關(guān)于L-幾何凸函數(shù)的不等式初探

吳光耀

(衢州高級中學(xué), 浙江 衢州 324006)

關(guān)于L-幾何凸函數(shù)的不等式初探

吳光耀

(衢州高級中學(xué), 浙江 衢州 324006)

定義了一類新的幾何凸函數(shù)—L-幾何凸函數(shù), 并用反向數(shù)字歸納法建立了這類幾何凸函數(shù)的基本不等式,從而統(tǒng)一推行了一系列已知不等式, 包括一些著名不等式.

幾何凸函數(shù); L幾何凸函數(shù); 不等式; 高維推廣.

Abstract:One type of convex function is defined in a new way as L geometric convex function. Moreover, a series of inequalities for this one type of geometric convex function are established, which is generalization of famous inequalities for general geometric convex functions.

Key words:geometric convex function;Lgeometric convex function; inequality; higher dimensional generalization.

眾所周知, 凸函數(shù)是一個重要的數(shù)學(xué)概念, 在不等式研究中, 凸函數(shù)所發(fā)揮的作用是無可替代的[1,2],類比凸函數(shù)的概念, 文[3]中提出了如下幾何凸函數(shù)的概念:

則說f (x)在D上是幾何凸函數(shù), 如果(1)中不等號反向, 則說f (x)在D上是幾何凹函數(shù)．并建立了幾何凸函數(shù)的一系列不等式, 文[4]作了更廣泛的研究, 文[5]提出了l-幾何凸函數(shù)的概念, 從中可以看出幾何凸函數(shù)在不等式研究中具有重要的作用. 本文提出更一般的L-幾何凸函數(shù)概念.

1 L幾何凸函數(shù)的定義

為方便計, 引入下列記號: M = M1×M2×…×Mm( Mi為 [ai, bi], 或(ai, bi), 或無窮區(qū)間, i = 1, 2, …, m, m≥1). 若Mi== [0,+∞), i = 1, 2, …, m, 則M記作.

定義設(shè)f( X)是定義在D(?)上的連續(xù)函數(shù), 若對任意的X1,X2∈M(?D), λ∈[0,1]和常向量L ,都有∈D , 且

則稱f( x)是M上的L -幾何凸函數(shù); 如果(2)中的不等式反向, 則稱f( x)是M上的L-幾何凹函數(shù).

2 關(guān)于L-幾何凸函數(shù)的不等式

等式成立當(dāng)且僅當(dāng)X1＝X2= …＝Xn.

證明在定理2中令f( X)=lng( X), 即可得證.

注乘積型函數(shù)不等式中g(shù)( X)為正值函數(shù)的條件不可少, 否則結(jié)論不一定成立．這是因為 g( X)＜0時, －g( X)＞0, 用－g( X)替換推論2中的g( X), (12)式不變,當(dāng)n為奇數(shù)時(13)式不等號反向．

定理3(算術(shù)型函數(shù)不等式) 設(shè)正值函數(shù)f (X)的定義域為, λ∈[0,1], 若對任意的X1、X2∈,都有

證明在定理3中, 令?(x)=xαi, i=1,2,…,m , fr→f即可.

定理4的結(jié)果是多姿多彩的, 如取m = r = 1, l1 = 0, 則

①當(dāng)α1=1時, 可得丹麥數(shù)學(xué)家Jensen (1859－1925)于1905年證明的著名的Jensen不等式;

② 當(dāng)α1=-1時, 可得調(diào)和型函數(shù)不等式;

③ 當(dāng)α1=k,( k∈N,k≥1)時, 可得乘方型函數(shù)不等式;

[1] Hardy G H, Littlewood J E. Polya G..不等式[M]. 越民義, 譯. 北京: 科學(xué)出版社, 1965: 76～85

[2] Mitrinovic D. S, Vasic P. M. 分析不等式[M]. 趙漢賓, 譯. 南寧: 廣西人民出版社, 1986: 13～27

[3] 李世杰. 幾何凸函數(shù)的若干性質(zhì)[J]. 數(shù)學(xué)通訊, 2003(5): 37～40

[4] 吳善和. 幾何凸函數(shù)與琴生型不等式[J]. 數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識, 2004(2): 155～163

[5] 李世杰. 對函數(shù)幾何凸性若干問題的理論研究[J]. 浙江萬里學(xué)院學(xué)報. 2005 (2): 76～82

[6] 匡繼昌. 常用不等式[M]. 第三版. 濟(jì)南: 山東科學(xué)技術(shù)出版社, 2004

A Preliminary Study of L geometric Convex Function

WU Guang-yao
(Quzhou Senior High School, Quzhou 324006, China)

O178

A

1672-5298(2010)01-0013-04

2009-09-26

吳光耀(1960- ), 男, 浙江東陽人, 浙江衢州高級中學(xué)高級教師. 主要研究方向: 解析不等式