三階KdV方程一般形式的精確解

郝艷花

(山西大同大學數(shù)學與計算機科學學院，山西大同037009)

三階KdV方程一般形式的精確解

郝艷花

(山西大同大學數(shù)學與計算機科學學院，山西大同037009)

對求解非線性數(shù)學物理方程的F-展開法進行了擴展，并利用齊次平衡原則求出KdV方程的橢圓函數(shù)表示的精確解，在極限情形下，得到該方程的三角函數(shù)表示的周期波解.

KdV方程 F-展開法 齊次平衡原則 精確解

非線性數(shù)學物理方程的精確解在非線性問題中占有重要的地位，現(xiàn)在已有諸多求非線性數(shù)學物理方程精確解的新方法，例如齊次平衡方法，F(xiàn)-展開法，Jacobi橢圓函數(shù)展開法等等.本文利用F-展開法，結(jié)合齊次平衡原則求得了KdV方程一般形式的精確解.本方法可以用來求解其他的非線性數(shù)學物理方程.

1 方法簡介

考察非線性偏微分方程

其中等式左端為u及其各階導數(shù)的多項式.

利用F-展開法求解方程(1)的步驟如下：

1)先求方程(1)的行波解，即令

其中c為波速.將(2)式代入方程(1)，則方程(1)可化為常微分方程

設(shè)u(ξ)可表示為F(ξ)的有限冪級數(shù)

其中a-N,…,aN為待定常數(shù),F(ξ)滿足方程

這里P,Q,R為待定常數(shù)，正整數(shù)N由具有支配地位的非線性項與最高階導數(shù)項齊次平衡確定.

2)將(4)式代入方程(3)，再利用(5)式，即可將方程(3)的左端化簡為F(ξ)的多項式.再令F(ξ)的各次冪項的系數(shù)為零，即可得到關(guān)于a-N,…,aN和c的代數(shù)多項式.

3)解上述方程組 (可借助 Mathematica或Maple)，可求得由P,Q,R表示的a-N,…,aN和c，將在線結(jié)果代入(4)式，即可得方程(1)的行波濃縮公式.

4)給P,Q,R賦值，使方程(5)的解F(ξ)是Jacobi橢圓函數(shù)，代入方程(1)的行波濃縮公式，在極限情形下，得到該方程的三角函數(shù)表示的周期波解.

2 KdV方程一般形式的行波濃縮公式

考慮KdV方程

將(2)式代入方程(6)得

方程(7)兩邊對ξ積分，并取積分常數(shù)為零，得

設(shè)方程(7)的解具有

的形式.其中a-N,…,aN為待定常數(shù).

由(8)式可知

再由u″與u2齊次平衡可確定正整數(shù)N=2.故設(shè)方程(7)的解為:

其中a2≠0，F(xiàn)(ξ)滿足方程

易求的

將(10)式代入到方程(8)，并利用方程(11)(12)，可將方程(7)的左端變?yōu)镕(ξ)的多項式

令(13)式中的各次冪的系數(shù)為0，則可得到關(guān)于a-2, a-1,a0,a1,a2的代數(shù)方程組，令求的其解有以下4種情況：

將以上4組解(14)-(17)代入到(10)式中，即可得到方程(6)四個行波濃縮公式：

3 KdV方程的周期波解

選取適當?shù)腜,Q,R，利用P,Q,R與F的對應關(guān)系，m為模，記

由式(18)-(21)即可得到KdV方程的周期波解：

1)取P=m2,Q=-(1+m2),R=1則F=snξ，F(xiàn)=cdξ,得周期波解有：

2)取P=1,Q=-(1+m2),R=m2則F=nsξ，F(xiàn)=cdξ,得周期波解有：

3)取P=m2-1,Q=2-m2,R=-1,則F=ndξ,得周期波解有：

4)取P=1-m2,Q=2m2-1,R=-m2,則F=ndξ,得周期波解有：

5)取P=-m2,Q=2m2-1,R=1-m2,則得周期波解有：

6)取P=-1,Q=2-m2,R=m2,則F=dnξ,得周期波解有：

7)取P=1-m2,Q=2-m2,R=1,則F=scξ,得周期波解有：

8)取P=-m2(2-m2),Q=2m2-1,R=1,則F=sdξ,得周期波解有：

4 三角函數(shù)表示的周期波解

1)當m→0時，得到方程(6)的三角函數(shù)表示的周期波解有：

2)當m→1時，得到方程(6)的三角函數(shù)表示的周期波解有：

綜上所述，本文將F-展開法變化到正負冪的形式，不僅豐富了F-展開法，而且求得了KdV方程的精確解，尤其是用兩個Jacobi橢圓函數(shù)表示的精確解，該方法還可以用來求解一大類數(shù)學物理方程.

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Abstract:The F-expansion method is extended on solving nonlinear mathematical physics equations,and exact solutions of KdV equation expressed elliptic functions are obtained by using the homogeneous balance principle.In the limit cases,the equation of the trigonometric functions are expressed in periodic wave solutions.

Key words:KdV equation;F-expansion method;homogeneous balance principle;exact solutions

〔編輯 高?！?/p>

Exact Solutions to Third-order KdV General Form Equation

HAO Yan-hua
(School of Mathematics and Computer Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

O13

A

1674-0874(2010)05-0010-03

2010-06-06

郝艷花(1973-)，女，山西廣靈人，碩士，講師，研究方向：計算數(shù)學.