正態(tài)吸引場非平穩(wěn)NA列部分和的精確漸近性

曾 艷,王張燕,王文勝

(杭州師范大學理學院,浙江杭州310036)

正態(tài)吸引場非平穩(wěn)NA列部分和的精確漸近性

曾 艷,王張燕,王文勝＊

(杭州師范大學理學院,浙江杭州310036)

令{Xi:i≥1}是正態(tài)吸引場非平穩(wěn)NA序列,Sn=∑ni=1Xi,得到了正態(tài)吸引場非平穩(wěn)NA列部分和Sn的精確漸近性的結(jié)果,揭示了擬權(quán)函數(shù)和邊界函數(shù)之間的密切聯(lián)系.同時將已有的一些結(jié)果包含成為特殊情形.

非平穩(wěn);正態(tài)吸引場;NA序列;部分和;精確漸近性

0 引 言

設(shè)0<α≤2,Ga(x)是非退化α階穩(wěn)定分布,{X,Xi:i≥1}為獨立同分布隨機變量序列,稱X屬于Ga的吸引場,如果存在常數(shù)列{an:n≥1}和正數(shù)列分別稱為中心化常數(shù)和正則化因子.由文[4]推論2.2.17知,如果0<α≤2,X屬于Ga的正則吸引場當且僅當

其中c1,c2為非負數(shù)且c1+c2>0.

文[3]得到了關(guān)于正態(tài)吸引場強平穩(wěn)NA序列如下一個結(jié)論:

其中Z～N(0,σ2).

關(guān)于精確漸近性理論的研究,以往的結(jié)果都附加有強平穩(wěn)條件的限制,而在許多實際問題中所出現(xiàn)的NA序列大多都是非平穩(wěn)的,故解除強平穩(wěn)條件的束縛具有較大的理論和實際意義.該文研究了正態(tài)吸引場非平穩(wěn)NA序列的精確漸近性.首先考察非平穩(wěn)同分布NA序列的情形.

1 主要結(jié)果

文[5]提出了NA序列的概念.

定義1 稱隨機變量X1,X2,…,Xn,n≥2是NA(Negative A ssociation)的,若對?n≥2,{1,2…,n}的任何兩個非空不交子集A1,A2,均有Cov(f1(Xj:j∈A1),f2(Xk:k∈A2))≤0,其中f1,f2是任何兩個對每個變元不減且使上式有意義的函數(shù).稱隨機變量列{Xi:i≥1}是NA列的,若對?n≥2,X1,X2,…, Xn是NA的.

這里Z是服從正態(tài)分布N(0,σ2)的隨機變量,{bn:n≥1}是滿足條件的正數(shù)列.

注1 定理將文[3]中強平穩(wěn)NA序列的結(jié)果包含在內(nèi),事實上強平穩(wěn)序列中的條件σ2=EX21+蘊涵了條件(i);另外由強平穩(wěn)性,對任意的正整數(shù)m和n,Sn和Sm,n具有相同的分布,由文[6]知存在滿足條件(ii)的序列{nk:k≥1}.

注2 該文對g(x)附加了條件(2)、(3)、(4)的限制.但函數(shù)g(x)也足以包含令人感興趣的函數(shù)類.特別地,取r=2,g(x)=x或g(x)=lnln x時,該定理分別將獨立場合下的式(1)及文[7]建立的對數(shù)律的精確漸近性所包含,故該文的結(jié)果更為寬泛.

定理2 設(shè)ρ≥0,00,如果

其中bn同定理1,h-1(·)表示h(·)的反函數(shù).

注3 文[3]中定理3的結(jié)果是這個定理的特殊情形.

2 定理的證明

3 非同分布情形的結(jié)果

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Precise Asymptotic in Partial Sums of Normal Attraction Nonstationary NA Sequence

ZENG Yan,WANG Zhang-yan,WANGWen-sheng
(College of Science,Hangzhou Normal University,Hangzhou 310016,China)

Let{Xi:i≥1}be the no rmal attraction nonstationary NA sequence,letthe paper obtains the result of the p recise asymp totics in partial sums of normal attraction nonstationary NA sequence as well as Sn,and reveals the close relation between weighted function and boundary function,the result includes some know n theorems as special cases.

nonstationary;no rmal attraction;NA sequences;partial sum;p recise asymptotic

O211.4 MSC2000:60F15;60E15;60E05

A

1674-232X(2010)03-0204-05

DO I:10.3969/j.issn.1674-232X.2010.03.009

2009-11-03

國家自然科學基金項目(10771070).

曾 艷(1976—),女,浙江黃巖人,應(yīng)用數(shù)學專業(yè)碩士研究生,從事概率極限理論研究.

＊通訊作者:王文勝(1970—),男,浙江杭州人,教授,博士生導師,主要從事概率極限理論研究.E-mail:w swang@yahoo.cn