最優(yōu)控制理論在醫(yī)療設(shè)備控制中的應(yīng)用

舒灝 華中科技大學(xué)同濟醫(yī)學(xué)院附屬同濟醫(yī)院 (武漢 430070)

0 引言

醫(yī)療設(shè)備成為醫(yī)院現(xiàn)代化程度的重要標志之一和提供醫(yī)療服務(wù)的重要物質(zhì)基礎(chǔ)。隨著醫(yī)院的不斷發(fā)展壯大,醫(yī)療設(shè)備的更新?lián)Q代也就更為常見。各級各類醫(yī)院的醫(yī)療設(shè)備總量不斷增長，一方面滿足了日益增長的醫(yī)療衛(wèi)生需求，另一方面也出現(xiàn)了醫(yī)療設(shè)備配置是否合理、投入資金是否得以有效利用、使用率和完好率的高低、經(jīng)濟效益和社會效益好壞等一系列問題亟待研究。醫(yī)院分析醫(yī)療設(shè)備配置管理現(xiàn)狀，加強醫(yī)療設(shè)備，尤其是大型醫(yī)療設(shè)備的管理及效益統(tǒng)計和分析是相當必要的，可以指導(dǎo)科學(xué)投資、改善經(jīng)營管理、提高綜合效益。

因此建立醫(yī)療設(shè)備的成本效益觀念,加強設(shè)備投入與產(chǎn)出分析,為醫(yī)療機構(gòu)科學(xué)投資、改善經(jīng)營管理以及社會與經(jīng)濟效益提供了重要保證。目前加強對醫(yī)用設(shè)備的成本管理,并通過控制初始投資規(guī)模、合理配置資源和提高設(shè)備利用率來提高投資的經(jīng)濟性是非常必要的。

1 問題分析與假設(shè)

某醫(yī)院購買了一臺大型醫(yī)療設(shè)備投入到使用中，該醫(yī)療設(shè)備隨著運行時間的增加其磨損程度也愈來愈大，而其轉(zhuǎn)賣價將隨著使用設(shè)備的時間增加而減少；另一方面醫(yī)療設(shè)備總是要進行日常保養(yǎng)，花費一定的保養(yǎng)費，保養(yǎng)可以減緩設(shè)備的磨損程度，從而提高設(shè)備的轉(zhuǎn)賣價。如何確定醫(yī)療設(shè)備的最優(yōu)保養(yǎng)費和轉(zhuǎn)賣時間，使得這臺設(shè)備的經(jīng)濟效益最大是本文的研究內(nèi)容。

根據(jù)上述分析，現(xiàn)作如下假設(shè)：

(i)設(shè)備隨其運行時間的推移，磨損程度越來越大。t時刻設(shè)備的磨損程度可以用t時刻轉(zhuǎn)賣價的損失值來刻畫，其稱其為磨損函數(shù)或廢棄函數(shù)，記為m(t)。

(ii)醫(yī)療設(shè)備的轉(zhuǎn)賣價是時間t的函數(shù)，計為p(t)。p(t)的大小與設(shè)備的磨損程度和保養(yǎng)費的多少密切相關(guān)。記初始轉(zhuǎn)賣價p(0)=p0。

(iii)保養(yǎng)設(shè)備可以減緩設(shè)備的磨損速度，提高轉(zhuǎn)賣價。如果u(t)是單位時間的保養(yǎng)費， 是g(t)時刻的保養(yǎng)效益系數(shù)(每用一元保養(yǎng)費所增加的轉(zhuǎn)賣價)，那么單位時間的保養(yǎng)效益為g(t)u(t)。另外，保養(yǎng)費不能過大(如單位時間保養(yǎng)費超過單位時間產(chǎn)值時，保養(yǎng)失去了意義)，只能在有界函數(shù)集中選取，記有界函數(shù)集為W，則u(t)∈W。

(iv)設(shè)單位時間的產(chǎn)值與轉(zhuǎn)賣價的比值記為k，則kp(t)表示在t時刻單位時間的產(chǎn)值，即t時刻的使用率。

(v)轉(zhuǎn)賣價p(t)及單位時間的保養(yǎng)費u(t)都是時間t的連續(xù)可微函數(shù)。為了統(tǒng)一標準，采用它們的貼現(xiàn)值。對于貼現(xiàn)值的計算，例如轉(zhuǎn)賣價p(t)的貼現(xiàn)值計算，如果它的貼現(xiàn)因子為δ(經(jīng)過單位時間的單位費用貼現(xiàn))，那么由

解得

令t1=0，使得t時刻單位費用的貼現(xiàn)(稱貼現(xiàn)系數(shù))為e-δt，所以設(shè)備在t時刻轉(zhuǎn)賣價p(t)的貼現(xiàn)為p(t)e-δt。仿此計算，u(t)的貼現(xiàn)為u(t)e-δt，單位時間產(chǎn)值的貼現(xiàn)為 kp(t)e-δt。

(vi)欲確定的轉(zhuǎn)賣價值時間tf和轉(zhuǎn)賣價p(tf)都是自由的。

2 模型構(gòu)造

根據(jù)以上的分析與假設(shè)可知：考察的對象是設(shè)備在使用中的磨損—保養(yǎng)系統(tǒng)；轉(zhuǎn)賣價體現(xiàn)了磨損和保養(yǎng)的綜合指標，可以選作系統(tǒng)的狀態(tài)變量；在使用中設(shè)備磨損的不可控性強，其微弱的可控性也是通過保養(yǎng)體現(xiàn)，加之保養(yǎng)本身具有較強的可控性，所以選單位時間的保養(yǎng)費u(t)作為控制策略。這樣，醫(yī)療設(shè)備的最大經(jīng)濟效益模型可以構(gòu)成為在設(shè)備磨損—保養(yǎng)系統(tǒng)的(轉(zhuǎn)賣價)狀態(tài)方程：

之下，在滿足0≤u(t)≤U的函數(shù)集W中尋找最優(yōu)控制策略u*(t)，使系統(tǒng)的經(jīng)濟效益這一性能指標

為最大，其中tf，x(tf)都是自由的。

3 模型分析求解

根據(jù)上述模型可以得出關(guān)于醫(yī)療設(shè)備管理的哈密頓函數(shù)

再由協(xié)態(tài)方程及邊界條件求出λ(t)，即由

解得

下面利用最大值原理求u*(t)。先將(3)式改變?yōu)?/p>

顯然，H是對u的線性函數(shù)，因此得到

或

設(shè)u*(t)=U與u*(t)=0的轉(zhuǎn)換點為ts，則轉(zhuǎn)換點ts應(yīng)滿足

即

從而可得出ts。

因為g(t)是時間t的減函數(shù)，所以(6)式的左端也是時間t的減函數(shù)，也就是說u*(t)隨時間應(yīng)由U到0。醫(yī)療設(shè)備最優(yōu)控制策略的具體表達式為：

4 算例

設(shè)某醫(yī)院購進醫(yī)療設(shè)備，其中p0=100，U=1，確定其最優(yōu)控制策略，即確定tf，p(tf)和u*(t)。

由(6)式可求得ts的公式

當t>ts時， ，狀態(tài)方程為

于是t>ts時，有

從而得到

于是

當t=ts時，由(8)式有

即

將(7)和(9)聯(lián)立，利用Matlab求得

于是，最優(yōu)控制策略(保養(yǎng)費)為

5 結(jié)論

在本文中，針對醫(yī)院大型醫(yī)療設(shè)備的經(jīng)濟效益問題，采用最優(yōu)控制理論，建立了優(yōu)化模型，得出了醫(yī)療設(shè)備最優(yōu)控制策略的具體表達式，最后給出了實際算例，為醫(yī)院改善經(jīng)營管理以及社會與經(jīng)濟效益提供了依據(jù)。

［1］張可驄,王麗麗,賀文鈞.醫(yī)療設(shè)備報廢的政策研究.醫(yī)療裝備, 2007, (3): 37-38

［2］吳受章.編著最優(yōu)控制理論與應(yīng)用.機械工業(yè)出版社,2008

［3］王啟全,陳文敏,李怡勇.醫(yī)院醫(yī)療設(shè)備經(jīng)濟效益評價.醫(yī)療衛(wèi)生裝備, 2003, 34(3):11 ■