GARCH模型的蒙特卡羅模擬方法及應(yīng)用

劉旭彬

（暨南大學(xué) 經(jīng)濟學(xué)院統(tǒng)計學(xué)系，廣州 510632）

GARCH模型的蒙特卡羅模擬方法及應(yīng)用

劉旭彬

（暨南大學(xué) 經(jīng)濟學(xué)院統(tǒng)計學(xué)系，廣州 510632）

文章以長江電力（600900）股票和長電CWB1（580007）權(quán)證為例進行了實證研究分析，結(jié)合GARCH模型與蒙特卡羅模擬方法，利用Eviews和R語言對長電CWB1權(quán)證進行了數(shù)值方法的定價。實證結(jié)果顯示出了金融時間序列的GARCH模型特性，并且蒙特卡羅方法定價與實際價格偏差較小，證實了該方法在期權(quán)定價中的有效性。

GARCH模型；蒙特卡羅方法；期權(quán)定價

0 引言

在眾多的金融衍生物當(dāng)中，期權(quán)是一種重要的基礎(chǔ)性衍生產(chǎn)品，如何準(zhǔn)確地為期權(quán)定價一直是眾多學(xué)者研究的重要課題。

期權(quán)定價的經(jīng)典模型是Black-Scholes模型，該模型需要先估計標(biāo)的股票收益的波動率，一般采取歷史波動率法，但是完全市場與波動率固定不變的假設(shè)與實際市場并不完全相符，大量的實證分析證實了Black-Scholes模型定價的偏差。應(yīng)用GARCH模型對標(biāo)的股票收益的波動率的時滯性進行探討，并在此基礎(chǔ)上對期權(quán)定價問題進行研究，國內(nèi)外的學(xué)者在這方面都有一定的貢獻。

Duan[1]運用均衡定價原理通過引入更一般化的風(fēng)險中性定價關(guān)系或叫做局部風(fēng)險中性定價關(guān)系解決了這一難題，從而第一次給出了系統(tǒng)的GARCH期權(quán)定價理論。此后，Duan和Simonato[2]結(jié)合GARCH模型與馬爾科夫鏈對美式期權(quán)的定價問題進行了研究；Duan和Zhang[3]運用GARCH模型研究了香港恒生指數(shù)期權(quán)的定價問題，研究表明基于GARCH模型的期權(quán)定價方法具有較高的準(zhǔn)確性。汪來喜、丁日佳[4]應(yīng)用GARCH模型估計標(biāo)的股票收益的波動率，并將估計出來的收益波動率代入Black-Scholes期權(quán)定價公式，與基于歷史波動率下的定價進行比較，結(jié)果發(fā)現(xiàn)GARCH定價并非總具有優(yōu)勢。王健、李超杰、何建敏[5]基于GARCH-擴散過程，把規(guī)范的Black-Scholes期權(quán)定價模型推廣到存在交易成本的情形，并與Leland的期權(quán)定價模型進行了比較。結(jié)果表明，有交易成本的GARCH-擴散期權(quán)定價模型具有較好的定價性能。張敏、王鍵[6]研究了期權(quán)的數(shù)值分析法—Monte Carlo模擬法，為期權(quán)的定價提供了估值的數(shù)值計算方法。

國內(nèi)常見的蒙特卡羅模擬方法是假定標(biāo)的資產(chǎn)價格服從一個幾何布朗運動，即根據(jù)標(biāo)的資產(chǎn)價格呈對數(shù)正態(tài)分布的假設(shè)，模擬出資產(chǎn)在期權(quán)持有期內(nèi)的價格走勢，得出資產(chǎn)在期權(quán)到期日的不同價格分布。上述方法中測度的波動率多為常數(shù)，未能如實地反映出金融時間序列波動率的時變性和聚類性。對于如何才能利用可充分反映金融時間序列特有性質(zhì)的方法來進行期權(quán)定價，國內(nèi)少有相關(guān)文獻研究。針對以上問題，本文假設(shè)股票價格收益率服從一個GARCH類模型，此類模型為準(zhǔn)確描述和預(yù)測波動率提供了條件，而使用結(jié)合了GARCH類模型的蒙特卡羅模擬方法為長電CWB1權(quán)證的價格進行數(shù)值定價，精確性較高，與實際的偏差較小，證實了該方法定價的有效性。

1 理論依據(jù)與技術(shù)實現(xiàn)

1.1 GARCH模型

金融時間序列的一個顯著特點是條件異方差性。Engel提出自回歸條件異方差(ARCH)模型，Bollerslev將其推廣到廣義ARCH 模型（GARCH）。這些模型以線性形式刻畫了誤差項的條件二階矩性質(zhì)，通過條件異方差的變化來刻畫波動的時間可變性及集簇性，GARCH族模型現(xiàn)在已廣泛地應(yīng)用于計量金融領(lǐng)域。對對數(shù)收益率rt，我們假定其均值方程是一個ARMA模型，設(shè)at=rt-μt使均值修正的對數(shù)收益率，考慮如下模型[7]：

1.2 蒙特卡羅模擬方法的理論依據(jù)

衍生證券的數(shù)值方法通常有二叉樹方法，有限差分方法和蒙特卡羅模擬方法。

蒙特卡羅方法是以概率統(tǒng)計的理論和方法為基礎(chǔ)的一種計算方法。蒙特卡羅方法將所求解的問題與某個概率模型聯(lián)系起來，在計算機上進行隨機模擬，從而得出問題的近似解，因此蒙特卡羅方法也被稱為隨機模擬法或者統(tǒng)計試驗法。

蒙特卡羅模擬方法的理論依據(jù)是風(fēng)險中性定價。我們考慮一種歐式衍生證券，這種衍生證券的持有者在其有效期內(nèi)不能做任何決策，假設(shè)在T時刻時該衍生證券的收益為fT，那么在風(fēng)險中性的世界里，其0時刻的價值為：

如果衍生證券只依附一個標(biāo)的隨機變量，并且這個變量不是利率，我們就可以模擬風(fēng)險中性世界中該標(biāo)的變量的一種可能路徑，然后計算出在這條可能路徑下所得到的回報，得到了衍生證券的最終價值，這一最終價值可被看作是全部可能終值集合中的一個隨機樣本。再選取該變量的第二條樣本路徑，可以按照上述方法獲得第二個樣本的終值。更多的樣本路徑得出更多的樣本終值。計算出大量的樣本終值后，(fT)就用它們的算術(shù)平均值來估計，通過無風(fēng)險利率對(fT)進行貼現(xiàn)，就可以計算出衍生證券現(xiàn)值的估計值。上述的模擬被稱為其中的一次模擬運算。蒙特卡羅方法需要非常大量的模擬運算。

1.3 基于GARCH模型蒙特卡羅模擬方法的技術(shù)實現(xiàn)

股票價格t時期的波功率σt可由GARCH(1,1)模型估計出，假設(shè)股票的收益率滿足如下的形式：

其中{St}為股票每日的收盤價格序列，{Rt}為股票的收益率序列，λ表示單位風(fēng)險費用 （即市場中的預(yù)期風(fēng)險增加一單位時，收益率就會相應(yīng)增加λ個單位），Ψt-1表示t-1時刻所有的信息集。

在風(fēng)險中性的世界中，令 ξt=λσt+εt，則上述模型變?yōu)槿缦滦问剑?/p>

接著運用蒙特卡羅方法對標(biāo)的股票價格走勢進行模擬，其技術(shù)實現(xiàn)步驟如下：

(1)創(chuàng)建一個j行k列的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機矩陣，k表示距離到期時刻T的天數(shù)(距到期日時間不包括周末和假期)，j表示模擬的路徑總數(shù)，不妨設(shè)j=10000，n(j,k)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機矩陣中的一個元素。

(2)創(chuàng)建一個波動率矩陣σ(j,k)，該矩陣第一列的元素可用歷史波動率的方法估計α0，α1，β1可以用Eviews軟件估計出，ξ(j,k)=σ2(j,k)n(j,k)，代入波動方程可得到波動率矩陣。

(3)模擬股票價格的走勢，到期日T的股票價格ST的計算方法如下：

圖1 長江電力日收益率波動的波動

圖2 長江電力日收益率的頻數(shù)圖及統(tǒng)計特征

(4)則歐式看漲期權(quán)在GARCH(1,1)模型下的定價公式為：

其中C表示歐式看漲期權(quán)的價格，r表示無風(fēng)險利率，X表示期權(quán)的執(zhí)行價格，S(T,i)表示標(biāo)的資產(chǎn)在到期日T的第i條路徑模擬價格。

2 數(shù)據(jù)分析與實證

2.1 數(shù)據(jù)的選取與準(zhǔn)備

本文實證的數(shù)據(jù)來自WIND金融數(shù)據(jù)庫，研究的期權(quán)為長電CWB1(580007)，其標(biāo)的股票為長江電力(600900)，選取長江電力上市之日2003年11月18日至2007年3月19日的日收盤價為樣本來進行GARCH模型的估計，共806個數(shù)據(jù)，其收益率按照如下的公式來計算：

其中Rt表示股票的日收益率，St為股票的每日收盤價。

2.2 實證分析

2.2.1 描述性統(tǒng)計（見圖1，圖2）

圖2的結(jié)果見表1。

由圖1可以看出長江電力日收益率的波動都表現(xiàn)出時變性、突發(fā)性和集群性。由圖2的結(jié)果可看出其收益率分布都是略微右偏的，其峰度明顯要高于正態(tài)分布的峰值3，所以具有一般金融時間序列“尖峰厚尾”性質(zhì)。通過雅克貝拉檢驗可以得出長江電力日收益率序列的分布是顯著的異于正態(tài)分布的，初步具備建立GARCH(1,1)模型的條件。

2.2.2 平穩(wěn)性檢驗

從上面的統(tǒng)計分析能夠知道，收益率序列圍繞著均值上下波動，不存在趨勢，因此，對滬深兩市的收益率序列做帶截距項不帶時間趨勢滯后4階的ADF檢驗，可以得到表2。

表1 長江電力日收益率序列的統(tǒng)計特征

表2 長江電力日收益率序列的增廣迪基富勒檢驗

表3 GARCH(1,1)方差方程的建模結(jié)果

表4 ARCH-LM檢驗結(jié)果

由長江電力日收益率序列的增廣迪基富勒檢驗得出，ADF檢驗統(tǒng)計量為-12.952，P值接近為0，說明長江電力的收益率序列均在1%的顯著性水平下拒絕存在單位根的原假設(shè)，由此得到長江電力的收益率序列是平穩(wěn)的，無需差分則可以直接建立模型。

2.2.3 建立GARCH(1,1)模型

對長江電力建立GARCH(1,1)模型，可得表3。

即：

由表3可以看出，方差方程中所有系數(shù)都是統(tǒng)計顯著的，且所有系數(shù)均大于 0，α1+β1=0.9524＜1，滿足 GARCH(1,1)模型中參數(shù)的約束條件，由于ARCH項系數(shù)和GARCH項系數(shù)之和為0.9524，又非常接近于1，說明外部沖擊引起長江電力的波動影響時間會比較長，持久性特征明顯。

2.2.4 GARCH(1,1)模型的ARCH-LM檢驗

對GARCH(1,1)模型的殘差進行滯后4階的ARCH-LM檢驗，其結(jié)果見表4。

相伴概率為0.8827，接受原假設(shè)，認(rèn)為殘差序列不具有ARCH效應(yīng)，說明上面的GARCH(1,1)模型很好地消除了殘差序列的條件異方差性。

2.3 期權(quán)定價蒙特卡羅模擬方法的R語言實現(xiàn)

R語言的實現(xiàn)程序見附錄。附錄中的程序構(gòu)造了一個函數(shù)，只要輸入離行權(quán)日的天數(shù)n、股票的前一天收盤價格s0作為初始價格、權(quán)證的行權(quán)價格X和股票的歷史波動率sigma0還有單位風(fēng)險費用 （這里假設(shè)為0.25），并且選取2006年一年整存整取的利率2.52%作為無風(fēng)險利率，就可以通過10000次的模擬股價路徑，算出10000個在行權(quán)日當(dāng)天的股票最終價格，從而得出以其為標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)證的價值。則最終運算得到的模擬價格與真實價格的比較見表5。

利用偏離度來界定蒙特卡羅模擬方法的優(yōu)劣，從定量的方式著手，驗證基于GARCH模型的蒙特卡羅定價方法的有效性。

平均偏度計算方法：

其中Pr為真實價格，Ps為蒙特卡羅模擬價格。則由此可以算出，蒙特卡羅模擬價格與真實價格之間的平均偏離度為 4.843%，說明 GARCH(1,1)模型對權(quán)證的定價偏差不大，結(jié)合了GARCH模型的蒙特卡羅方法十分有效。

表5 蒙特卡羅模擬價格與真實價格對比

3 結(jié)論

本文利用多種金融時間序列分析方法與統(tǒng)計手段，對標(biāo)的股票長江電力（600900）和權(quán)證長電 CWB1（580007）進行實證分析，結(jié)合GARCH模型和蒙特卡羅模擬方法對長電CWB1進行數(shù)值定價，得到如下結(jié)果：

(1)長江電力的股票日收益率基本滿足一般金融時間序列具有的“尖峰厚尾”特征，而擬合出來的GARCH（1,1）模型能很好地模擬其波動率，各項系數(shù)都十分顯著，ARCH項系數(shù)和GARCH項系數(shù)之和為0.9524，非常接近于1，說明外部沖擊引起長江電力的波動影響時間會比較長，持久性特征明顯。

(2)雖然運用了期權(quán)的定價方法，可是長電CWB1不是真正的期權(quán)產(chǎn)品，理論上和期權(quán)還是有一些出入的，權(quán)證是由公司發(fā)行的，發(fā)行數(shù)量上是有限的，容易被人操縱價格，影響定價的準(zhǔn)確性。

(3)賣空機制能使股票市場的價格更加接近于真實價格，對實現(xiàn)股票市場的有效性有著重要的意義。由于當(dāng)時我國股票市場不允許賣空，使得套利無法進行，市場的投機成份較多，價格的上下波動大，也會增加定價的難度。

(4)在中國權(quán)證市場上多數(shù)都是百慕大式的權(quán)證，是介于歐式和美式的一種權(quán)證，蒙特卡羅方法由于其獨特的性質(zhì)，一般用來模擬歐式的權(quán)證，不過總體來說，基于GARCH模型的蒙特卡羅模擬值和真實值之間的平均偏離度只有4.843%，定價的準(zhǔn)確性還是相當(dāng)高的。

[1]Duan J.The Garch Option Pricing Model[J].Mathematical Finance，1995,5(1).

[2]Duan J,Simonato J.American Option Pricing under GARCH by a Markov Chain Approximation[J].Journal of Economic Dynamics and Control，2001,25(11).

[3]Duan J,Zhang H.Pricing Hang Seng Index Options around the Asian Financial Crisis-A GARCH Approach[J].Journal of Banking&Finance，2001,25(11).

[4]汪來喜，丁日佳.基于GARCH模型的股票期權(quán)定價方法研究[J].金融理論與實踐，2008，(2).

[5]王健，李超杰，何建敏.有交易成本的GARCH-擴散期權(quán)定價模型[J].東南大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2006，(1).

[6]張敏，王鍵.Monte-Carlo模擬法在期權(quán)定價中的應(yīng)用[J].湖南商學(xué)院學(xué)報，2003，(4).

[7]R Tsay.金融時間序列分析[M].北京:機械工業(yè)出版社,2006.

（責(zé)任編輯/浩 天）

F830.91

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1002－6487（2010）23－0163-03