氣軌阻力與速度關(guān)系的研究

賀卓然

(北京大學(xué)物理學(xué)院,北京100871)

氣軌阻力與速度關(guān)系的研究

賀卓然

(北京大學(xué)物理學(xué)院,北京100871)

在氣軌上測量了微小阻力和速度的關(guān)系.通過振動能準靜態(tài)衰減的假設(shè)建模,并利用一種改進的線性擬合方法做數(shù)值微分,最終在3臺氣軌上得出了一致的經(jīng)驗規(guī)律:

氣軌;阻力;速度

1 引 言

氣軌是低阻力裝置,在大學(xué)物理實驗中應(yīng)用廣泛.因而研究氣軌阻力與速度的關(guān)系對分析和修正氣軌上的動力學(xué)實驗的誤差具有重要意義.但由于氣軌上的阻力很小,滑塊即使長距離地單程滑行,其速度也沒有明顯改變.這么小且與速度有關(guān)的力,測量起來絕非易事.本文采用滑塊在氣軌上做阻尼振動的實驗[1-4]來完成測量,去掉先驗假設(shè)f(v)∝v后,得到了新的結(jié)果.

2 實驗原理

滑塊在氣軌上的運動方程為

雖然f(v)的表達式未知,但Weierstrass證明過定理[5]:任何一個閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),都可以用足夠高次的多項式一致逼近.因此可以把f(v)在實驗數(shù)據(jù)范圍[0,vmax]內(nèi)近似寫成N次多項式pN(v).理論上只要N足夠大,用pN(v)近似f(v)就可以足夠精確.于是有然而,若直接把f(v)代入(1)式,所得微分方程將高度非線性,解析解近乎不可能.但由于阻力f (v)很小,可以采用振動能準靜態(tài)衰減的近似,即1個周期之內(nèi),滑塊的運動仍近似滿足無阻尼時的x=Asinωt,v=v0cosωt,其中v0是滑塊過平衡位置的速度,易用光電門測得.于是從平衡位置出發(fā),經(jīng)過1個周期之后,振動能改變量為

其中B為Beta函數(shù).這里假設(shè)了能量衰減幾乎完全由氣軌阻力引起,而忽略了諸如彈簧發(fā)熱等其他因素引起的能量損失.這樣方程(1)中的f才代表要研究的氣軌阻力.

由于阻力f很小,振動能衰減緩慢,可以用微分近似代替差分,將衰減過程連續(xù)化,得

其中

不過,在實驗中N并非越大越好,因為測量總有隨機誤差,太大的N導(dǎo)致曲線pN(v)劇烈抖動.而實測曲線本身比較光滑,故本文中取N=3,且后面擬合時零截距的假設(shè)α0=β0= 0也得到了實測數(shù)據(jù)的支持.

3 實驗及結(jié)果

3.1 Hooke定律的驗證

前面假設(shè)了沒有阻力時滑塊做簡諧振動x= Asinωt.這是Hooke定律的結(jié)果.但實際使用的彈簧是否滿足Hooke定律,則有待實驗檢驗.

圖1 驗證Hooke定律

在氣軌的邊緣固定摩擦盡可能小的定滑輪.用細線一端拉住彈簧振子,另一端繞過定滑輪拉住砝碼盤的掛鉤.在盤中放入不同質(zhì)量m的砝碼,用氣軌上的標尺讀出最大靜摩擦允許的最大平衡范圍[x1,x2],記錄實驗數(shù)據(jù)并計算其中心位置x=(x1+x2)/2如表1所示.

表1 Hooke定律的驗證

從表1看出,當(dāng)砝碼B質(zhì)量增加時,滑輪軸承處的最大靜摩擦fmax增大,滑塊A的平衡范圍[x1,x2]越來越寬,但只要彈簧彈力F=F(x)在小范圍[x1,x2]內(nèi)近似線性,則在[x1,x2]的中點x=(x1+x2)/2處恰好有摩擦為0,F=mg.故要驗證Hooke定律,只需驗證x是否與砝碼總質(zhì)量m成線性關(guān)系即可.作圖并擬合發(fā)現(xiàn)x與m的線性相關(guān)程度高達r =0.999 9,說明實驗所用彈簧在很大的振幅范圍內(nèi)仍高精度地滿足Hooke定律.交換k1和k2的位置,重復(fù)上述實驗,線性關(guān)系依然成立.

3.2 氣軌啟動前的測量

U擋光片一、三擋光邊距離δl=10.30 mm;滑塊與擋光片總質(zhì)量m1=449.43 g;兩彈簧總質(zhì)量m2=22.37 g;振子等效質(zhì)量[1]m=m1+m2/3 =456.89 g.

從后面的實驗步驟不難看出,本部分的測量結(jié)果不影響f(v)曲線的形狀,而只改變其標度.

3.3 氣軌上的測量

1)光電門定位于氣軌上滑塊的平衡位置.

2)在彈簧的彈性限度內(nèi),盡可能大地拉開滑塊后釋放.待滑塊振動幾個周期穩(wěn)定后,開始采集數(shù)據(jù).在滑塊振幅衰減的不同階段,重復(fù)如下過程若干次.

設(shè)滑塊上U型擋光片連續(xù)5次“左→右”通過平衡位置的10個擋光時刻為:t11,t12,t21,t22,…,t51,t52.規(guī)定t11=0,記錄ti1和δti=ti2-ti1于表2中.表2共記錄了8組數(shù)據(jù).

0ii斜率dv0/dt,作為處的導(dǎo)數(shù)(詳見第5部分討論).

用所得回歸直線方程給出t時刻對應(yīng)的速度值,作為v0.于是完成表3.

圖2 實測數(shù)據(jù)點的多項式擬合

表2 氣軌阻力-速度關(guān)系測量數(shù)據(jù)

表3 計算結(jié)果

求出各項系數(shù)βi后,不難算出各αi值.于是有f(v)≈p3(v)=(4.95v+6.33v2-1.62v3)× 10-3N,其中v的單位為m/s.這樣就得到了f(v)在實驗數(shù)據(jù)范圍0～1.8 m/s的3次多項式逼近結(jié)果p3(v).

4 結(jié)果分析

在0～1.8 m/s范圍內(nèi),p3(v)曲線與f(v)近似重合.于是作p3(v)的圖像(如圖3所示).由圖可知,氣軌阻力速度關(guān)系f(v)確實不像Stokes公式描寫的正比關(guān)系那么簡單.當(dāng)v較小時, f(v)表現(xiàn)出明顯的向上彎曲.當(dāng)v較大時曲線卻比較直.在另外2臺氣軌上重復(fù)實驗,也得到了這種向上彎曲且前彎后直的f(v)曲線.

如果能定量描述這一由曲變直的規(guī)律,就可能得到f(v)的經(jīng)驗公式.根據(jù)p3(v)曲線,筆者猜測f(v)可以寫成如下形式:

其中冪指數(shù)γ可能不是整數(shù).在這個參數(shù)模型下,重復(fù)第2節(jié)中的推導(dǎo)不難得到

雙對數(shù)擬合常常在數(shù)據(jù)小的一端誤差大,從圖4已經(jīng)可見一斑.為得到更可靠的γ值,筆者放棄了取對數(shù),而直接采用非線性最小二乘擬合,得γ=1.29,f(v)=9.59v1.289×10-3N,發(fā)現(xiàn)在0～1.8 m/s范圍內(nèi),f(v)(圖3中的點)確實與p3(v)幾乎完全重合.這一定程度上驗證了前面猜測的f(v)模型.在另2臺氣軌測得γ=1.27和γ=1.33,故3臺氣軌所得γ平均值為1.30. 3個冪指數(shù)十分接近,進一步肯定了經(jīng)驗規(guī)律的可靠性.

圖4 實測數(shù)據(jù)點的雙對數(shù)擬合

5 討 論

本實驗的數(shù)據(jù)處理涉及到微分的計算.為了減小誤差,本文采用了把數(shù)據(jù)點(xi,yi)的線性擬合的斜率歸結(jié)為的導(dǎo)數(shù)的方法.下面介紹此方法的依據(jù).

設(shè)實驗中密集測量了若干個數(shù)據(jù)點(xi,yi).它們分布于1條未知的光滑曲線y=f(x)附近.

在足夠小的區(qū)間[x0,x0+δ]內(nèi),曲線y= f(x)近似為直線.對區(qū)間內(nèi)的點用線性擬合,得出斜率的最佳無偏估計

考慮曲線在區(qū)間[x0,x0+δ]內(nèi)的微彎曲,將f(x)在x0處泰勒展開到二階,有yi=a+bxi+

令

則這表明在只考慮到二階泰勒項的精度下,線性擬合的斜率^b是xp處導(dǎo)數(shù)f′(xp)的無偏估計.

用文獻[6]中的統(tǒng)計理論可以證明,即使對測量數(shù)據(jù)點做二次擬合y=a+bx+cx2,xp點處的導(dǎo)數(shù)b+2cxp的不確定度也是最小的,且其值等于線性擬合的結(jié)果.因此完全不必做二次擬合,它起不到改進結(jié)果的作用.

6 結(jié)束語

本文去掉f(v)∝v的假定后,通過基于振動能準靜態(tài)衰減假設(shè)的一系列合理的近似,成功處理了一個非線性系統(tǒng)的實驗測量問題.在數(shù)據(jù)處理過程中,本文通過Weierstrass的多項式逼近手段,并采用一種改進的線性擬合方法做數(shù)值微分,在尚未對f(v)建立任何先驗的參數(shù)模型的情況下,便得出了與最終結(jié)果十分接近的f(v)曲線.最后根據(jù)曲線,筆者猜出了一個與實測數(shù)據(jù)高度吻合的參數(shù)模型并在3臺氣軌上得到了一致的冪指數(shù)γ≈1.30.

感謝北京大學(xué)物理學(xué)院實驗中心的各位老師提供的支持與幫助.

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Relationship between resistance and velocity on air track

HE Zhuo-ran
(School of Physics,Peking University,Beijing 100871,China)

A method to determine the relationship between resistance and velocity on an air track is designed.By using approximations based on the assumption of quasi-static oscillation energy loss and an improved linear regressive method for numerical differentiation,an empirical law is obtained:,whereγ≈1.30.

air track;resistance;velocity

O311.1

A

1005-4642(2010)12-0039-04

[責(zé)任編輯:郭 偉]

2010-03-03;修改日期:2010-05-15

賀卓然(1990-),男,湖北武漢人,北京大學(xué)物理學(xué)院2008級本科生.