基于LMI的刨花板施膠魯棒H∞控制1)

郭繼寧 朱良寬 孫麗萍

(東北林業(yè)大學(xué)，哈爾濱，150040)

在刨花板的工業(yè)生產(chǎn)中，施膠量的多少以及施膠的準(zhǔn)確性和均勻性直接影響著產(chǎn)品的質(zhì)量和成本［1］。為達(dá)到按配方要求準(zhǔn)確配比和按比例均勻施膠，近年來，國內(nèi)一些科研機(jī)構(gòu)和企業(yè)在刨花板施膠控制技術(shù)方面開展了多項(xiàng)研究。例如文獻(xiàn)［2］、［3］對(duì)調(diào)施膠應(yīng)用技術(shù)進(jìn)行了研究，通過分析調(diào)施膠工段的組成，對(duì)如何提高調(diào)施膠設(shè)備和應(yīng)用技術(shù)水平，提出了新的看法，重點(diǎn)論述了PID控制和模糊自適應(yīng)控制技術(shù);文獻(xiàn)［4］中采用了先進(jìn)的并行在線施膠工藝和設(shè)計(jì)，以及與工藝相適應(yīng)的設(shè)備及控制系統(tǒng)等［2－4］。然而，文獻(xiàn)［2］－［4］控制的結(jié)果都是基于經(jīng)驗(yàn)估計(jì)、非線性系統(tǒng)的線性化、忽略干擾因素的情況下得出的。對(duì)于實(shí)際生產(chǎn)過程中的施膠系統(tǒng)，系統(tǒng)模型的不確定性和系統(tǒng)的一些干擾因素都無法忽略，因此以往的控制方法很難達(dá)到施膠系統(tǒng)的工藝要求及某些期望的性能指標(biāo)。筆者針對(duì)上述問題，基于系統(tǒng)辨識(shí)出的施膠系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，并針對(duì)由設(shè)備老化、振動(dòng)等因素引起的外界干擾及模型不確定性，采用魯棒H∞控制理論設(shè)計(jì)魯棒控制器，將其轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequality，LMI)問題求其可行解，最后通過仿真對(duì)設(shè)計(jì)控制器的性能和控制品質(zhì)進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 刨花板施膠系統(tǒng)工藝及模型

刨花板施膠控制過程首先是設(shè)定刨花與膠液的配比，然后根據(jù)刨花流量的大小，確定施膠量;通過電磁流量計(jì)計(jì)量檢測施膠流量，并反饋控制施膠電機(jī)轉(zhuǎn)速，使施膠量隨刨花流量的變化而改變。

圖1為一種比較常用的刨花板施膠流量閉環(huán)控制流程圖。流量測量是將電磁流量計(jì)測量值和控制器的期望值進(jìn)行比較，把誤差送給控制器，控制器為了保證誤差最小，需要不斷地調(diào)整電機(jī)轉(zhuǎn)速，從而達(dá)到不斷減小理想值與實(shí)際值之間誤差的目的。

圖1 刨花板施膠流量閉環(huán)控制流程

根據(jù)刨花板施膠過程的控制要求和流量范圍，其控制結(jié)構(gòu)可能存在不同的動(dòng)態(tài)特性。實(shí)際中的施膠系統(tǒng)開環(huán)特性是一個(gè)非線性系統(tǒng)，它的穩(wěn)態(tài)增益和階躍響應(yīng)隨著流量大小的變化而變化。然而，當(dāng)流量在某一固定值附近小范圍變化時(shí)，刨花板施膠系統(tǒng)可以近似看作線性系統(tǒng)。

圖2 簡化的施膠控制系統(tǒng)開環(huán)模型結(jié)構(gòu)

由于刨花板施膠過程工藝變化導(dǎo)致流量變化很大，故其開環(huán)系統(tǒng)控制模型一般在2～4階變化［5］。圖2為常用的開環(huán)模型結(jié)構(gòu)，其中U代表電機(jī)的輸入電壓，Y1代表和流量傳感器的流量比例對(duì)應(yīng)的電壓值，Y代表傳感器的流量輸出。K1和K2為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)增益，τ0、τ1和τ2為系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)。這樣的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)要根據(jù)實(shí)際設(shè)備的動(dòng)態(tài)特性及工藝的變化進(jìn)行調(diào)整，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)表達(dá)式如下所示:

2 基于LMI的魯棒H∞控制

假定系統(tǒng)的狀態(tài)是可以通過直接測量得到的，那么可以根據(jù)要求設(shè)計(jì)一個(gè)靜態(tài)的狀態(tài)反饋器

使得相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)

是漸進(jìn)穩(wěn)定的。如果使閉環(huán)傳遞函數(shù)Tzw(s)滿足

則稱具有這樣性質(zhì)的控制律為閉環(huán)系統(tǒng)系統(tǒng)(2)的一個(gè)狀態(tài)反饋H∞控制律。

設(shè)廣義被控對(duì)象G的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)為

定理1:對(duì)于系統(tǒng)(4)，存在一個(gè)狀態(tài)反饋H∞控制器，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)對(duì)稱正定矩陣X和矩陣W，使得以下的矩陣［6］

小于0成立。進(jìn)而，如果矩陣不等式(5)存在可行解X*和W*，則

為系統(tǒng)(4)的一個(gè)狀態(tài)反饋解。

根據(jù)以上原理，可為刨花板施膠系統(tǒng)設(shè)計(jì)滿足一定性能指標(biāo)的狀態(tài)反饋控制器。

3 刨花板施膠魯棒H∞控制器設(shè)計(jì)及仿真

3.1 干擾抑制問題轉(zhuǎn)化為H∞標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)問題

干擾抑制控制系統(tǒng)框圖如圖3所示。其中，G0為被控對(duì)象，K為控制器，v為參考輸入，y為量測輸出，d為外部干擾(量測燥聲)，u為控制信號(hào)。為了對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行魯棒控制，首先將其轉(zhuǎn)化成魯棒H∞的標(biāo)準(zhǔn)問題。

圖3 干擾抑制控制系統(tǒng)

假設(shè)干擾信號(hào)d屬于如下集合［7］:

其中，W(s)是穩(wěn)定的實(shí)有理函數(shù)，稱為權(quán)函數(shù)，用來反映在期望頻段上對(duì)干擾的抑制能力。

可知

所要求解的問題是設(shè)計(jì)控制器K(s)，使閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定，并且使Tyv(s)W(s)v的H∞范數(shù)最小。圖3干擾抑制控制系統(tǒng)中z=y，于是可以得出:

由此得出廣義被控對(duì)象的傳遞函數(shù)矩陣為

3.2 H∞狀態(tài)反饋控制器的求解與仿真分析

在已有實(shí)驗(yàn)室設(shè)備基礎(chǔ)上，通過德國Endress+Hauser流量計(jì)得到不同輸入狀態(tài)下流量值。應(yīng)用Matlab系統(tǒng)辨識(shí)工具箱對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

在刨花板施膠的中頻工況(輸入25、30 Hz激勵(lì))，壓力的變化對(duì)施膠流量的變化影響較大，致使流速在一定范圍內(nèi)波動(dòng)，模型結(jié)構(gòu)因施膠過程受外界擾動(dòng)較多變得復(fù)雜，得到輸出量與輸入量之間的傳遞函數(shù)如下:

在輸入干擾信號(hào)d情況下，得到輸出量與輸入量之間的傳遞函數(shù)為

根據(jù)公式(8)—公式(11)，可以推導(dǎo)得出上述傳遞函數(shù)的廣義對(duì)象狀態(tài)空間系數(shù)矩陣分別為

利用Matlab中LMI工具箱的相關(guān)命令函數(shù)feasp()求解可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)反饋矩陣為［8－10］:

將魯棒H∞控制器加入到控制系統(tǒng)中，得到系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如圖4所示。

仿真結(jié)果可以看到:魯棒H∞控制階躍響應(yīng)上升時(shí)間較快，超調(diào)量較小，系統(tǒng)響應(yīng)的最大超調(diào)量為0.0556，穩(wěn)定施膠時(shí)間4.2 s，所設(shè)計(jì)的控制器對(duì)施膠過程存在的外界干擾及模型結(jié)構(gòu)不確定性具有很好的抑制作用，符合刨花板施膠的生產(chǎn)工藝要求。

圖4 魯棒H∞控制階躍響應(yīng)曲線

4 結(jié)論

在實(shí)際生產(chǎn)過程中，針對(duì)施膠系統(tǒng)存在的結(jié)構(gòu)性和參數(shù)不準(zhǔn)確性的問題，建立了基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的刨花板施膠模型，并在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)了系統(tǒng)的廣義對(duì)象狀態(tài)空間表達(dá)式。同時(shí)針對(duì)系統(tǒng)中由設(shè)備老化、振動(dòng)等因素引起的外界干擾以及模型建立誤差等問題，采用魯棒H∞控制理論設(shè)計(jì)魯棒控制器，將其轉(zhuǎn)化為LMI問題求其可行解。最后，通過Matlab軟件的LMI工具箱設(shè)計(jì)了刨花板施膠系統(tǒng)的魯棒H∞控制器。通過仿真可以看出，所設(shè)計(jì)的魯棒H∞控制器保證了系統(tǒng)的二次穩(wěn)定，使控制系統(tǒng)指標(biāo)達(dá)到了很好的效果，其響應(yīng)上升時(shí)間較快，超調(diào)量較小的性能，符合刨花板施膠過程的生產(chǎn)工藝，為刨花板施膠的精準(zhǔn)控制提供了一個(gè)很好的思路。

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