一類二階微分方程最終正解的單調(diào)性

陳慧琴，趙香蘭

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,山西大同037009)

一類二階微分方程最終正解的單調(diào)性

陳慧琴，趙香蘭

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,山西大同037009)

研究了一類二階非線性微分方程(a(t)x′)′+P(t,x)=Q(t,x,x′)最終正解的單調(diào)性，給出了判斷其最終正解單調(diào)的充分條件，并用例說明了主要結(jié)論.

二階非線性微分方程 最終正解 單調(diào)性

近幾年，許多專家學(xué)者研究了微分方程的漸近性、振動性及其應(yīng)用，如文獻(xiàn) [1-5],在此影響下，本文研究了二階非線性微分方程

其中a(t)∶[t0,∞)→R,a(t)>0,P∶[t0,∞)×R→R,Q∶[t0,∞)×R2→R,Q為連續(xù)函數(shù).文[1]研究的是方程(1)的振動性，而本文給出了判別方程(1)最終正解具有單調(diào)性的充分條件.為此，設(shè)存在連續(xù)函數(shù)f∶R→R滿足:

(H3)存在兩個函數(shù)p(t),q(t),使得

下面我們給出主要定理,并用例題說明.

定理1設(shè)(H1)—(H4)成立,且

對所有t0成立，則方程(1)的最終正解是最終單增的.

證明 設(shè)x(t)為方程(1)的最終正解，即存在T，當(dāng)t>T>t0時，x(t)>0.如果結(jié)論不成立，不失一般性，可設(shè)x′(T)≤0，由方程(1)及條件得對(2)式積分，得

由條件可知,當(dāng)t≥T時,x′(t)<0.由方程(1)積分并利用條件(H3),有

兩邊同時除以a(t)并積分,有

由(H4)知,當(dāng)t→∞時,x(t)→-∞,這與x(t)>0矛盾.

例1考慮方程

這里r(t,x)為任意的函數(shù),取f(x)=x,則

定理2 若 (H1)-(H4)成立,且存在T>0,t1≥T,使得對每一個t0≥0,使得則方程(1)最終正解x(t)最終單增或滿足

證明設(shè)x(t)為方程(1)的最終正解,即存在T,當(dāng)t>T>t0時,x(t)>0.如果結(jié)論不成立,不失一般性,可設(shè)x′(T)≤0,且

對上式積分，可得

由條件可知矛盾.

例2考慮方程

這里r(t,x)為任意的函數(shù),取f(x)=x,則

及

Q(t,x,x′)=r(t,x(t))=q(t),

f(x(t))

定理3設(shè)(H1)-(H3)成立,且

對所有t0成立,則方程(1)的最終正解是最終單減的.

證明假設(shè)結(jié)論不成立,不妨設(shè)x(t)為方程(1)的最終正解,即存在T,當(dāng)t>T>t0時,x(t)>0,而且x′(t) >0,x′(T)>0.則由(3)得

即有

這是一個矛盾式.

例3考慮方程

這里r(t,x)為任意的函數(shù),取f(x)=x,則

所以p(t)-q(t)=et(2t-1-6t-2),而a(t)=et,則方程(6)滿足定理3的條件,所以方程(6)有一個單減正解

對所有t0成立,則方程(1)的最終正解x(t)或最終單增或最終單減且滿足

定理4若(H1)-(H3)成立,且

證明 設(shè)x(t)為方程(1)的最終正解,即存在T>t0,當(dāng)t>T>t0時,有x(t)>0.如果結(jié)論不成立,不失一般性,可設(shè)x′(T)≤0,且

則存在實數(shù)β>0,使得

由(3)式,得

所以

這是個矛盾式.

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[6]Grakf J R,Rankin S M,Spikes P W.Oscillation theorems for perturbed nonlinear differential equations[J].J Math Appl,1978,65: 375-390.

Abstract:In this paper,we derive several sufficient conditions for monotonicity of eventually positive solutions on a class of second order nonlinear differential equation(a(t)x′)′+P(t,x)=Q(t,x,x′).We also provide example to illustrate our main results.

Key words:second order nonlinear differential equation;eventually positive solution;monotonicity

〔編輯 高?！?/p>

Motnotonicity of Eventually Postive Solutions on a Class of Secord Order Nonlinear Diffevential Equation

CHEN Hui-qin,ZHAO Xiang-lan
(School of Mathematics and Computer Sciences,Shanxi Datong Universty,Datong Shanxi,037008)

O177

A

1674-0874(2010)05-0003-02

2010-04-20

陳慧琴(1964-),女，山西大同人，副教授,研究方向:差分方程.