些結(jié)果均與文獻(xiàn)[7-10]的試驗(yàn)結(jié)果及帶冠葉片實(shí)踐應(yīng)用中所得出的規(guī)律一致,表明本文所選用的計(jì)算模型合理、計(jì)算結(jié)果可信.

圖4 有、無(wú)碰撞作用時(shí)阻尼葉片振動(dòng)的頻率響應(yīng)曲線Fig.4 Frequency response cu rves of damped blade vibration in case of with and without impact actions

圖5所示為在 d=0.2 mm 、α=π/6、k h=108N/m的條件下,激振力頻率 f分別為 93 Hz、95 H z和97 H z時(shí)葉冠的相圖和幅頻圖.由圖5可知,由于冠間接觸碰撞的非線性影響,葉冠的位移響應(yīng)出現(xiàn)了不同于激振力頻率的頻譜成分,且隨著激振力頻率的變化,出現(xiàn)了倍頻和分頻現(xiàn)象,甚至出現(xiàn)了具有多頻頻帶的混沌現(xiàn)象.這些結(jié)論和規(guī)律與文獻(xiàn)[8]和[10]的結(jié)論一致,表明本文提出的模型可用來(lái)計(jì)算自帶冠葉片冠間接觸碰撞的非線性振動(dòng)響應(yīng).

圖5 不同激振力頻率時(shí)葉冠的振動(dòng)特性圖Fig.5 Diagrams of vib ration characteristics of the blade＇s shroud under differen t frequencies of ex citing forces

3.2 冠間結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)葉片碰撞減振特性的影響

由式(13)～式(15)可知,葉冠冠間接觸面產(chǎn)生的等效剛度和等效阻尼與冠間結(jié)構(gòu)參數(shù)密切相關(guān),如冠間間隙d、冠間接觸角α和冠間法向接觸剛度k h等,這些結(jié)構(gòu)參數(shù)的改變必定會(huì)影響帶冠葉片不同節(jié)點(diǎn)處的動(dòng)力響應(yīng),進(jìn)而影響帶冠葉片的碰撞減振效果.通過(guò)分析這些結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)葉片碰撞減振特性的影響,可為帶冠葉片阻尼結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供一定的參考作用.

3.2.1 冠間間隙對(duì)碰撞減振特性的影響

當(dāng)激振力頻率為50 H z時(shí),帶冠葉片葉頂節(jié)點(diǎn)處的振動(dòng)能量隨冠間間隙d的變化示于圖6(a).由圖6(a)可知,隨著冠間間隙的減小,葉冠的振動(dòng)能量逐漸降低,即葉片的振動(dòng)響應(yīng)逐漸減小,因此冠間間隙越小,帶冠葉片冠間碰撞的減振效果越好;在冠間間隙較小時(shí),葉冠振動(dòng)能量的變化較為復(fù)雜,呈現(xiàn)先升高后降低的趨勢(shì),說(shuō)明葉片的振動(dòng)情況在冠間間隙較小時(shí)變得復(fù)雜.在實(shí)際應(yīng)用中,依靠碰撞減振的帶冠葉片冠間存在非常小的間隙,可選擇一個(gè)合理的冠間間隙,使帶冠葉片達(dá)到最佳的碰撞減振效果,如本例的冠間間隙可選 0.15 mm,這與文獻(xiàn)[10]的結(jié)論一致,充分說(shuō)明所提出的冠間接觸碰撞力學(xué)模型是正確的,對(duì)葉片阻尼結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)具有一定的參考價(jià)值.

目前,汽輪機(jī)帶冠葉片通常都設(shè)計(jì)為不調(diào)頻葉片,因此需要知道葉片處于共振時(shí)的振動(dòng)情況.利用本文的計(jì)算模型,在不同冠間間隙d下,通過(guò)改變激振力頻率,可獲得帶冠葉片處于共振時(shí)葉頂節(jié)點(diǎn)處最大振動(dòng)能量的變化(圖6(b)).由圖6(b)可知,隨著冠間間隙的減小,葉冠處于一階共振時(shí)的最大振動(dòng)能量逐漸減小,在冠間間隙達(dá)到某一值(0.4 mm)后,最大振動(dòng)能量的減小有所變緩.而隨著冠間間隙的增大,葉冠處于二階振型時(shí)的最大共振能量呈現(xiàn)先增大后減小的變化趨勢(shì),且在冠間間隙達(dá)到一定值(0.8 mm)后,葉冠間不發(fā)生碰撞,此時(shí)振動(dòng)能量不再發(fā)生變化.由圖6(b)還可以看出,冠間接觸碰撞對(duì)一階振動(dòng)的減振效果好于對(duì)二階振動(dòng)的減振效果,二階振動(dòng)僅在冠間間隙較小時(shí)才能取得較好的減振效果.

圖6 冠間間隙對(duì)碰撞振動(dòng)特性的影響Fig.6 Effects of c learancesbetw een shrouds on im pact vibration characteristics

3.2.2 冠間接觸角對(duì)碰撞減振特性的影響

圖7給出了在冠間間隙為0.1 mm、冠間法向接觸剛度為1×108N/m時(shí),不同激振力頻率下帶冠葉片處于共振時(shí)葉頂節(jié)點(diǎn)處的最大振動(dòng)能量隨冠間接觸角的變化.由圖7可知,葉冠的最大振動(dòng)能量隨著冠間接觸角的增大而減小,但在接觸角達(dá)到一定值后其變化趨緩.由式(8)～式(14)可知,這主要是由于小的冠間接觸角對(duì)等效剛度和等效阻尼的影響很大,因此較大的冠間接觸角對(duì)冠間接觸碰撞在切向振動(dòng)上的減振效果較好.但在實(shí)際應(yīng)用中,冠間接觸屬于面接觸,冠間接觸角的大小不僅影響接觸面的大小,而且對(duì)軸向振動(dòng)也有一定影響,因此在進(jìn)行葉片阻尼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí),應(yīng)綜合考慮這兩方面的影響,以確定使冠間接觸碰撞具有更佳減振效果的冠間接觸角.

圖7 阻尼葉片共振時(shí)最大振動(dòng)能量隨冠間接觸角的變化Fig.7 M axim um vib ration energy vs.contacting angles between shrouds w hen damped b lade vib rates in resonance

3.2.3 冠間法向接觸剛度對(duì)碰撞減振特性的影響

圖8給出了在冠間間隙為0.1 mm、冠間接觸角α=30°時(shí),不同激振力頻率下帶冠葉片處于共振時(shí)葉頂節(jié)點(diǎn)處的最大振動(dòng)能量隨冠間法向接觸剛度的變化.由圖8可知,葉冠的最大振動(dòng)能量隨著冠間法向接觸剛度的增大而減小,但減小的幅度逐漸趨緩,在冠間法向接觸剛度較小時(shí)變化較大,此結(jié)論與文獻(xiàn)[11]中的結(jié)論基本一致.因此,較大的冠間法向接觸剛度可使葉片冠間接觸碰撞達(dá)到很好的減振效果,在進(jìn)行帶冠葉片碰撞減振阻尼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí),可通過(guò)選用適當(dāng)?shù)牟牧虾蛯?duì)接觸面進(jìn)行適當(dāng)處理來(lái)盡可能地增大冠間接觸剛度,從而使葉片的振動(dòng)能量響應(yīng)幅值達(dá)到最小.

圖8 阻尼葉片共振時(shí)最大振動(dòng)能量隨冠間法向接觸剛度的變化Fig.8 M aximum vibration energy vs.normal contact rigidity betw een sh roudsw hen dam ped blade vibrates in resonan ce

4 結(jié) 論

(1)將帶冠葉片冠間接觸面法向正壓力看作法向相對(duì)位移的線性函數(shù),切向摩擦力采用滯后滑移模型,通過(guò)諧波平衡法建立了具有間隙的冠間接觸碰撞的等效彈簧-干摩擦阻尼模型,并得到反映汽輪機(jī)帶冠葉片主要危險(xiǎn)振型的三自由度計(jì)算模型,用于計(jì)算具有冠間接觸碰撞的帶冠葉片的非線性響應(yīng).

(2)汽輪機(jī)帶冠葉片因冠間的接觸碰撞而具有很好的減振效果,但由于冠間接觸碰撞的非線性特征,葉冠位移響應(yīng)出現(xiàn)了不同于激振力頻率的頻譜成分和共振頻率右移等現(xiàn)象,且隨著激振力頻率的變化,出現(xiàn)了倍頻和分頻現(xiàn)象,甚至出現(xiàn)了多頻頻帶的混沌現(xiàn)象,因此也引起帶冠葉片發(fā)生共振的不確定性.這些結(jié)果與相關(guān)文獻(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果及帶冠葉片實(shí)踐應(yīng)用中所得出的規(guī)律一致,表明本文模型計(jì)算結(jié)果的合理性.

(3)隨著冠間間隙的減小,帶冠葉片冠間碰撞減振效果變好,但在小間隙時(shí),振動(dòng)情況變得復(fù)雜,冠間接觸碰撞對(duì)一階振動(dòng)的減振效果好于對(duì)二階振動(dòng)的減振效果;較大的冠間接觸角對(duì)冠間接觸碰撞在切向振動(dòng)上的減振效果較好;較大的冠間法向接觸剛度可使葉片冠間接觸碰撞達(dá)到很好的減振效果.這些結(jié)論與相關(guān)文獻(xiàn)所得出的結(jié)論相符,說(shuō)明本文提出的冠間接觸碰撞力學(xué)模型可用于解決接觸碰撞問(wèn)題,為葉片阻尼結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供參考依據(jù).

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