非線性?xún)牲c(diǎn)邊值問(wèn)題的反插值Volterra型積分方程解法

付 宇,肖繼紅,呂 濤

(1.四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,四川成都 610064;2.四川理工學(xué)院理學(xué)院,四川自貢 643000)

非線性?xún)牲c(diǎn)邊值問(wèn)題的反插值Volterra型積分方程解法

付 宇1,2,肖繼紅1,呂 濤1

(1.四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,四川成都 610064;2.四川理工學(xué)院理學(xué)院,四川自貢 643000)

對(duì)原為第一類(lèi)邊值問(wèn)題的非線性常微分方程采用并行打靶的方法,尋求原問(wèn)題相對(duì)應(yīng)的初值問(wèn)題,將其轉(zhuǎn)換為Volterra型積分方程組離散求解,并采用外推技術(shù)進(jìn)一步提高解的精度.同時(shí),對(duì)問(wèn)題的存在性,唯一性,以及算法的收斂性均進(jìn)行了討論,并取得較好的數(shù)值結(jié)果.

二階非線性微分方程;并行打靶;反插值;外推

0 引 言

我們首先描述二階非線性常微分方程的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的一般形式：其中,α,β為已知常數(shù).

許多文獻(xiàn)都討論過(guò)系統(tǒng)(1)的解的存在唯一性問(wèn)題[1-5],對(duì)于系統(tǒng)(1)的數(shù)值解的研究,宋興光做了一定探討,但其數(shù)值結(jié)果卻不盡詳盡或令人滿(mǎn)意[6].本文對(duì)問(wèn)題(1)的解的存在性與數(shù)值結(jié)果都有詳盡討論,并有較好的結(jié)果.

考慮與系統(tǒng)(1)相對(duì)應(yīng)的初值問(wèn)題如下：

1 算 法

(3)式可轉(zhuǎn)化為Volterra型積分方程組,

其中,

這里定義,

現(xiàn)在,我們構(gòu)造(4)式的離散形式.

取步長(zhǎng) h=1/k,對(duì)區(qū)間[a,b]進(jìn)行 k等分,節(jié)點(diǎn)為,

則有,

對(duì)(5)式中的積分運(yùn)用復(fù)合梯形公式,得離散方程,

算法1：

由算法1可解出,

其中,

2 解的存在唯一性、收斂性及誤差估計(jì)

對(duì)于系統(tǒng)(1)解的存在唯一性有如下定理：

定理1[1]設(shè)(1)式中函數(shù)f及在區(qū)域, Ω={(t,u,u′)|a≤t≤b,-∞＜u,u′＜∞}內(nèi)連續(xù),并且：

則邊值問(wèn)題(1)的解存在且唯一.對(duì)(4)式中定義的 F→,假定存在常數(shù)L＞0,使得對(duì)任意的滿(mǎn)足,

下面討論算法1的收斂性及誤差估計(jì).

引理1[2]如果序列滿(mǎn)足e0=0,|ei|≤+A,h足夠小,使得Lh＜1,則有,≤HA,這里,

定理2 如果h足夠小,則非線性系統(tǒng)(6)的解存在且唯一,并且簡(jiǎn)單迭代式(7)是收斂的.

證明 首先,假設(shè){u→i},{v→i}都是(5)式的解,則記它們的差為,

利用(8)式,顯然有,

當(dāng) h足夠小,使得,Lh＜1時(shí),則有,

由引理1,此時(shí)A=0,所以,‖z→j‖=0.

其次,從簡(jiǎn)單迭代式(7),并利用(8)式,有,

此說(shuō)明迭代式是收斂的.

進(jìn)一步,為了說(shuō)明迭代的穩(wěn)定性,令,

由(9)式有,

令 k→∞,則有,

證畢.

定理2說(shuō)明了算法1的解是存在且唯一的.

為了討論(4)式的解的誤差,先給出如下引理.

引理2[3]令 g(x) ∈C2k+1[a,b],取 h=,則成立梯形公式的漸進(jìn)展開(kāi)式,

其中,B2k為貝努力數(shù),

定理3 當(dāng) h足夠小,存在一個(gè)常數(shù)c,使得誤差,E→i=X→

(tj)-X→j,j=0,1,…,k,則有如下估計(jì),

證明 由引理2,(4)式可以寫(xiě)為,

則有,

由(8)式有,

這里,

當(dāng) h足夠小,使得 hL＜1,則,

由引理1、2知,

3 外 推

由引理2,(5)式可以寫(xiě)為,

用(12)式減去(6)式得,

其中,

得到其逼近方程,

將(14)式帶入(13)式,消去Q→(tj),有,

由引理1,有,

所以,

以上結(jié)論意味著可以對(duì)算法采用理查德森 h2外推,

4 算 例

考慮如下非線性的二階微分方程第一類(lèi)兩點(diǎn)邊值問(wèn)題,

本例真解為,

分別取,

進(jìn)行打靶,由算法1分別計(jì)算h=0.05與h=0.025時(shí)的誤差,做外推得如表1所示結(jié)果.

表1 計(jì)算結(jié)果與外推效果表

從表1數(shù)據(jù)可以看到,計(jì)算結(jié)果及外推效果是較為明顯的.

[1]余德浩,湯華中.微分方程數(shù)值解法[M].北京：科學(xué)出版社,2003.

[2]Lu T,Huang Y.Extrapolation method for solving weakly singular nonlinear Volterra integral equations of the second kind[J]. Mathematical Analysis and Applications,2006,324(1)：225-237.

[3]呂 濤,石濟(jì)民,林振寶.分裂外推與組合技巧[M].北京：科學(xué)出版社,1998：18-45.

[4]劉亞平.第一類(lèi)弱奇異Volterra積分方程的超收斂技術(shù)[D].成都：四川大學(xué),2006.

[5]欒世霞,孫欽福,高蘭芳.Banach空間二階常微分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題解的存在唯一性定理[J].曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào),1999,25(1)：10-12.

[6]宋興光.Banach空間二階常微分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題迭代求解[J].應(yīng)用數(shù)學(xué),2000,13(2)：9-13.

Volterra Integral Equation Solution of Reverse Interpolating Obtained from Nonlinear Two-point Boundary Value

FU Yu1,2,XIAO Jihong1,LV Tao1

(1.School of Mathematics,Sichuan University,Chengdu 610064,China; 2.School of Science,Sichuan University of Science and Engineering,Zigong 643000,China)

Parallel shooting method was used to transform the boundary problem into initial problem,further transform it into integral equations and seek its discrete solution by using trapezoid formula.In order to achieve better precision order,extrapolation techniques were used too.The problems of existence,uniqueness,convergence of the algorithm were discussed,and had good numerical results.

second order nonlinear differential equation;parallel shooting;reverse interpolating;extrapolation

O241.83

：A

2010-03-03.

付 宇(1981—),男,碩士研究生,從事微分方程數(shù)值解研究.