服務(wù)設(shè)施選址的博弈分析

孟尚雄

（北京物資學(xué)院經(jīng)濟(jì)學(xué)院，北京市101149）

服務(wù)設(shè)施選址的博弈分析

孟尚雄

（北京物資學(xué)院經(jīng)濟(jì)學(xué)院，北京市101149）

市場(chǎng)除具有網(wǎng)絡(luò)特征外，還具有明顯的層次嵌套特征。文章結(jié)合這兩個(gè)方面的特征，對(duì)具有層次嵌套特征的人口、市場(chǎng)空間分布條件下服務(wù)設(shè)施的選址博弈問題進(jìn)行了研究。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)企業(yè)的服務(wù)設(shè)施競(jìng)爭(zhēng)選址靜態(tài)博弈，可以不存在納什均衡；在納什均衡存在的情況下，并不能保證雙方市場(chǎng)份額相等；市場(chǎng)層次嵌套特征在一定程度上破壞均衡的存在，內(nèi)層市場(chǎng)較大的市場(chǎng)份額吸引著對(duì)手進(jìn)入，使外層市場(chǎng)均衡受到破壞；增加服務(wù)設(shè)施可以擴(kuò)大市場(chǎng)覆蓋范圍，但由于利潤(rùn)最大化目標(biāo)和距離的約束，在給定市場(chǎng)環(huán)境下，有些市場(chǎng)區(qū)域可能永遠(yuǎn)無法覆蓋。

選址問題；納什均衡；聚類分析；層次嵌套

一、引論

經(jīng)典的選址問題是，對(duì)于給定的需求或顧客，廠商如何選擇其新設(shè)施的最優(yōu)位置來獲取最大利潤(rùn)。當(dāng)廠商多于一個(gè)時(shí)，為爭(zhēng)奪給定的需求，它們必然相互競(jìng)爭(zhēng)搶占有利位置。對(duì)競(jìng)爭(zhēng)選址問題較早的研究包括霍特林（Hotelling）于1929年對(duì)競(jìng)爭(zhēng)穩(wěn)定性的分析。[1]此后，許多不同領(lǐng)域的學(xué)者進(jìn)一步研究了競(jìng)爭(zhēng)選址模型，內(nèi)容涉及空間經(jīng)濟(jì)和工業(yè)組織、[2]、[3]數(shù)學(xué)、[4]運(yùn)籌學(xué)[5]、[6]、[7]等諸多學(xué)科。關(guān)于這一研究領(lǐng)域的綜述可以參考艾賽特（Eiselt）等的研究。[8]

博弈論是研究競(jìng)爭(zhēng)選址問題的一個(gè)有效工具。安恩（Ahn）等運(yùn)用博弈論研究了線段和圓周上的競(jìng)爭(zhēng)選址問題；[9]馬沙諾夫和薩卡古茨（Mazalov &Sakaguchi）研究了平面上的雙頭壟斷模型。[10]然而，現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)區(qū)域并非規(guī)范的點(diǎn)、線或面，人口和市場(chǎng)很少按照簡(jiǎn)單幾何體的規(guī)律進(jìn)行空間分布。一個(gè)較為貼近現(xiàn)實(shí)的選址博弈是高西和克雷德（Ghosh&Craig）的兩個(gè)零售商在競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)中的選址，[11]他們把市場(chǎng)表示為一個(gè)網(wǎng)絡(luò)。實(shí)際上，市場(chǎng)除具有網(wǎng)絡(luò)特征外，還具有明顯的層次嵌套特征。這一點(diǎn)早就被克里斯塔勒（Christaller）[12]和羅煦（L觟sch）[13]研究的中心地理論所證實(shí)了。

本文將這兩方面的特征結(jié)合在一起，研究了具有層次嵌套特征的人口、市場(chǎng)空間分布條件下的服務(wù)設(shè)施選址博弈問題。首先，給出一般市場(chǎng)的層次嵌套表示；對(duì)層次嵌套市場(chǎng)的市場(chǎng)份額分配進(jìn)行必要的討論；在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步討論企業(yè)和消費(fèi)者的約束。其次，描述服務(wù)設(shè)施選址博弈模型，包括收益矩陣的形成和均衡解的討論。最后，對(duì)幾種典型博弈模型解的實(shí)際意義進(jìn)行分析。

二、市場(chǎng)特征

1.層次市場(chǎng)。競(jìng)爭(zhēng)選址模型討論的市場(chǎng)指消費(fèi)者的空間分布范圍?；籼亓帜Ｐ偷氖袌?chǎng)是線性市場(chǎng)，也就是消費(fèi)者均勻地分布在一條線段上。同樣，安恩及其他學(xué)者的模型假定市場(chǎng)是圓周或平面，消費(fèi)者在這些幾何體上均勻分布。高西和克雷德的模型假定消費(fèi)者分布在網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)上。然而，現(xiàn)實(shí)中的市場(chǎng)經(jīng)常帶有層次特征，也就是消費(fèi)者的空間分布具有底層、高層等多種層次。例如，消費(fèi)者的空間分布可以在社區(qū)、鄉(xiāng)鎮(zhèn)區(qū)域、縣級(jí)區(qū)域、市級(jí)區(qū)域、省級(jí)區(qū)域等多級(jí)層次上分別或同時(shí)討論。這些不同層次的區(qū)域都是由消費(fèi)者所處的基本需求點(diǎn)（如街道、村落）構(gòu)成的。研究對(duì)象不同，所關(guān)注的市場(chǎng)層次也不一樣。有時(shí)，只關(guān)注某一層次的市場(chǎng)就可以，比如對(duì)于一些日常生活用品，只要考慮鄉(xiāng)鎮(zhèn)或社區(qū)一級(jí)的市場(chǎng)就足夠了；而有時(shí)，則必須同時(shí)考慮多個(gè)市場(chǎng)層次，比如對(duì)于一些高檔商品，必須同時(shí)考慮市級(jí)和省級(jí)高層市場(chǎng)。為便于進(jìn)行一般性研究，需要對(duì)一個(gè)經(jīng)濟(jì)的市場(chǎng)進(jìn)行分層表示。

假設(shè)一個(gè)經(jīng)濟(jì)包含N個(gè)基本需求點(diǎn)，它們構(gòu)成的集合為C={C1，C2，…，CN}；每個(gè)基本需求點(diǎn)包含若干消費(fèi)者，消費(fèi)者數(shù)目構(gòu)成的集合為R= {R1，R2，…，RN}；基本需求點(diǎn)Ci、Cj之間的距離為dij。那么，消費(fèi)者的空間分布就完全由C、R和d..確定?；贑和d..，可應(yīng)用聚類分析法產(chǎn)生系統(tǒng)聚類圖，使用這種聚類圖可以較好地描述市場(chǎng)的層次嵌套特征。[14]

圖1表示由12個(gè)隨機(jī)產(chǎn)生的基本需求點(diǎn)形成的系統(tǒng)聚類圖?？v軸為并類距離，反映了在形成各個(gè)層次的市場(chǎng)時(shí)，消費(fèi)者之間的平均距離；橫軸為基本需求點(diǎn)，括弧內(nèi)的數(shù)字代表相對(duì)應(yīng)的基本需求點(diǎn)所包含的消費(fèi)者人數(shù)。在這個(gè)由12個(gè)基本需求點(diǎn)所構(gòu)成的市場(chǎng)內(nèi)，12個(gè)基本需求點(diǎn)是最基本的市場(chǎng)單位（可以對(duì)應(yīng)社區(qū)），A~J等表示9個(gè)更高層次的市場(chǎng)區(qū)域（可以對(duì)應(yīng)街道、區(qū)、鄉(xiāng)鎮(zhèn)等，也可以不對(duì)應(yīng)行政區(qū)劃，而對(duì)應(yīng)自然形成的更高層次的市場(chǎng)區(qū)域），它們具有不同的層次、不同的大小，并存在不同層次的區(qū)域嵌套現(xiàn)象。例如，市場(chǎng)A嵌套在市場(chǎng)B里面，B是比A層次更高的市場(chǎng)；市場(chǎng)F、E、G嵌套在市場(chǎng)H里面，F(xiàn)、G、H的市場(chǎng)層次一個(gè)比一個(gè)高。J是層次最高的市場(chǎng)，12個(gè)基本需求點(diǎn)是層次最低的市場(chǎng)。每個(gè)市場(chǎng)的規(guī)模由它所包含的消費(fèi)者數(shù)量的多少確定，市場(chǎng)符號(hào)旁邊的數(shù)字代表市場(chǎng)的規(guī)模，如市場(chǎng)B的規(guī)模是34，市場(chǎng)A的規(guī)模是26。市場(chǎng)B的規(guī)模由它所包含的三個(gè)基本需求點(diǎn)3、11、9所包含的消費(fèi)者數(shù)11、15、8相加而得。

2.市場(chǎng)份額的分配原則。如果消費(fèi)者總是選擇最近的服務(wù)設(shè)施進(jìn)行消費(fèi)（就近選擇原則），那么市場(chǎng)的層次嵌套特征對(duì)設(shè)施的市場(chǎng)份額產(chǎn)生這樣的影響：

（1）嵌套分配。當(dāng)兩個(gè)企業(yè)的服務(wù)設(shè)施所處的市場(chǎng)具有嵌套關(guān)系時(shí)，建立在低一層次市場(chǎng)的設(shè)施會(huì)占有高一層次市場(chǎng)設(shè)施的市場(chǎng)份額。例如，若企業(yè)Q1在市場(chǎng)A建立一個(gè)設(shè)施，企業(yè)Q2在市場(chǎng)B建立一個(gè)設(shè)施，那么企業(yè)Q1的市場(chǎng)份額是26，企業(yè)Q2的市場(chǎng)份額是8而不是34。

（2）同層分配。當(dāng)兩個(gè)企業(yè)的服務(wù)設(shè)施處于同一層次的市場(chǎng)時(shí)，它們平分市場(chǎng)份額。例如，如果企業(yè)Q1和Q2在市場(chǎng)A分別建立一個(gè)設(shè)施，那么它們各自的市場(chǎng)份額都是13。

（3）無嵌套分配。如果兩個(gè)企業(yè)服務(wù)設(shè)施所處的市場(chǎng)不存在嵌套關(guān)系，則它們分別得到自己所在市場(chǎng)區(qū)域的全部市場(chǎng)份額。例如，若企業(yè)Q1在市場(chǎng)A建立一個(gè)設(shè)施，企業(yè)Q2在市場(chǎng)D建立一個(gè)設(shè)施，那么Q1的市場(chǎng)份額是26，Q2的市場(chǎng)份額是28。

3.成本門限與最低需求。為保證足夠的利潤(rùn)，除選擇有利的設(shè)施位置外，所建立的服務(wù)設(shè)施還必須覆蓋一定數(shù)目的消費(fèi)者以彌補(bǔ)其經(jīng)營(yíng)成本。因此，企業(yè)心目中都有一個(gè)保留的成本門限，表現(xiàn)在市場(chǎng)上，就是要有一個(gè)最低的消費(fèi)者覆蓋數(shù)目，比如RL=20，以彌補(bǔ)其成本門限。也就是說，企業(yè)只有能夠覆蓋20個(gè)單位以上的消費(fèi)者時(shí)，才有動(dòng)機(jī)建立一個(gè)設(shè)施來提供服務(wù)，這可以看成企業(yè)所面對(duì)的一種需求約束。圖1中的A、B、D、G、H、J滿足這一需求約束。如果一個(gè)企業(yè)想同時(shí)建立多個(gè)設(shè)施，我們假定只要平均每個(gè)設(shè)施滿足需求約束，企業(yè)的需求約束就得到滿足。例如，若企業(yè)想建立兩個(gè)設(shè)施，第一個(gè)設(shè)施覆蓋的需求只有11個(gè)單位的消費(fèi)者，而第二個(gè)設(shè)施覆蓋了32個(gè)單位的消費(fèi)者，那么對(duì)企業(yè)來說，盡管第一個(gè)設(shè)施覆蓋的需求小于RL=20，但由于兩個(gè)設(shè)施覆蓋的總需求43（11+32）大于2RL=40，即平均每個(gè)設(shè)施覆蓋的需求21.5（43/2）大于RL=20，企業(yè)的需求約束就可以得到滿足。

4.消費(fèi)者距離約束。對(duì)消費(fèi)者而言，為得到某種服務(wù)，必須行走一定距離的路程，不過他們也不想走得太遠(yuǎn)去進(jìn)行消費(fèi)。因此，消費(fèi)者有一個(gè)能夠容忍的最大的平均距離，比如Tu=8。也就是說，消費(fèi)者為了得到某種服務(wù)，愿意行走的最遠(yuǎn)距離平均不會(huì)超過8個(gè)單位，這可以看成消費(fèi)者的距離約束。這里之所以考慮平均距離，是因?yàn)樗芯康南M(fèi)者是基本需求單位或更高層次市場(chǎng)中所有的消費(fèi)者，而不是單個(gè)消費(fèi)者。各層次市場(chǎng)消費(fèi)者的距離約束用平均距離較為合理。

于是，帶有需求約束和距離約束的系統(tǒng)聚類圖就把市場(chǎng)的基本環(huán)境展現(xiàn)了出來，用En（C，R，d..|RL，Tu）表示系統(tǒng)聚類圖所展示的市場(chǎng)基本環(huán)境。

三、服務(wù)設(shè)施選址博弈模型

考慮兩個(gè)企業(yè)Q1、Q2在市場(chǎng)環(huán)境En（C，R，d..|RL，Tu）中建立服務(wù)設(shè)施為消費(fèi)者提供服務(wù)，以謀求利潤(rùn)最大化。具體假設(shè)如下：

第一，它們建立一個(gè)服務(wù)設(shè)施的成本相同，并且提供相同的服務(wù)。

第二，消費(fèi)者選擇最近的設(shè)施進(jìn)行消費(fèi)，即遵循就近選擇原則，從而低層次市場(chǎng)區(qū)域所建立的設(shè)施會(huì)占有高層次市場(chǎng)區(qū)域所建立設(shè)施的市場(chǎng)份額。

第三，每一層次的市場(chǎng)只有一個(gè)最優(yōu)位置，在這個(gè)位置上每個(gè)企業(yè)最多建立一個(gè)設(shè)施，但可以有多個(gè)企業(yè)在這個(gè)位置上建立設(shè)施。

第四，在同一個(gè)市場(chǎng)位置建立的設(shè)施平均分配這一市場(chǎng)份額。

第五，市場(chǎng)受需求約束（消費(fèi)者最低覆蓋數(shù)RL）和距離約束（消費(fèi)者愿意行走的最遠(yuǎn)距離Tu）的限制。如果RL=20，Tu=8，那么在圖1表示的市場(chǎng)環(huán)境En（C，R，d..|RL，Tu）中，只有A、B、D、G、H五個(gè)市場(chǎng)區(qū)域滿足這些條件，這也是所有可供兩個(gè)企業(yè)選擇的區(qū)域。本文假定企業(yè)Q1、Q2同時(shí)采取選址行動(dòng)，下面對(duì)它們建立不同數(shù)目設(shè)施的幾種靜態(tài)博弈進(jìn)行討論。

1.（1，1）博弈。假定企業(yè)Q1、Q2打算在給定的市場(chǎng)環(huán)境中各自建立一個(gè)服務(wù)設(shè)施，即（1，1）博弈。企業(yè)Q1、Q2的收益矩陣由各自的市場(chǎng)份額來表示，具體份額大小如表1所示。其中市場(chǎng)份額的分配按照前面所述的嵌套分配、同層分配、無嵌套分配等三種市場(chǎng)份額分配原則進(jìn)行。

不難看出，此時(shí)的博弈存在兩個(gè)納什均衡：Q1選擇在市場(chǎng)B建立設(shè)施，Q2選擇在市場(chǎng)H建立設(shè)施；或Q1與Q2互相調(diào)換位置。它們所獲得的市場(chǎng)份額分別為34、38個(gè)單位，所覆蓋的總的市場(chǎng)份額為72個(gè)單位。

2.（2，1）博弈。假定企業(yè)Q1打算在給定的市場(chǎng)環(huán)境中建立兩個(gè)服務(wù)設(shè)施，按照前面的假定，只要這兩個(gè)設(shè)施能夠覆蓋的消費(fèi)者不少于2RL=40個(gè)單位，平均每個(gè)設(shè)施覆蓋的消費(fèi)者就能夠達(dá)到RL=20個(gè)單位，企業(yè)的需求約束就能夠得到滿足。假定企業(yè)Q2打算建立一個(gè)服務(wù)設(shè)施，其條件與前面相同。那么，企業(yè)Q1、Q2的收益矩陣如表2所示，對(duì)應(yīng)的博弈存在三個(gè)納什均衡：

（1）Q1選擇在市場(chǎng)B、D建立兩個(gè)服務(wù)設(shè)施，獲得62個(gè)單位的市場(chǎng)份額；Q2選擇在市場(chǎng)H建立一個(gè)服務(wù)設(shè)施，獲得38個(gè)單位的市場(chǎng)份額。它們所覆蓋的市場(chǎng)總份額為100個(gè)單位。

（2）Q1選擇在市場(chǎng)B、H建立兩個(gè)服務(wù)設(shè)施，獲得72個(gè)單位的市場(chǎng)份額；Q2選擇在市場(chǎng)D建立一個(gè)服務(wù)設(shè)施，獲得28個(gè)單位的市場(chǎng)份額。它們所覆蓋的市場(chǎng)總份額為100個(gè)單位。

（3）Q1選擇在市場(chǎng)D、H建立兩個(gè)服務(wù)設(shè)施，獲得66個(gè)單位的市場(chǎng)份額；Q2選擇在市場(chǎng)B建立一個(gè)服務(wù)設(shè)施，獲得34個(gè)單位的市場(chǎng)份額。它們所覆蓋的市場(chǎng)總份額為100個(gè)單位。

3.（3，1）博弈。假定企業(yè)Q1打算在給定的市場(chǎng)環(huán)境中建立三個(gè)服務(wù)設(shè)施，只要能夠覆蓋的消費(fèi)者個(gè)數(shù)不少于3RL=60，就滿足需求約束。假定企業(yè)Q2打算建立一個(gè)服務(wù)設(shè)施，其他條件不變。那么，企業(yè)Q1、Q2的收益矩陣如表3所示。很明顯，表3所示的博弈沒有納什均衡。

4.（2，2）博弈。假定企業(yè)Q1和Q2都打算在給定的市場(chǎng)環(huán)境中建立兩個(gè)服務(wù)設(shè)施，按照前面的假定，只要這兩個(gè)設(shè)施覆蓋的消費(fèi)者個(gè)數(shù)不少于2RL=40個(gè)單位，平均每個(gè)設(shè)施能夠覆蓋的消費(fèi)者個(gè)數(shù)不少于RL=20個(gè)單位，企業(yè)的需求約束就能夠得到滿足。那么，進(jìn)行同樣的分析可知，對(duì)應(yīng)的博弈也沒有納什均衡。

四、結(jié)論

理論上還可用類似的方法分析（3，2）博弈、（3，3）博弈等。但從上述情況已經(jīng)可以得到一些有意義的結(jié)論。

表1 兩個(gè)企業(yè)均建立一個(gè)設(shè)施的收益矩陣

表2 一個(gè)企業(yè)建立一個(gè)設(shè)施另一個(gè)企業(yè)建立兩個(gè)設(shè)施的收益矩陣

表3 一個(gè)企業(yè)建立一個(gè)設(shè)施另一個(gè)企業(yè)建立三個(gè)設(shè)施的收益矩陣

1.對(duì)于靜態(tài)選址博弈，不能保證納什均衡的存在，比如上述的（3，1）博弈和（2，2）博弈。市場(chǎng)環(huán)境和企業(yè)成本、收益、選址行為都影響均衡的存在，市場(chǎng)的層次嵌套特征在一定程度上會(huì)破壞均衡的存在，內(nèi)層市場(chǎng)較大的市場(chǎng)份額（如B中的A，還有H中的G）吸引著對(duì)手的進(jìn)入，使外層市場(chǎng)均衡受到破壞。

2.在納什均衡存在的情況下，均衡可以有多個(gè)，博弈雙方的均衡收益也可以不相等。在（1，1）博弈的情況下，B、H是均衡位置，它們給博弈雙方帶來的收益分別是38和34。

3.由于成本的約束，服務(wù)設(shè)施不能保證全社會(huì)的需求都得到滿足。企業(yè)至少能夠覆蓋20個(gè)單位的消費(fèi)者才會(huì)考慮建立設(shè)施，市場(chǎng)單位1和（1，1）博弈情況下的市場(chǎng)區(qū)域C、D無法覆蓋。

4.如果成本不是問題（或者有足夠高的利潤(rùn)吸引企業(yè)進(jìn)入），市場(chǎng)覆蓋范圍可以擴(kuò)大到一定的程度。但由于利潤(rùn)最大化目標(biāo)和距離約束的存在，不能保證覆蓋全部市場(chǎng)。在（1，1）博弈的情況下，設(shè)施建立在B、H，市場(chǎng)區(qū)域C、D無法覆蓋。但如果能夠增加成本多建一個(gè)設(shè)施，比如在（2，1）博弈情況下增設(shè)D，市場(chǎng)區(qū)域C、D就能夠被覆蓋。而對(duì)于市場(chǎng)單位1，在現(xiàn)有市場(chǎng)環(huán)境下，永遠(yuǎn)不能覆蓋。

＊本文系北京市教委“偏覆蓋選址模型與算法”（項(xiàng)目編號(hào)：KM200810037003）的部分研究成果。

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責(zé)任編輯：陳靜

Abstract：A study about the competitive location by Hotelling in 1929 was on a linear market.Other studies on this subject are on plane,circle,or network markets.This paper addresses the subject on a general market with nested hierarchies.For static models with two firms,it is shown that there is no Nash equilibrium sometimes;even if the equilibria existing,the market shares for two firms may not be equal;the nested hierarchies of markets,to an extent,lead to the non-existence of Nash equilibria because the more shares within inner markets,which motivate the other players in the games to enter,make unstable outer markets;increasing the number of facilities may extend the coverage of marketing areas,but there are some areas which may not be covered under a given marketing environment due to the objectives of profit maximization and the distance constraints on consumers.

Key words:location problems；Nash equilibrium；cluster analysis；nested hierarchies

Location Games for Service Facilities

MENGShang-xiong
（Beijing Wuzi University，Beijing101149，China）

F061.5

A

1007－8266（2010）09－0049－04

孟尚雄（1963-），男，山西省代縣人，北京物資學(xué)院經(jīng)濟(jì)學(xué)院副教授，首都經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院博士生，主要研究方向?yàn)榭臻g統(tǒng)計(jì)、空間經(jīng)濟(jì)和選址理論。