用G′／G－展開法求解耦合離散Schr?dinger方程組的精確解

李四偉，張金良

（河南科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，河南洛陽471003）

用G′／G－展開法求解耦合離散Schr?dinger方程組的精確解

李四偉，張金良

（河南科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，河南洛陽471003）

依據(jù)齊次平衡原則，利用G′／G－展開法求解出耦合離散非線性Schr?dinger方程組的雙曲函數(shù)形式孤波解、三角函數(shù)形式周期波解和有理函數(shù)形式行波解，這些精確解含有較多的任意參數(shù)。

齊次平衡原則；G′／G－展開法；耦合離散非線性Schr?dinger方程組；精確解

0 前言

在非線性科學中，非線性微分－差分方程（組）精確解的研究引起了人們的濃厚興趣，它可以用來解釋很多復雜的物理現(xiàn)象，其在固體物理、量子物理和隊列問題中有廣泛的應用，對非線性微分方程的數(shù)值模擬也有重要的作用。離散非線性Schr?dinger方程的應用涉及到生物、凝聚態(tài)物理、光導纖維和材料科學等領域。從20世紀50年代FPU問題的提出，針對微分－差分方程出現(xiàn)許多研究方法如Backlund變換法［1－2］、雙曲正切函數(shù)展開法［3］、G′／G－展開法［4－5］、齊次平衡法等等。

文獻［6］用G′／G－展開法求解出可積的離散非線性Schr?dinger方程

的行波解，這正是本文對耦合離散非線性Schr?dinger方程當An＝±Bn，σ＝0，h2＝－1即h＝i時研究的特殊情況。文獻［7］借助θn（x）函數(shù)的性質(zhì)以及θn（x）函數(shù)與Jaccobi橢圓函數(shù)之間的轉(zhuǎn)化關系，利用雙線性方法求解出耦合離散非線性Schr?dinger方程組

的Jaccobi橢圓函數(shù)形式的周期波解。

本文依據(jù)齊次平衡原則，利用G′／G展開法研究耦合離散非線性Schr?dinger方程組（2）～（3）的雙曲函數(shù)形式的孤波解、三角函數(shù)形式的周期波解、有理函數(shù)形式的行波解，并且這些精確解含有較多的任意參數(shù)。

1 耦合離散非線性Schr?dinger方程組的精確解

其中：θn＝d1n＋c1t＋ζ1；ξn＝d2n＋c2t＋ζ2；ζ1和ζ2為任意常數(shù)；d1、c1、d2、c2為待定常數(shù)。

把式（4）分別代入方程組（2）～（3），并且分別令實部和虛部等于0，得：

依據(jù)齊次平衡原則，令：

當σ＋1＜0時，解上述代數(shù)方程組，得：

其中d1和d2為任意常數(shù)。

于是，可導出方程組（2）～（3）的精確解：

注：當C2≠0，C12＜C22時，得方程組（2）～（3）的離散孤波解：

情形2 當λ2－4μ＜0時，類似于情形1，可得出方程組（2）～（3）的精確解：

注：當C2≠0，C21＜C22時，得到方程組（2）～（3）的離散周期波解：

情形3 當λ2－4μ＝0時，類似于情形1，可得方程組（2）～（3）的解為：

2 結(jié)論

本文應用G′／G展開法求解出耦合離散非線性Schr?dinger方程組（2）～（3）的雙曲函數(shù)形式行波解、三角函數(shù)形式行波解和有理函數(shù)形式行波解，這些精確解含有較多的任意參數(shù)，并且有些解是首次得到。

通過引言中的敘述可以看出本文所得精確解的類型比較豐富，文獻［8］研究的可積離散非線性Schr?dinger方程剛好對應方程組（2）～（3）當An＝±Bn，σ＝0或σ＝－2時的的特殊情形。

最后借助Mathematica軟件，驗證了本文所得精確解的正確性?？梢娫谇蠼馕⒎郑罘址匠蹋ńM）精確解方面，G′／G－展開法是一個非常有效、簡便的方法。

［1］ Deng S F，Chen D Y.The Backlund Transformation and Novel Solutions for the Toda Lattice［J］.Chaos，Solitons ＆Fractals，2005，23：1169－1175.

［2］ 張金良，李向正，王明亮，等.變系數(shù)Burgers方程的一些新精確解［J］.河南科技大學學報：自然科學版，2003，24（1）：108－110.

［3］ Wang Z，Zhang H Q.Soliton－like and Periodic form Solutions to（2＋1）－dimensional Toda Equation［J］.Chaos，Solitons ＆Fractals，2007，31：197－204.

［4］ Wang M L，Li X Z，Zhang J L.The（G′／G）－expansion Method and Travelling Wave Solutions of Nonlinear Evolution Equations in Mathematical Physics［J］.Phys Lett A，2008，372：417－423.

［5］ 李二強，王明亮.G′／G方法及組合Kdv－Burgers方程的行波解［J］.河南科技大學學報：自然科學版，2008，29（5）：80－83.

［6］ Aslan I.Discrete Exact Solutions to Some Nonlinear Differential－difference Equations via the（G＇／G）－expansion Method［J］.Applied Mathematics and Computation，2009，215：3140－3147.

［7］ Chow K W.Rational Function Representations of Wave Patterns in Higher－dimensional and Discrete Evolution Equations［J］.Phys Let A，2004，326：404－411.

［8］ Chow K W，Conte R，Xu N.Analytic Doubly Periodic Wave Patterns for the Integrable Discrete Nonlinear Schr?dinger（Ablowitz－Ladik）Model［J］.Phys Lett A，2006，349：422－429.

O175.2

A

1672－6871（2010）05－0087－04

河南省基礎與前沿技術研究項目（092300410179）；河南科技大學博士啟動基金項目（09001204）

李四偉（1982－），男，河南淮陽人，碩士生；張金良（1966－），男，河南唐河人，教授，博士.

2010－03－20